力学量的算术平均值File

1、求：势能为冲，波函数为=Cgx)(其中屮n(X)为能量本征函 数)的粒子的能量取值情况(即能量值大小和相应的几率，能量平均 值)。已知势能为2，2/的粒子能量本征函数和相应的能量本征值如下:2En二(n 1)h , n 二 0,1,2,3，2:-2x2n(X)=2HnC x)eah:2C2x2 ；(x)dx 十 C -+02nn2首先要将波函数门二C X n (X)归一化，求归一化系数C。-oOX2：(X)dX n(X)X2 n(x)dx-oO-oOX n(X)= 土 后心&) +卄&)X知 n(x)二右丁n(n-iy n2(x) + (2n 十 1) n(x) + J(n十 1)(n十 2n

2、七(x) J(X)=話丽 nv(X)-卄(X)(XJn(n-1y n/x)-(2n +1) n(x)十 J(n；1)(2 2y n七(刘2 -苍J屮n(X)X2 屮 n(X)dX=(屮 n(X)X2 屮 n(X)dX-oOx2屮n(x)=2Jn(n1艸n上(X) +(2n +1艸n(x) + J(n +1)(n + 2)屮p(x) Ir：1:2： 2 -：J屮n(x)x2 屮 n(x)dx = L J屮 n(x)7nn,(x)+(2 门+1几(刈+抑 +1)( n+2艸 n*(x)jdx-CO1 :十 n(n-1)n(x n j(x)dx (2 n 1) -n(x) ： n(x)dx .(n

3、1)(n 2) - n(x)- n .2(x)dx2 二1(2n 1)-co2 2C2 二-2n 1：(x)G(x)乂； n(x)x n(x)dx5 Xn(x)；2/n a(XV n+仲 n*(X)= 乔= (X) J ；n1(X)(X)X(X)Y2n +1屮n(X)屮n卅(x)处在能量本征态的几率幅y/nJn + 1j2n+1j2n+1处在能量本征态的几率nn +1nn +1+ =12n + 1 2n+12n +12n+1能量本征态的能量丄1En=(n-1中尹技1En出=(门匕右爪国能量算术平均值n厂丄 n +1 厂n,1、丄 n + 1 ,丄 3、E=En +.EnHt=cn n + Jh

4、 优2n+12n+12n+122n+12E n (2 n-1) + ( n+1)(2 n+3)2(2 n +1)力学量算术平均值问题1. 力学量：坐标X, ?,?坐标的平方,z?, 一维谐振子势能U?(x)=*丄/?,d2 d一维谐振子动能T?，动量？，x二-一dx2dx2. 状态：a) 力学量的本征态一一目前我们只学过能量的本征态：fJ冷f 2 2n x- x I- n(x)Sin (-), n =1,2,3,- n(x)n HnCx)va aJ V2 n!/T匸 Jb) 不是力学量的本征态3. 结论：a) 在力学量的本征态中(屮n(x),力学量取固定的唯一的本征值(En丨,En = (n)

5、：)；几率为1 ,平均值就是本征值 En ；2a22b) 对于不是力学量的本征态的状态(x)，需要将这个状态用力学量的本征qQ态展开-：(X)二、c/- n (x)，来求得力学量的取值I En ?和相应的几率幅n =0q ，根据平均值的几率定义求该力学量的平均值色= |Cn2 Enn=0C)通过力学量算符来计算力学量的平均值a_空-例1求在W .&)=占芥出(5)丁状态下，坐标乂的平均值?：2x例2求在屮n(x) = J Hn0X)Q一状态下，坐标平方 ?的平均值x,2n n! 二例3求在n(X)n -HnGx)e 2状态下，一维谐振子势能2nn!、二l?(x) J丄2?2的平均值i?(x)二

6、1丄2?。2 2例4求在n (x) n HnG x) 2状态下，一维谐振子动能T?= 一矿的V2n n!匕2卩平均值T?Examplel2?= JXpn(X)|dX=(屮 n(X)测 n(X)dX-oO-oObo? = xfn(X)-oOExample 22 1 :dx 二n(x) n- n(x)、- n 1 n 1(x) dx =0-:吃2 :be-bex =(x2n(x)fdx=(屮 n(X)Xn(X)dX_oQ_oQx n(xH21 .i) nJ(x) (2n 1)- n(x) (n 1)(n 2)- n .2(x)box2 =-n(X)xSn(X)dX_oQ1寿 W(x)Jn(n 1)

7、屮n(x) + (2n +1艸n(x) +J(n +1)(n+ 2)屮(xjdx-be-be-beI 折D PUx艸 n/x)dx+(2 n+1)界 n(x”n(x)dx+/n +1)( n+2)(屮 n(x” 涉(x)dx2 21 (2n 专hQ： 2 二-oO2n 1-oO-oO_ 2 2Example3U(x)=严 .22n 1h(n +22 丄2Example 4 1 1 En心x)寸匸沪-bo_ -beT?= fVn(x)Tn(x)dX=严-oO-QCip2 = h2 d(x)-dx2 h2 d2? = -i ddxd2 2Pdx2 ,*n(x)dx=化(x)hn(x)dx2J .：

8、2i?n,x)-(2n 1)n(x) (n 1)(n 2 n 2(x)花佥 A(X)詁 n(x)dx-CO2 2 ：； _ 宁化(x)Jn(n -1)屮x)-(2 n+1(x)+J(n +1)( n+2)巴七(x) dx 2 2h21 / J 1 l不亦 J(2n 1尸 2(n 1)h2En2力学量算符1.量子力学基本假设I描写物理系统的态函数的总体，构成一个希尔伯特空间。系统的每一个动力学 变量，由对这些态函数 施加作用的一个厄米算符描写。a）态函数：不是一般的态函数，一定是两两正交，自归一的算符本征函数b）厄米算符：力学量要用一个算符表示，不能用一个实数，也不能用一个 函数表述。c）厄米算

9、符定义：如果对于两个任意波函数*和，算符F?满足下列等式:F- dy = （F- y dv，则称F?为厄米算符。d）厄米算符性质：厄米算符的本征值是实数。e）“施加作用”：i. 若匸n是F?的本征函数，则施加作用后得到一个本征值。ii. 若:不是F?的本征函数，则施加作用后得到多个本征值。iii. 量子力学基本假设U2. 量子力学基本假设U当系统处于状态时，对与算符F?对应的动力学变量进行足够多次的测量，得 到的测量结果的算术平均值F?为：- 严怦d3rF?3:ir d3r若已经归一化，则有：F?=F? d3rF?二.Wrif ： = -n and F? n J n F?二nF?？：d3r 沖

10、=Gn d3rn 二 d3rnnd3rn烈严刖d3rif 9=送 Cn屮 na ndFn =打屮 nT 百=送 |Cn|nnn严凯 d3r =Cm屮 m)Ft C屮 nd3r = (2 6屮 m)临 G n d Imnmn=KZ 5屮m)吃G卅n dl =迟迟人严m屮n dl =迟迟入為mnm nm n.2=S Cn| 打n(X) j0n(X)Y2n 十1屮n(X)%(x)处在能量本征态的几率幅VnJ2n+1j2n+1处在能量本征态的几率n2n +1n +12n+1nn十1+ =12n + 1 2n+1能量本征态的能量1En=(门十尹1En* =( n+1+；)h2能量算术平均值n厂丄 n +1nz1, n + 1丄 3丄E=En+En*=(n Jh 国+7( n+ )h 灼2n+12n+12n+122n+12E n(2 n-1) + ( n+1)(2