2010年广州普通高中毕业班综合测试【数学理】word版

1、试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2010. 3 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用 2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的 市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位

2、置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上 要求作答的答案无效.4 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5 考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.43参考公式：球的体积公式VR3，其中R是球的半径.3、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 复数（3i 1 ）i的共轭复数 是A . -3 iB. -3 - iC. 3 iD. 3 - i2 .设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点 A

3、, B的坐标分别为 A 1,2,2 ,B（2,2,1 ），则 AB =A . 18B . 12C . 3 “2D . 2.33.已知集合 A = 1,1, B = xax+1=。，若B匸A，则实数a的所有可能取值的集合为A.(-11B . SC .-1,1D.-1,0,14.若关于x的不等式x a0 , -q3 a?3 HI %3 .(1 )求a1, a2的值；(2) 求数列an ?的通项公式an ；(3) 证明：a2n 1a2n a2n.2010年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或

4、几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应 的分数.2 对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案ACDABCBB二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选

5、择性.共7小题，每小题5分，满分30分.题是选做题，考生只能选做一题.9. 710. 7211 .2312. (2,313.14.15. 321415三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）以及运（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法,算求解能力）(1)解：/ f (x)二 sin x ,函数f x的最小正周期为 2 .（2）解：函数 v = f 2x + ：=sin 2x + 申, I 4丿 J 4丿n又y =sin x的图像的对称轴为 x = k（ k Z）,2令 2xk 二42

6、兀“兀将x代入，得=k（ k Z）.6 12/ 0 n.申=11- 1217. （本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理 能力、运算求解能力和应用意识）1000, 800, 600，0,当摸到球上标解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0.则的所有可能取值为 1000, 800, 600, 500, 400, 300, 0.依题意得1P=1000 i=P=800 i=P =600 二1P”： =500 产p： =400j=p产=30

7、0丫=卩广：=0 =则.的分布列为奖金匕10008006005004003000概率P111111144416161616所以所求期望值为1 1E 1000 800 600500 400 300 0= 675 元.答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元.18. (本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方 法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1) 证明：/ AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上， AE _ CD .在正方形ABCD中，CD _ AD , AD 门 AE = A, CD _ 平

8、面 ADE . CD 平面 ABCD ,平面ABCD _平面ADE .(2) 解法 1： / CD _ 平面 ADE , DE 平面 ADE , CD _ DE. CE为圆O的直径，即CE =9 .设正方形ABCD的边长为a ,在 Rt CDE 中，DE2 二CE2 -CD2 =81 - a2,在 Rt ADE 中，DE2 二 AD2 - AE2 二 a2 -9 ,由 81 -a2 二 a29，解得，a = 3 5 . DE =、AD2 - AE2 =6 .过点E作EF _ AD于点F，作FG二AB交BC于点G，连结GE ,由于AB 平面ADE , EF 平面ADE , EF _ AB. AD

9、 AB = A , EF _ 平面 ABCD . BC 平面 ABCD , BC _ EF . BC _ FG , EF 门 FG 二 F , BC _ 平面 EFG . EG 平面 EFG , BC _ EG. Z FGE是二面角D-BC-E的平面角.在 Rt ADE 中，AD =3.5 , AE=3, DE = 6 , AD EF = AE DE ,AE DE 3 66,5EF二AD 355 在 Rt EFG 中，FG 二 AB =3.5 ,EF 2-tan EGF = FG 52 故二面角D - BC -E的平面角的正切值为 -.5解法2： / CD _平面ADE , DE 平面ADE

10、, CD _ DE. CE为圆0的直径，即CE =9 .设正方形ABCD的边长为a ,在 Rt CDE 中，DE2 二CE2 -CD2 =81 - a2,在 Rt ADE 中，DE2 二 AD2 - AE2 二 a2 -9 ,由 81 -a2 二 a2 -9，解得，a =3-. 5 . DE = ； AD2 -AE26 .y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则以D为坐标原点，分别以 ED、CD所在的直线为x轴、D 0,0,0 , E -6,0,0 , C 0,-3.5,0 , A -6,0,3 , B -6,-3 ,5,3 .设平面ABCD的法向量为口 = %,%,乙,mLDA = 0,I 一6

11、为 3乙=0,则1即11nDC =0.-3、5% =0.取为=1,则n二1,0,2是平面ABCD的一个法向量.n2县二，即n 2LEC =0.设平面BCE的法向量为n2 = x2,y2,z2 ,-3、5y2 3z2 = 0,6x2 - 3、5y2 = 0.取 牡=2，则址=1：$5,2,2 .5是平面ABCD的一个法向量.cos ni, n2njn21,0,2 L 5,2,2、55ni n 一 1一。4 , 5420 一 . 29故二面角D -BC -E的平面角的正切值为19. (本小题满分14分)(本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和 运

12、算求解能力)(1) 解：t f (x) = a In x -1 f (x)二一弓 丄=x 2a .xx x x令 f (x) = 0 ,得 x = a . 若ae，贝U f (x)0，函数f x在区间0,e】上单调递减，a所以当x=e时，函数f(x)取得最小值三.e综上可知，当ae时，函数f x在区间0,el上的最小值为-.e(2) 解：/ g(x) = ln x T ex x， x 三 i0, elxe ,In x -1x二 g (x) = I n x _1 exI n x _1 ex 1ex1 = - I n x 1 ex1.lx丿1 由(1)可知，当 a =：1 时，f (x) In x

13、 -1 .x此时f(x)在区间0,e 1上的最小值为In 1-0，即 In x_10 .x当 x0 三0,e 1, ex00 ,丄 In x0 -10 ,x。 g(x0) = 丄十Inx0 -1 ex0+110. 伍丿曲线y =g(x)在点X =x处的切线与y轴垂直等价于方程 g(x。)=0有实数解.而g X0心0，即方程g(x)=0无实数解.故不存在xq E(0,e】，使曲线y=g(x)在点x = x。处的切线与y轴垂直.20. (本小题满分14分)(本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想 方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解：设

14、 P x,y，则 Q x, -1 ,QP 0,y 1 L-x,2 二 x,y-1 Lx,-2 . 即 2 y 1 =x2 -2 y-1，即 x2 = 4y ,所以动点P的轨迹C的方程x2 =4y .(2)解：设圆M的圆心坐标为 M a,b，则a2 =4b .圆M的半径为MD = Ja2+(b 2 $ .圆 M 的方程为 xa 亠y -b $ 二 a2 b22 .令 y 二 0 ,贝H x _a 2b2 二 a2 b2 2,整理得，x2 -2ax 4b -4 =0 .由、解得，x=a二2 .不妨设 A a -2,0 , B a 2,0 ,- li2 2a -24 , l2 a 24 .l1 l2

15、 l12 l2 2a2 161 1 ! ” ， |2 |i|i|2. a4 64=22 2 a 84 a 64216a24a 64当a = 0时，由得,12 r2116264a亠一2a= 2.2 当且仅当a =2、,2时，等号成立.当a =0时，由得，丄旦=2 .I2 h故当a2时，卄的最大值为灯.21 .（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能 力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当n=1时，有印=S，由于an 0，所以a1.当 n =2 时，有 S2 = a3 a2，即 q a2 = af a；,将a1 =1代入上式

16、，由于an 0 ,所以a? = 2 .（2） 解：由 Sna； a； Jll a；,得 a； +a； + IH+a；=(印 +a2 +IH + an )2,则有 a；a；an a；1=冃a? III a. a. 12 .2 2一，得 a 二 q a： Tll an 务 1 一 印 a：，lla., 由于 an 0，所以 a；1 =2 a a： W a.- an 1 .同样有 a； = 2 a a2 III an丄 )+an(n2),一，得2 2an 1- an 二 an 1* an 1的等差数列.由于a2印=1，即当n1时都有an勺.-an =1，所以数列an !是首项为1，公差为故 an = n .(3) 证明 1：由于(1+x$+Cnx + C：x2+C3x3+| ,(1-x卜C0-Qx+Cix2-Ux3+|,所以(1 +x)n (1 x)n =2C；x + 2C3x3 +2C5x5 + |H . 即(1+x) (1X)