自动控制原理第五章

1、第五章频域分析法目的: 直观，对高频干扰的抑制能力。对快 便于系统的分析与设计。 易于用实验法定传函。（高频）、慢（低频）信号的跟踪能力 5.1频率特性G(s)二珥s) (s Pl)(SPn)在系统输入端加一个正弦信号:r(t)二 Rm sintRm(s j )(s- j )系统输出：竹s pi；(s(s p(s jkj )J JRmy(t)二 y1 (t)A ejA ej 上瞬态响应若系统稳定，即G(s)的极点全位于s左半平面，则limy1 (th 0tT閃稳态响应为：yss(t) = A e j t A ej tR 1而A=G(s) 2m 2(S+ r )-.Rm G r )s 22jRm

2、 心1A=G(S)2m 2 (S j ) 1RmG(r )s2 j1 414- yss(t)石Rm G(- j ) ej t 石Rm G(j ) ej t= 2yRm G(j ) ej t - G(- j ) ej t又G(s)为s的有理函数，故G(jG* j )，即G(N )= G(代)ejG($ )= G($ ) ej- yss(t) = 2yRm G(- r )|ej(2)- e-W)=Rm G( j ) sin(国 t + )=Ym sin( t )可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正 弦信号。其幅值是输入正弦信号幅值的 G(j )倍，其相移为=G

3、(j )。二G(j |G(j Y G(j )表示了稳定线性定常系统的稳态输出和输入正弦波之间的 关系，故称G(j )为频率响应函数。又称G(j )为系统的频率特性。可证：G(j时)=G(s)罔=Y(jQ)(见上面A，A的求法) j R(r)丫(s)二Rm G(j ) ejs22即系统正弦稳态响应与其输入量之比称为系统的 频率特性二表示方法G(N )= |G(jB )NG(2 )=A( )ej (): :，A( )为系统的幅频特性，()为系统的相频特性1. 极坐标图(奈奎斯特图)(幅相特性图)G( j )是复数，亦可看作一个矢量。从0、二变化时，矢量G(j )的端点在复平面上的运动轨迹正相角按正

4、实轴方向反时针旋转定义。用来表示频率特性G(j )的平面称为G平面。G(j )的幅相特性是s平面上的虚轴通过传递函数 G(j )在G平面上的映射2. 对数频率特性（伯德图）1000100101心）6040200L （）（苗）9）十20必0. 1 0- 01 0.001.-20-40-600. 1100 1000 100001 10t 10 倍对数幅频特性：L( ) = 20lg A()(lg )相频特性:() (lg )A（）及 的变化范围太大，故用对数坐标表示。纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数lg标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。

5、在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程（dec），如110, 550,而，轴 上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程(即3 变化)所对应的纵坐标分贝数的变化量，记为 NdB/dec。相频特性也是在半对数坐标系上表示。纵坐标相角C )是均匀的，横坐标同上不均匀。基本性质 串联环节总的对数幅频特性L( ) = L1 CLn ()串联环节总的相频特性(厂 ( )n () 互为倒数的传递函数，其L( )、 C )均以横坐标成镜像对称G(j)= 1G2(j )t 20lgGi( )=匚代)=-20lgG2(j-L2 )i(j )=

6、 Gi(j P - G2(j )=2(j )3. 对数幅相图(尼柯尔斯图)L厂为参数 C)0(劲直角坐标系 5.2 典型环节的频率特性1.比例环节G(j )二 K 二 K ejA( )= K,L( ) = 20lg K ;( )=020 lg KMBA ImReo. i i io loo looo a)A (d)D. 11 1U 1001000极坐标图对数坐标图2.积分环节3TG(j )1 1 -j2e 2j $1,L( ) = -20lg 二 f , L( ) J; ( P -90coAlmL(cS)dB20QdBoTi * io极坐标图0Q0. 1 110100 血-90对数坐标图j G(

7、 j )二 j e 2A(),L( ) = 20lg ,f T , L( ) T; ()=90极坐标图90。0U1110100对数坐标图G(j ).e-jtg TA()对:ToO?12t 2G(j0) = 11G(j-) =G(j) =近似法1, L()二丄()=20lg 12T2 ;ej02 ej45OdB-20lg T 二-20dB/dec()tg，T1直线交点为=丁10T，10010nL( )= 20dB= 20lg10L( )= 40dB 20lg102L( )= 20 ndB 二 20lg10n即 t 10 倍，L( ) J 20dB 二 20dB/dec-20lg 2 3dB最大误

8、差发生处TG(j2 ej45G(jj905.阶微分环节G(j ) = 1 j T 二 12t2 ejtg1 Ti22A( p 12T2 ,L( )= 20lg 12T2 ;()二 tg T二 0, G(jO) = 1 ej0对：与惯性环节成镜像对称。6.振荡环节G(j )=(j )A()(1-(j )+ co)(jcoexp - tg-i(14 2()oo CO)2 4 2()20lg(1-4 2()tgnn1-(极:0, G(jO) = 1 ej01n , G(j n)右Qi90灼闵,G(p)= o ej180对：L()的渐近线co -时的形状. ，二时，（1 j ）90（厂-)i-9090

9、 lim G(j )二 m 90 N90 ) (n - N)(-90 )(0Ta-(m n) 90lim G(j )COT 丿 70K例.已知G(j )二求作极坐标图limoG(j )=:1-y】limG(j ) = 0TOO 7由ReG()丄0可求与虚轴交点处频率由ImG(j )= 0可求与实轴交点处频率cox J代入ReG(jx)及ImG(代y)】即与实、虚轴交点 由t 0时，G(j-)沿平行于虚轴的渐近线-0 渐近线与实轴的交点Vx二lim ReG(j )0二.开环系统的伯德图一般规则：1. 将G(j )写成典型环节之积2. 找出各环节的转角频率3. 画出各环节的渐近线4. 在转角频率处

10、修正渐近线得各环节曲线5. 将各环节曲线相加即G(j )的波特图(实验法测G(j )H(j )的方法：先图，再函数) 5.4频域稳定判据由开环频率特性判别闭环稳定性的方法此法的优点： 主要靠作图，计算量很小。 不仅能回答闭环系统是否稳定，而且还可以得出系统接近不稳定的程度，称为稳定裕度 不要求知道系统的微分方程或传递函数，而只要依靠实验测出其开环频率特性就可以。由于这些重要优点，Nyquist稳定判据在控制系统稳定性的分析中有十分重要的地位，事 实上它是整个频域控制理论的基石。一奈奎斯特稳定判据1. F(s)与T(s)的关系込 G=G(s)R(s) 1 + G(s)H(s) F(s)F(s)G

11、(s)H(s)鹽D(s)D(s) N(s)D(s)分母K (s Zi)(s Z2)(s )(S Pl)(S P2) (S Pn)F(s)极点=开环G(s)H(s)的极点F(s)零点=闭环T (s)的闭环极点 闭环稳定=闭环极点在s左半平面-F(s)零点在s左半平面2 辐角原理(映射定理)(-2 )z角增量s平面：顺时针包围F(s)的p个极点 -F平面：F(s)逆时针绕原点p圈-(2)p角增量s平面：顺时针包围F(s)的p个极点及z个零点 -F平面：F(s)绕原点逆时针转N = (p- z) 圈(*)疔O3 映射定理在分析闭环稳定性中的应用奈奎斯特围线：令s平面上的封闭曲线包围全部右半 s平面，

12、曲线由整个r轴(从二到 2 )和右半S平面上半径为无穷大的半园轨迹构成。轨迹Ijd)为顺时针。包含了 F(s)的全部具有正实部的零极点。若F(s)在此无零点，则此处亦无闭环极点，系统闭环稳定如何知F(s)在此无零点?可由N = (p-z)，z=O(F (s)的零点尸N二p(F(s)的极点，即开环极点)知道，即可根据F(s)逆时针绕原点的圈数，反推出闭环极点 0个数s沿j 轴变化 -F(sF(j )s沿无穷大半园变化=limF(s)二K,m二n,位于F平面实轴,.(分母阶数大)=0, m G(j )H(j )绕(-1 jO)点的次数N(逆时针)(* )二：N = (p - z=p- N4.奈奎斯

13、特稳定判据若开环传函G(s)H(s)在s的右半平面有p个极点，则为了使闭环系统稳定，当从 变化时，G(j )H(j )的轨迹必反时针包围GH平面上的jO)点N二p次。即 z = p - N = 0而z闭环传递函数在s右半平面的极点数。(F(s)的零点数)p开环传函在s右半平面的极点数。N G(j )H(j )绕jO)点逆时针转的次数。(若N为顺时针转时，则应为Z = p N )例判别0型系统G(s)H (s)二K。(TiS 1)(T2S 1)的稳定性。解：n - m = 2, N = 0可画出开环系统的极坐标图fp = 0, N = 0 f Z 0p = 0即闭环传函在s右半平面无极点 系统稳

14、定二对数判据1. 极坐标与对数坐标图的对应关系Alm4只劲厲)4诃（如）oa-180*极坐标图单位圆G()H()=1 对数幅频图的OdB线； 极坐标图负实轴Gj)H j) = a 对数相频图的-180。线;极坐标图单位圆外区域一一对数幅频图的 OdB以上区域；极坐标图单位圆内区域对数幅频图的 OdB以下区域；极坐标图上(-1 j0)点对数L( )= OdB/ ( ) 180 。AB:GH -(-180 ); CD: GH -(-180 ); BC: GH -(0 ); DE: GH -(0 )如图示系统开环p= 0,其极坐标图及对数坐标图如上。根据奈氏判据及极坐标图，知系统稳定，G(j )不包

15、括(-1, j0)点二G(j )不穿越-1点以左的区段(如)；或：G(j )在-1点以左的正穿越次数=负穿越次数(如)若用G(j)的幅相关系表述，则为：在G(j)1的范围内，上G(j。)对-180线的正穿越 次数=负穿越次数2.对数判据若开环系统稳定(p=0)则闭环系统稳定的充要条件是：在L( ) OdB的所有频段内,() 正负穿越-180线的次数差为0。(R=p/2,p为奇数时，半次穿越)例.若开环系统的对数坐标系图分别如下图所示，判其稳定性。N=0 稳定N=1-1=0稳定稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。可用G(j )H(j )曲线接近-1点的程度来表征相位裕度y :极坐标图|G(r )

16、H(jo ) = 1的矢量与负实轴的夹角对数坐标图上20lgGH| = 0处炉)与的差Y 0系统稳定(对最小相位系统)增益裕度kg: 1G(Ng)H(g) 对数图上() 180时的- L( g)yKg(dB) 0系统稳定(对最小相位系统)；=180 G(j c)H (j c) 5.5 闭环系统频率特性闭环频率特性及性能指标 若单位反馈系统的闭环传递函数为T(s)= G(s)；则T(j )= G(j )1+ G(s)1+ G(户)若G(j ) = A( )ej ()，则G(j p M ( )ej ()A( )ej ()1 A( )ej ()(*) 极坐标图 对数坐标图1. Mr较高T时域阻尼小，

17、Mp大，收敛慢，平稳及快速性差。若Mr 二，则闭环特征式 0=有-r的特征根=临界稳定，ts :=2. B .较大系统惯性小，快速性好。若，：:，则系统相当于放大环节。c(t)二k r(t)，ts= 0。亠般准则：频带宽，峰值小t过渡性能好例已知单位反馈系统的开环传函G(s)= s(s 1)(0.5S 1，分析其稳定性及频域性能 解：画开环系统频响的伯德图并判稳定性T开环系统伯德图L( )=Li( ) L2( ) L3C ) ；( )=1( )2( )3()从中可见0 , kg 0 闭环稳定画闭环频率特性曲线并分析性能 由伯德图查得：0.20.40.60.81.01.21.61.8L()147

18、3-1-4-7-9-13()-105-125-135-150-162-173-180-190由尼柯尔斯图/或计算得:M()0.251.2353-2-6-11：()-14-26-45-88-140-165-180-195T闭环频率特性曲线T 可查出M 厂 5dB1.3rad / s二.从开环频率特性研究闭环系统的动态性能1 最小相位系统观察各类稳定的典型环节，其伯德图有如下共同特征： 若在某一相当宽的频率段内，L()的斜率、0,贝A C ) 0 若在某一相当宽的频率段内，)20dB/dec，贝()一。2这种情况绝非偶然，数学上可以证明：右半平面上既无零点并无极点的传递函数，其幅频 特性与相频特性

19、不是互相独立的，二者之间存在着严格确定的联系。若给了 LC )，就可算 () (t(5-43)。具有这种传函的系统称为 最小相位系统。最小相位系统这一名称来源于通信科学，其含义是：若有几个传递函数的LC )完全相同，那么其中在s右半平面无零极点的那个函数，其相频特性函数的绝对值为最小。工程上并不使用(5-43)式来实际计算9()，但可利用这一性质，直接从最小相位系统的L()判断稳定性及动态性能，这样就可省去绘制准确的相频特性曲线的工作。2 开环频率特性的低频段决定稳态性能K 1essI型=0ess = 0单位斜坡单位加速度3. 开环频率特性的中频段决定稳定性(a) II 型4(b) I 型(a

20、)G(j )=K(1 j Ti)(j )2(c) = T80 arctg cT1-180 arctg ()；=180( c)二 arctg (c)co(b)G(j )二j (1 jT2)(c)二-90 - arctg cT2 二90 - arctg () ；= 90 - arctg )= arctg ()22特c菩或灼212345100045 s63.471.677 s78784390s表明：与 !至，c之间、，2至，c之间的距离有关(a)只要r c,不会小于45丄)以一20dB/dec穿过0dB线;若则系统以一40dB/dec穿过0dB线， 45， 1越大， 越小。= 10仁时，=5.7，临

21、界稳定 (b)只要，2-仁，不会小于45 , LC)以20dB/dec穿过0dB线；若，2 c,则系统以40dB/dec穿过0dB线， 45 ,2越小， 越小。r = 0.V c时，二5.7，临界稳定结论：只要L()以20dB/dec穿过OdB线，二阶系统至少有45的或二离，c越远，Kj (1 j 12)(1 j T3)越大；当L()以20dB/dec穿过0dB线, 1或2离c越远， 越小若(b)的高频段再附加60dB/dec斜率的线段，则G(尸此时(c) =90 - arctg () - arctg ()23c)3oco=arctg ( c) - arctg (occ2-高频段多一个惯性环节

22、使当L()以40dB/dec穿过0dB线时，由于小时常T3的存在可能导致系统不稳定。结论：L )以20dB/dec穿过0dB能满足稳定性要求，中频段长度越长，丫越大。(此时对应(J90，离-180有距离。)中频段：，c附近L()斜率=20dB/dec的那一段简单系统：1 1 G(s); T(s) =TsTs+11L()在厂过 OdB, L( J 二 0dBM ( J 二-3dB一 c即为截止频率对复杂系统，c近似为截止频率。4. 高频段决定对高频干扰的抑制高频段，Gj )H(j- ) 1G(浮)T(j )口 / G(j )可从开环传递函数研究闭环频率特性1 + Gj )H j )希望T( j ) 1从一(0)，此时闭环系统尽可能准确地复现输入信号。希望G(j )保持高增益地频率范围宽一些。但太宽干扰进来了 5.6 校正方法一、校正的概念定义：给系统附加一些具有某种典型环节特性的元件，有效地改善整个系统的控制性能，达 到指标的要求，即为校正。这一附加的部分称为校正元件。方法：利用根轨迹法、频率法用试探方式设计。分类：1.串联校正R(s)校疋器控制器对彖GgJ干扰超前网络校正器G,s)又分:滞后网络校正器滞后一超前