中考二次函数压轴题解题通法重点中学(20200725050544)

1、中考二次函数压轴题 解题通法研究 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞 赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在 成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在 有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知 识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直 接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专 家的必选内容。我通过近6年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题， 总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。 几个自定义概念： 三角形基本

2、模型：有一边在 X轴或Y上，或有一边平行于 X轴或Y轴的 三角形称为三角形基本模型。 动点（或不确定点）坐标“一母示” ：借助于动点或不确定点所在函数图 象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵” 。如：动点 P 在y=2x+1 上, 就可设 P （t, 2t+1）.若动点卩在丫= 3x2 2x 1，则可设 为P（t, 3t2 2t 1）当然若动点 M在X轴上，则设为（t, 0 ）.若动点M在 Y轴上，设为（0,t）. 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一 个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。

3、定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。 口： y = 3x 6。 X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标, 纵坐标称为 y 标。 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为 直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直 接动点坐标而言的。 1、求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离” ， 还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y

4、轴）的距离公式 或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化 简，即可证得两线段相等。 2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于 y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为 t ），借助于两个端 点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母 t 的代数式表 示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式 y上-丫下,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且幵口向下的二次函数 解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称 K 点法

5、）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解 析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可 4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： （方法 1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线 相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率 （k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y 消掉，得到一个关于 x的的一元二次方程，由题有厶 =b2-4ac=0 （因为该直 线与抛物线相切，只有一个交点，所以 b2-4ac=0 ）从而就可求出该切线的解 析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y 的值， 即为切

6、点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距 离，即为最大距离。 （方法 2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三 角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距 离。 （方法 3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导 数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用 点到直线的距离公式可以轻松求出。 5. 常数问题： （ 1）点到直线的距离中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问 题： 先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到 直

7、线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用 抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了 2）三角形面积中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于 一个定常数”的问题： 先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直 线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横 坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标 就求出来了。 （3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题： 用 K 点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运 用两点间的距离公式和

8、根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化 解即可。 6. “在定直线（常为抛物线的对称轴，或 x 轴或 y 轴或其它的定直线）上 是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题： 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称 点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计 算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之 和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法） 。 7. 三角形周长的“最值 （ 最大值或最小值 ） ”问题： “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小” 的问题（简称“一边固定两边动

9、的问题） ： 由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离 公式计算），只需另两边的和最小即可 “在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平行线 和定直线，这二线构成的动直角二角形的周长最大的冋题（简称“二边均动 的问题）： 在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母 示后，运用CV=斜边空,把动三角形的周长转化为一个幵口向下的抛物线来破 C定V斜边定V 解。 8. 三角形面积的最大值问题： “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大” 的问题（简称“一边固定两边动的问题”）： （方法1）先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；

10、然后再利用上面 3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形 的面积公式1底高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程 2 中，切点即为符合题意要求的点。 （方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点， 从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一 1 步可得到S动三角形-（y（动）-丫下（动）？匕右（定）-x左（定） 2，转化为一个幵口向下的 二次函数问题来求出最大值。 “三边均动的动三角形面积最大” 的问题（简称“三边均动的问题）： 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在 x轴或y轴上的三 角形，或者有一边平行于 x

11、轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积 之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组 平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图 中最大的那一个三角形） 。利用相似三角形的性质 （对应边的比等于对应高的比） 可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开 口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。 9. “一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最 大的问题”： 由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个 定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需

12、动 三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求 法及抛物线上动点坐标求法与 7 相同。 10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）：过不在 x 轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向 x 轴（或 y 轴） 作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一 些三角形的面积之和（或差） ，或几个基本模型的三角形面积的和（差） 11. “两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似： （1）已知有一个角相等的情形： 运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹 边，看看是否成比例

13、？若成比例，则相似 ; 否则不相似。 （2）不知道是否有一个角相等的情形： 运用两点间的距离公式求出两个三角 形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似 ; 否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似： （ 1）已知有一个角相等的情形： 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示） ，然后把两个 目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分 别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意 是否有两种情况） ，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐 标，注意去掉不合题意的点。 （2）不知道是否有一个角相等的情形： 这种情形在相

14、似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个 顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再 为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐 标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相 等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为 已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两 边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。 简称“找特角，求（动）点标，再验证” 。或称为“一找角，二求标，三验证” 。 1 2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两

15、个定点构成等腰三角形” 的问题： 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。 （若某边底，则只有 一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三 种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示） ，按 分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方 程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式， 可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意） 。 1 3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题： 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”

16、 分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参 数字母来“一母示”出动点坐标） ，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所 有可能的对角线 （显然最多有 3 条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了， 然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边 形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。 进一步有： 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验 证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存 在。 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验 证任意一组邻边相等否

17、？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不 存在。 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再 验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点 能构成正方形，否则这样的动点不存在。 1 4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系” 的问题：（此为“单动问题” 即定解析式和动图形相结合的问题 ，后面的 19 实为本类型的特殊情形。 ） 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果 图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的 具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。

18、 （注意 去掉不合题意的点） ，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐 标后，再往下继续求解即可。 1 5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直 角三角形”的问题： 若夹直角的两边与 y 轴都不平行：先设出动点坐标（一母示） ，视题目分类 的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y 轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于 -1 ），得到一个方程， 解之即可。 若夹直角的两边中有一边与 y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施 是：过余下的那一个点（没在平行于 y 轴的那条直线上的点）直接向平行于 y 的直线作垂线或过直角点

19、作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则 相关点的坐标可轻松搞定。 1 6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的 问题。 若定点为直角顶点，先用 k 点法求出另一直角边所在直线的解析式（如 斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程） ，利用 该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点 间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。 若动点为直角顶点：先利用 k 点法求出定线段的中垂线的解析式，再把 该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算 出该点与两定点所在的两

20、条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为 -1？若为 -1 ，则就说明所求交点合题；反之，舍去。 1 7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题： 题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角 形相似中的基本模型“ A”或“X”是关键和突破口。 18. “在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形 （常 为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题： （此为“单动问题” 即定解析式和动图形相结合的问题 ，本类型实际上 是前面 14 的特殊情形。） 先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴

21、上，或者有一边平行于 x 轴或 y 轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母 示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简 称“单动问题” ，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割） ，列出面积 方程”。 19. “在相关函数解析式不确定 （系数中还含有某一个参数字母） 的情况下， 题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的 坐标或参数的值”的问题： 此为“双动问题” （即动解析式和动图形相结合的问题） 。 如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或 分割后的图形须为基本模型） ，设出动点坐标（一母示） ，利用转化或

22、分割后的 图形建立面积关系的方程（或方程组） 。解此方程，求出相应点的横坐标，再利 用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能 把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图 中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的 结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出 来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。 如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一 母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。 一句话，该问题简称“

23、双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方 程，再代入，得结论”。 常用公式或结论： （1）横线段的长 二 横标之差的绝对值 二X大-X小=冷-x左 纵线段的长二纵标之差的绝对值 八大-y小=丫上-y下 （2）点轴距离： 点P（ x0 ， y0）到X轴的距离为y0，到Y轴的距离为|x|。 （3）两点间的距离公式： 若 A（ yj ,B（ Xzy）,贝U ab= （x X2）2 （yi y2）2 （4）点到直线的距离： 点P （ Xo，y。）到直线Ax+By+C=0（其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便 计算）的距离为: d 或 （5）中点坐标公式: |kx)y_ b 1 k2 若A

24、Z） , B（ X2，y2）,则线段AB的中点坐标为（宁，宁） （6）直线的斜率公式： 若 A （ Xi,yi）, B （ x2,y2 ）xi x2 ），则直线 AB的斜率为： kAB二 一 ，；Xi X2 ,注：当Xi X2时，直线AB与y轴平行，斜率不存在 Xi X2 （7）两直线平行的结论： 已知直线 11: y k1X b1,l2: y k2x b2; 若 li PI2ki k2; 若k匕且b b, iipi2 （8）两直线垂直的结论： 已知直线 li: ykix dt ： yk?x b?; 若li l2 匕匕 i； 若 ki. k2i 11 12. （9）由特殊数据得到或猜想的结论：

25、 已知点的坐标或线段的长度中若含有2、3等敏感数字信息，那很可 能有特殊角出现。 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形 状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若K= 3 则直线与X轴的夹角为30 ;若K= 1 ;则直线与X轴的夹角为45 ;若K= 3， 则直线与X轴的夹角为60。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问 题创造条件。 二次函数基本公式训练： 破解函数难题的基石 (1) 横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度二x大-x小】。 若 A( 2,0)，B( 10,0)，则 ABo 若 A (-2

26、,0 )，B (-4,0 )，则 AB=。 若 M (-3,0 )，N (10,0 )，贝y MNo 若 0(0,0 )，A (6,0 )，贝y OA=o 若 0(0,0 )，A (-4,0 )，贝y OA=o 若O (0,0 )，A(t,0),且A在O的右端，贝y OA=o 若O (0,0 )，A(t,0),且A在O的右端，贝y OA=o 若 A(-2t,6),B(3t,6),且 A在 B 的右端，则 AB=o 若 A (4t,m ) ,B(1-2t,m), 且 B在 A 的左端，则 AB=o 若 P (2m+3,a) ,M(1-m,a),且 P 在 B 的右端，则 PM。 注意：横线段上任

27、意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都 在横线段上。 (2) 纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度 曲大-y小】。 (若 A(0,5)，B (0,7 )，则 AB=。 若 A (0, -4 ), B ( 0, -8),则 AB= 若 A (0,2 ), B (0, -6 ),则 AB= 若 A (0,0 ), B (0 , -9),则 AB= 若 A(0,0) , B(0,-6),则 AB= 若 0(0,0) , A(0,t), 且A在O的上端，贝y OA= 若 0(0,0 ), A (0 , t), 且A在O的下端，贝y OA= 若 A (6 , -4t),B(6,3t

28、), 且 A在 B 的上端，贝U AB=。 若 M(m,1-2t),N(m,3-4t),且 M在 N 的下端，贝UMN。 若 P(t,3n+2),M(t,1-2n),且 P 在 M 的上端，则PM。 注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都 在纵线段上。 (3) 点轴距离： 一个点(X示，y标)到x轴的的距离等于该点的 y标的绝对值(即 y标),到y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即x标)。 点(-4,-3)到x轴的距离为，至Uy轴的距离为 若点A( 1-2t, t2 2t 3)在第一象限，则点A到x轴的距离为 到y轴的距离为。 若点M( t, t2 4t 3)在第二象

29、限，则点 M到x轴的距离为 ,到y轴的距离为。 若点A (-t,2t-1) 在第三象限，则点 A到x轴的距离为 到y轴的距离为。 若点N (t, t2 2t 3)点在第四象限，则点 N到x轴的距离为 ,到y轴的距离为。 若点P (t , t2 2t 3)在X轴上方，则点P到x轴的距离为 若点Q(t, t2 2t 6 )在乂轴下方，则点Q到x轴的距离为 若点D(t, t2 4t 5 )在丫轴左侧，则点Q到y轴的距离为 若点E(n,2n + 6 )在丫轴的右侧，则点E到y轴的距离为 若动点P(t， t2 2t 3 )在乂轴上方，且在y轴的左侧，则点P到x 轴的距离为，到y轴的距离为。 11若动点P

30、(t， t2 2t 3 )在乂轴上方，且在y轴的右侧，则点P到x 轴的距离为，到y轴的距离为。 12若动点P(t， t2 2t 3 )在乂轴下方，且在y轴的左侧，则点P到x 轴的距离为，到y轴的距离为。 13若动点P(t， t2 2t 3 )在乂轴下方，且在y轴的右侧，则点P到x 轴的距离为，到y轴的距离为。 注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一 母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例如：动点P在抛物线丫 = x2 2x 3上位于x轴下方，y轴右侧的图象上运动)，以便准确写出动点坐标中 参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应 x示(或y标)的相反数，还是其

31、本 身。 (4) 中点坐标的计算： 若【A( x-i, y-i), B( x2,y2),则线段AE的中点坐标为(1一 , 一y2 ) 2 2 (1) 若 A(4,3) ,B(6,7)，则AB中点为 若M( 0, -6 ), N( 6, -4 )，则MN的中点坐标为 若P ( 1,), Q (1,)，则PQ的中点坐标为 23 2 若A(1,2),B(-3,4), 且B为AM的中点，贝V M点的坐标为 若A(-1,3),B(0,2), 且A为BP中点，则P点坐标为 点P(5 , 0)关于直线x = 2的对称点的坐标为 点P(6 , 0)关于直线x=l的对称点的坐标为 (8) 点P(6 , 2)关于

32、直线x = 3的对称点的坐标为 (9) 点Q(4 , 3)关于直线x=3的对称点的坐标为- (10) 点M (4,2 )关于直线x = 2的对称点的坐标为 (11) 点P(4,3 )关于直线x= 1的对称点的坐标为 (12) 点M (4 , 2)关于直线y= 1的对称点的坐标为- (13) 点T(4,3 )关于直线y=1的对称点的坐标为一 (14) 点Q(0,3 )关于x轴的对称点的坐标为 (15) 点N(4 , 0)关于y轴的对称点的坐标为 由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相 等；两直线垂直，则两个 k值之积为-1.】 (1)某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1

33、，-1)，求此直线的解析式。 某直线与直线y= -x+1平行，且过点(2，3)，求此直线的解析式。 2 某直线与直线y= 2x 5平行，且过点(-3，0)，求此直线的解析式。 3 某直线与y轴交于点(0,3 )，且与直线y=-x 1平行，求此直线的解析式。 (4)2 某直线与x轴交于点P(-2,0)，且与直线y= lx 4平行，求此直线的解 2 析式。 (6) 某直线与直线y=2x-1垂直，且过点(2,1)，求此直线的解析式。 (7) 某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2)，求此直线的解析式。 (8) 某直线与直线y=2x 1垂直，且过点(2，-1)，求此直线的解析式。 3 1 (9

34、) 某直线与直线y= - X 4垂直，且过点(1，-2)，求此直线的解析式。 2 (10) 某直线与x轴交于点P(-4,0)，且与直线y= 2x 5垂直，求此直线的 3 解析式。 两点间的距离公式： (6) 若A(X1,yJ，B(X2,y2),贝y AB= (x x2)2 (y-y2)2 (1) 若 A (-2,0 )，B (0，3)，则 AB=。 (2) 若 P (-2,3 )，Q (1，-1 )，贝9 PQ=o (3) 若 M( 0,2 )，N( -2,5 )，贝 9 MN= (4) 1门 若 p (2,0 ), Q( 0, 1 3),则 PQ= (5) 1 若 A (3),B(-1, 1

35、 2),贝y AB= (6) 3 1 若 p(42)，b( 1),则 PB = (7) 3 1 若 P(42)，B( 1_ 4 1),则PE = (8) 1 2 若 P( 43)， M( 21 则PM= (9) 2 1 若人(5 3 ), B 3 ),贝 AB = (10) 2 若人(31)，B 1 h 2)，则 AB = (11) 右A(2 , 0), B(3 , 0),贝UAB = (12) 若 P(0, -4) , Q(0, -2)，贝9 PQ=o (13) 若 P(3,0) , Q(4,0)，贝y PQ=o (14) 若 P(1 , -4) , Q(2,0)，则 PQ=o (7) 直线

36、的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值; k % y2 可由两个点的坐标直接求得：若A(x1,y1) ,B(X2,y2)( X1 x2)，则x1冷 (y标之差除以对应的x标之差)】 例题：若 A(2, -3) , B(-1,4)，则 kAB 解: Q A(2, -3) , B(-1,4) kAB 牛 7 若A(0,2), B(3,0),则kAB 若A(1,-2), B(-3, 1),则 kAB 若M(-3,1), N(-2 ,-4),则 kMN 若P(1 ,-4), q-i, 2),则kpQ _ 若 Ct-1 , 1), Q-,-二)，则 kCQ 23 卄211 若E(；

37、, -1), F(二，-；),则 kEF 332 卄211 右 M-, - ；) , Q-1 ,-二),则 kMQ 532 2 31 若P( , -：) , Q-1,-：),则 kpQ 3 44 (8) 点到直线的距离公式： 点p（Xo，y 0）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）的 距离公式为： |Ax By+c d. Va 2 y _ x _ 解：先把直线 23化为一般式 +B2；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化 为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写x项，再写y项，最后写常数项，等号 右边必须是0） 1 2 y _ x _ 例题：求点P（2,-

38、3）至U直线 23的距离 3x-6y-4=0 d 所以 3 2 6 ( 3) 4 4 薦 3、 .3 ( 6)2 注：Ax0 By0 C的值就是把点(心疝对应代入代数式Ax+By+C中。 或者把y kx b通过移项化为 kx y b 0 (同样要先写x项，再 写y项，最后写常数项，等号右边必须是 0)。 从而 y 1 -x 2 y。b k2 另解：因为 P(2,-3) 2 ( 3) 2 (3) 所以 1 2 (1) 4 5 3 (注：由于系数中有分 数，计算比较繁杂)。 求点 Q (1,-4) 到直线y=2x-1 的距离 x 1 的距离 求点A (1,2 )到直线y=-x-1 2 求点M (0

39、,-3 )到直线丫=丄x-1的距离 3 1 1 求点P (-2,0 )到直线y二x-的距离 24 求点K (-3,-2 )到直线y=1-3x的距离 1 1 求点P (-3,-1 )到直线y二x-的距离 23。 求点P (- ,-1 )到直线y= x+丄的距离 232c 求点Q (-,-)到直线y=-x-的距离 2 342 求点P (-,-)到直线y=3x-的距离 3 424 3112 求点N (- - ,- 1)到直线y二-1x+2的距离 2323 2 311 求点D (- 2,_)到直线y=2x-丄的距离 5 423。 11 求点E (- 3,-)到直线y=-!x的距离 5324。 12 在

40、一个题中设计若干常见问题： 如图示，已知抛物线y x 22 x 3 与y轴交于点 B,与x 轴交 于C,D (C在D点的左侧)，点A为顶点 4 C OD B A 彳ABD的形状？ 1 并说明理由。 Y Y X 0 D 【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】 三角形ABD与三角形BOD是否相似？说明理由。 T B 【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相 似的判定方法】 在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点 P的坐标，并求 出最小值。若不存在，请说明理由。 Y X B A 【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点八，求出 该点关于

41、题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与 余下定点相连】 在y轴上是否存在点P,使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由 Y D X 、一-、宀 A/ . 【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需PA+PD最小】 在对称轴x=l上是否存在点P,使三角形PBC是等腰三角形？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【通法：对动点P的坐标一母示（l,t） 后，分三种情况，若P为 顶点，则PB = PC ;若 B为顶点，则BP=BC ;若。为顶点，则CP = C B。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的

42、长度】。 若平行于x轴的动直线1与直线BD交于点F,与抛物线交于点P，若 三角形ODF为等腰三角形，求出点 P的坐标. Y O X 【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】 在直线BD下方的抛物线上是否存在点 P,使SVPBD的面积最大？若存在, 求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 O D ?P B 1 【通法：B/pbd 2（y（动） -y下 （动） ）?（x右（定）-X左 在直线BD下方的抛物线上是否存在点 P,使四边形DOBP勺面积最大? 若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理 由。 Y ?P 【通法：S四边形 DOBP =SVDOB +SVDBP 或 S

43、四边形 DOBP =SVBOP +SVDPO 】 在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P,使四边形DCBP勺面积最大? 若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理 由 【通法：$边 JDCB=VdCB+SDBF 在直线ED下方的抛物线上，是否存在点P,使点P到直线BD的距离 最大？若存在，求出点 P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由。 Y O DX B ? P 【通法：因为ED是定线段，点P到直线ED的距离最大，意味着三角形 BDP的面积最大】 11在抛物线上，是否存在点P,使点P到直线 BD的距离等于 肢，若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

44、X 【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程，求解 即可】。 12在抛物线上是否存在点P，使SvpBC=2S/ABD，若存在，求出点P的坐标; 若不存在，请说明理由。 【通法；在动点P的坐标一母示后，把到图形二角 形 ABD的面积算出, 借助 于动点坐标把动三角形 PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等式】 13若点P在抛物线上，且PDB=90，求点P的坐标。 【通法：利用Kbd?Kpb1 ，及点B的坐标，求出直线PB的解析式，再把 此解析式与抛物线方程组成方程组，即可求出P点 的坐标】。 14 若Q是线段CD上的一个动点（不与 C,D重合），QEPBD,交bc于点E 当

45、三角形QBE的面积最大时，求动点 Q的坐标。 t Y O Q C /X jfjT w D E B 【通法：三角形 QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成两个三角 形基本模型的差，即qbe Sqcb Svqce，题中平行线的作用是有两个三角形相似， 从而有对应边的比等于对应高的比，最后该动三角形的面积方可表示为，以动 点Q（t,O）的坐标有关的幵口向下的二次函数。】 15 若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点， 使B,D,E,F构成 平行四边形时，求出E点的坐标。 Y O DX B 【通法：以其中一个已知点（如：点B）作为起点，列出所有对角线的情况 （如: BD, BE BF），

46、分别设出两个动点（点 E，点F），运用中点坐标公式，求 出每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应 中考二次函数压轴题分析 2 （一）【2012宜宾中考】如图，抛物线 y X 2x c的顶点A在直线 l:y=x-5 上。 （1）求抛物线顶点A的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C，D（C点在D点的左 侧），试判断三角形ABD的形状； （3）在直线1上是否存在一点P,使以点P,A,B,D为顶点的四 边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 * Y C O / D JFx X B A （二）【2012凉山州中考】如图，在平面直角坐标

47、系中，直线 y=x+4与x 轴，y轴分别交于A,B,两点，抛物线y x2 bx c经过A,B,两点，并与x轴交 于另一点C （点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点。 （1）求抛物线的解析式及点 C的坐标. （2）若点P在第二象限内，过点 P作PD x轴于D,交AB于点E.当点P 运动到什么位置时，线段 PE最长？此时PE等于多少? 如果平行于X轴的动直线1与抛物线交于点Q,与直线AE交于点 N,点M为OA的中点, 逆时针旋转90，得到 OABi； 再将 OAB绕着线段OB的中点旋转180，得到 OAB，抛物线y二ax2+bx+c (a 丰0)经过点B、Bi、A (1) 求抛物线的解析式；

48、(2) 在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时， PBB的面积最大？ 求出这时点P的坐标； (3) 在第三象限内，抛物线上是否存在点 Q,使点Q到线段BB的距离为 一 ？ 2 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 (四)【2012乐山中考】如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(m m)，点B的坐标为 (n，- n)，抛物线经过 A、O B三点，连接 OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已知实数 m n (m0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧 (1) 若抛物线G过点M(2,2)，求实数m的值 (2) 在(1)的条件下，求三角形 BCE的面积。 (3

49、) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EHR小，并 求出点H的坐标 (4) 在第四象限内，抛物线 G上是否存在点F,使得以点E , C , F为顶点 的三角形与三角形BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由 E B C X O (七) 【2013宜宾中考】如图，抛物线 y ax2 bx 4a经过A (-1,0), C(0,4)两点，与x轴交于另一点 Bo (1) 求抛物线的解析式； (2) 已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的 点的坐标； (3) 在(2)的条件下，连接 BD,点P为抛物线上一点，且DBP 45 j 求点P的坐标。 C A (八) 【2013山西中考】如图，抛物线 y (点B在点A的右侧)，与y轴交于点C,连？ 中心作棱形BDEC点P是x轴上的一个动点， 作x轴的垂线I交抛物线于点Q. (1) 求点A,B,C的坐标. (2) 当点P在线段0B上运动时，直线I分别交BD, BC于点M, N.试探究 m为何值时，四边形CQM是平行四边形，此时，请判断四边形CQBh的形状, 并说明理由. （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q,使三角形BDC为直角三角 形？若存在，请直接写出点 Q的坐标;若不存在，请说明理由. | Y D匸 X EAOB C （九）【2013重庆中