2016讲弹性力学试题及答案1汇总

1、2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应 和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和

2、平面应变问题。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。2、平面问题分为和。平面应力问题平面应变问题6、 在弹性力学中规定，切应变以 时为正，时为负，与的正负号规定相适应。直角变小 变大切应力7、 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要

3、集中在距孔边 1.5倍孔口尺寸的范围内。孔附近的应力高度集中， 应力集中的局部性四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）匚 xx By，匚厂Cx Dy，幼二 Ex Fy ；(2) 二x=A(x2 y2)，二厂B(x2 y2)，xy =Cxy ；其中，A, B, C, D, E, F为常数解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程冬=0:y.:x(2)在区域内的相容方程-y =0 ； ( 3)在边界上的应力边界条件l；x m yx s=f x S1 xy s 异 y S(4)

4、对于多连体的位移单值条件。(1) 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E。此 外还应满足应力边界条件。(2) 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=O;为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量二x=-Qxy2Cx3，二严-号C?xy2 ,xy = -C2y3-C3X2y，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数 Ci, C2, C30解：将所给应力分量代入平衡微分方程=0:y，!_xyxex.刁:x=0( 2 2 2 2-Qy +3C1x -3C2y -C3x =0厂 3C2x

5、y-2C3xy=0g-Cs x2-(Q+3C2 ”2=0由x, y的任意性，得J3Cby2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计，b=0 ）。r!1h/2xilh/2.l/2l/2y解：将应力函数：:=by2代入相容方程-2-2x :y可知，所给应力函数=by2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为：2：2：2匚 X=2b，二 y =T = , - xy0cyexcxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为：上边,hT，“，m1，fx“（ xy）0，fy（h下边，y 七,l =0 , m= ,

6、fxJy) h =0 , fy=y)h=0 ；2y=hr左边,m= , fx=-(；x)i =-2b ,x-2右边，X - c ,1 -1,m -0 ,fx（-x）l_2b ,fy Cxy）|-0。2x. .x-2 2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数二by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数 -axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计，a=0 ）。h/2 h/2l/2l/2y解：将应力函数即=axy代入相容方程；4 ；4 ；4+2+=0:x42 - 2x ；

7、y可知，所给应力函数=axy能满足相容方程。，-xyacxcy由于不计体力，对应的应力分量为cx 厂0，二y 厂0矽ex对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为：上边,h二，2。，心1 , 0 站，fyYy)；下边,h厂2十0 ,K xy）-a ,仇廿讥厂0 ；左边,|X=-；,匸一1, m=0 , fx = -(x) l =0 , fy=Vxy)x 二21 =a ； x= 2右边,|x ,1 二1 , m=0 ,fx 十 x) l =0 , fy =( xy)x =_ -a。 x !可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两

8、边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数 axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压,即设二x=0。由此可知=0将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式:x,y =(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得44d fi(x) d f2(x)门0 dxdx这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系数和自由项都应该等于零，即44d fi(x) 0d f2(x) 00 ，dxdx这两个方程要求f1(xA

9、x3 Bx2 Cx I，f2 (x) = Dx3 Ex2 Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得二y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2对应应力分量为:y=0.:2 /=y(6Ax 2B) 6Dx 2E-gy.x刑2-xy = -= _3Ax 2 BxCddy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，21， m=0，沿y方向无面力，所以有-(xy)x=0=C=O右边，x =b , I =1, m=0，沿y方向的面力为q,所以有(xy)x 厂-3Ab2-2Bb=q上边，y 乂，I=0, m=-1，没有水平面力，这就要求,Xy在这部分边界上合成的主矢量和主

10、矩均为零，即b0( xy)yd0将.xy的表达式代入，并考虑到C=0,则有f( _3Ax 2-2 Bx) dx二-Ax3 -Bx2 0=- Ab3 -Bb2 =0b而Cxy)y卫0dX=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求二y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bbfy)y 卫 dX=0 ,fy Xdx。将二y的表达式代入，则有(6Dx +2 E)dx=3Dx2 +2Ex 0 Db2 +2Eb=0f(6Dx +2E)xdx=2Dx3 +Ex2 b =2Db3 +Eb2 =0由此可得A 牛，B =q，C =0，D =0，E =0 b2b应力分量为x)x( x 、j=0,

11、J=2qy 1-3-比y, j丸 3-2bi b丿bl b丿虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远 离y=0处这一结果应是适用的。9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为枱322.3=ax bx y cxy dy相应的应力分量表达式为2申c2汽；x =-xfx=2cx 6dy, - y - 2 _yfy =6ax 2by - gy,xy 2bx-2cydyexcxdy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。上边，y=0 ,1=0，m1

12、，没有水平面力，所以有-（xy） y=2bX=0对上端面的任意x值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有 4Cy）y=6a0对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为-x =2cx 6dy，二 产一:gy， xy *2cy斜面，y=xtana， |=cos|- 代 i U-si， m=coSM Aco歹，没有面力，所以有 :、2丿1 二x m yx y*n：.=my 1 xy ytan 广0由第一个方程，得-J2cx 6dxtan： sin：- -2cxtan： cos： =-4cxsin: -6dxtan： sin： =0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-4c

13、-6dta n： =0由第二个方程，得2cxtan ： sin - gxtan ： cos： =2cxtan： sin: - gxsin ： =0对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctan：-g=0 （ 1 分）由此解得从而应力分量为:gcot：1 2（1 分）， d=_ Pgcot a3-尸:gxcot： -2gycot2：,匚y _gy,gycot：设三角形悬臂梁的长为I，高为h,则tan: ?。根据力的平衡，固定端对梁的约束1反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为glh。因此，所求匚x在这部分边界上2合成的主矢应为零,xy应当合成为反力-丄?glh。2dyglcot：2 gycot

14、dy二 plhcot：；-卜gh2cot2 ： =0x 0hh1210 xy xdy= 0 -gycot： dy = ?gh cot：可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角:，下端作为无限长，承受重yna力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为：-2，试求应力分量。力引起，应当与Cg成正比（g是重力加速度）；另一X解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力 分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意 一点，每一个应力分量都将由两部分组成： 一部分由重部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每- 部分还与，x，y有关。由于应力

15、的量纲是L-1MT-2,g和?2g的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量，而x和y的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式 只可能是A 1 gx , B ：1gy , C 2gx , Dlgy四项的组合，而其中的A, B, C, D是量纲 一的量，只与：有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二 次，应该是x和y纯三次式，因此，假设=ax3 bx2 y cxy2 dy3c Xfx =2cx+6dy, y相应的应力分量表达式为Cac_yfy=6ax+2by Pigy, ixy=_2bx

16、_2cy.x:x :y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察，如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。左面，x=0 ,丨一1 , m=0，作用有水平面力2gy，所以有-（二 x）x =-6dy hgy对左面的任意y值都应成立，可见d亠6同时，该边界上没有竖直面力，所以有-（xy）x=2cy=0对左面的任意y值都应成立，可见c=0因此，应力分量可以简化为6=-：2gy，- y=6ax 2by- dgy， xy*2bx斜面，x=ytanot， I =cosa，m=cos 二如 i=-sina，没有面力，所以有 （r,n）代入，可求得应力分量:丄.丄二r汀 r2二=0 ；.r! (2Acos2r B) r边界条件：(1) ；.J T1-0 = 0, r ： lO = 0=0, r， - - 0r -0 r -0 7.0- r =0代入应