882014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

1、一、选择题：共 的一项.1.已知集合A. 2,A.1 i2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1理科数学第I卷12小题，每小题 5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求x|x2B.2x1,2B.1 iC. 1 i,B x| C1,12，则 A B ().D. 1,23.设函数f (x) , g (x)的定义域都为 R A. f (x)g(x)是偶函数C. g(x) f (x)是奇函数，且B. f(x) g(x)D. f(x)g(x)f(x) 是 奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( 是奇函数是奇函数4.已知F是双曲线C : x2A. 3 B .3my

2、C . . 3m3m(m 0)的一个焦点，则点 F到C的一条渐近线的距离为(D .3m5.4位同学各自在周六、 ().A.1I周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率b.8C.|D.8O的半径为1, A是圆上的定点,6.如图，圆过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线 至煩线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y f(x)在OP ,0, n上的图像大致为().yC7.执行下图的程序框图，若输入的 a,b,k分别为1,2,3，则输出的M () D.d8B.A.2038.设 (0,)2%)，且tansin，则(cosA.3

3、B. 3C.2D .2x9.不等式组xy2y的解集记为4D 有下面四个命题:P1:(x,y)D,x 2y 2，P2 :(x,y)D,x 2y 2,P3 :(x,y)D,x 2y 3，P4 :(x, y)D,x2y 1其中真命题是().A . p2，P3B. P1，P2C. P1，P4D . P1，P312.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13.(x y)(x y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)10.已知抛物线C :2y8x的焦点为F，准线为1，P是l上一点，Q是直线PF与C的一

4、个焦点，若FP 4FQ，则 |QF |().A.7B.3C.5D .22211.已知函数f(x)3 ax3x2 1 ，若f (x)存在唯一的零点 怡，且X。0，则a的取值范围为()A. 2,B.1,C., 2D.,1甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市;乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一个城市 .由此可判断乙去过的城市为 .15已知A，B，C是圆0上的三点，若AO -(AB AC)，则AB与AC的夹角为216.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边，a 2，且(2 b)(s in A sin B) (c b)si nC， 则ABC面积的最大值为.三、解

5、答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，a*0,ana* 1Sn1，其中 为常数.(i)证明：an 2 an；(n)是否存在，使得 an为等差数列？并说明理由.18.(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)(n)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 N( , 2)，其中 近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.(i) 禾U用该正

6、态分布，求 P(187.8 Z 212.2);(ii) 某用户从该企业购买了100件这种产品，记 X表示这100件产品中质量指标值为于区间 187.8,212.2的产品件数，利用(i)的结果，求EX .附：,15012.2，若 Z N( , 2)，则 P(Z)0.6826 ,P( 2 Z 2 )0.9544.19.(本小题满分如图三棱锥12 分)ABCAi B1C1 中，侧面BBQ1C为菱形,ABB1C .(I)证明：AC AB1 ；(n)若 AC AB1 , CBB1o , AB BC ,求二面角A AR G的余弦值.20.(本小题满分12分)1(a b 0)的离心率为弓，F是椭圆的右焦2X

7、已知点A 0, 2，椭圆Ea点，直线 AF的斜率为 J3 , O为坐标原点3(I)求E的方程；(H)设过点 A的动直线I与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程21.(本小题满分12分)、，xbex 1设函数f (x) ae Inx，曲线y f(x)在点1, f(1)处的切线方程为 y e(x 1)2.x(I)求 a,b;(n)证明：f(x) 1 .请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修虑一1 :几何证明选讲 如图

8、，四边形 ABCD是00的内接四边形， (I)证明： D E ;(n)设AD不是O的直径，AD的中点为 明：ADE为等边三角形.AB的延长线与DC的延长线交于点 E，且CB CEM，且DMBMC ,23.(本小题满分10分)选修44 :坐标系与参数方程X2 y2x 2 t已知曲线C : L 1，直线| :(t为参数)49y 2 2t(I)写出曲线 C的参数方程，直线I的普通方程；(n)过曲线C上任一点P作与I夹角为30o的直线，交I于点A，求| PA |的最大值与最小值24.(本小题满分10分)选修4 5 :不等式选讲若 a 0, b 0 ,且一一订ab .a b(I)求a3 b3的最小值；(

9、n)是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由参考答案一、选择题ADCAD二、填空题CDCBBCB13.20n14. A15.16. .32anan 1Sn117. (1 )证明：由题意得an 1an25n 1 1所以 an 1an 2anan 1an 1又因为an 0所以an 10所以an 2 an(2)解：假设存在，使得an为等差数列三、解答题由(1 )知aiaai1a3ai因为ai1所以2as因为 a1 a3 2a2所以 221所以 4 故 an 2 an4,所以a2n1是首项为1,公差为4的等差数列，a2n 1 4n 3;a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n 4n 1.

10、所以 an 2n 1,an 1 an 2.因此存在4，使得an为等差数列.18.解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数X 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33210 0.24 220 0.08 230 0.02200s23020.0220 220.09100.220 0.332102 0.242020.08 302 0.02150(2) (1)由(1)知，Z200,150，从而P 187.8 Z 212.2 P 200 12.2 Z 200 12.20.6826(2)由(1)知，一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2的概率为0.6826依题意知

11、 XB 100,0.6826，所以 EX 100 0.6826 68.2619解：(1) 连结BC1，交B1C于O ,连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B,C BC1，且O为B1C与BC1的 中占I 八、又 B1O CO，故 AC AB1(2) 因为ACAB1且0为BQ的中点，所以AO COBOC又因为AB BC，所以护OA故OA OB，从而OA, OB , OB1两两互相垂直.以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向,OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.因为 CBB1A 0,0,子,60，所以,CBB1为等边三角形又AB BC ,则,理0，C 0,那B 1,0,0 ，

12、B.331,0,弓，.31,訂0所以可取是平面AA1B1的法向量,33y z 0卩3 3応0x z 031八 3,、3是平面的法向量，00同理可取1,z4 H贝V cos n, m17所以二面角A AB G的余弦值为20.解:(1)设 F c,0 ，由条件知,a 2, b2a2C212x故E的方程为一y2 1、34(2)依题意设直线l : y kx 22y21得y kx 2代入42 24k x 16kx12 0216 4k 30,即k24 时,X1,28k 2、,4k234k2 1从而PQ . k2 1又点O到直线S,；OPQ设，4 k2 3x1x2PQ的距离dPQ4、k2 1 /4k234k

13、2 12_2一，所以,OPQ的面积44k234k2t，则 t 0,S.OPQ4t因为t -tpPQ的面积最大时,4，当且仅当t2，即4t -t厂k时等号成立，且满足2所以当l的方程为yx 2.221.解：（1）函数f x的定义域为0,， f x由题意可得f 12, f1e故 a 1,b2.（2）由（1）知，f xx eln x2 x 1e 从而f xx设函数g xxln x，则gx1 lnx.x .a xb x 1b x 1ae l n xeeexxx1等价于xln xxxe2e所以当x0,1时,gx 0;当 x1J时,gee故g x在0,1单调递减咸，在17J单i周递增，从而ee11g -e

14、e设函数h x:xex2则h x ex 1x .e所以当x0,1时寸，hx 0;当 x1,时，h x减，从而hx在0,的最大值为h11e综上，当x 0时，g x h x ,即f x 1.x 0.g x在0,的最小值为0 故h x在0,1单调递增，在1, 单调递22.（ 1）由题设得，代B,C,D四点共面，所以D CBE由已知得，CBE E,所以 D E（2）设BC中点为N，连接MN，则由MB MC,知MN BC所以O在MN上，又AD不是00的直径，M为AD中点，故OM AD 即 MN AD所以 AD/BC,故 A CBE.又 CBE E，故 A E由（1）知 D E所以 ADE为等边三角形。（为参数）x 2cos23. （1）曲线C的参数方程为y 3si n直