分式方程竞赛题

1、第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方 法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的待点进行有效的变形.变形时可能会扩大(或缩小)未知 数的取值范围，故必须验根.例1解方程1 I 1 I 1 =0 x2+11a-8 x2+2a8 x2-13a-8_解令y=/+2x8,那么原方程为1 1 1 n+-+=0 y + 9y y y 5x去分母得y(y15x) + (y+9x) (y15x) +y(y+9x) =0,/ 4xy45x =0t(y+5x) (y9x) =0,所以y=9x或y=5儿由 y=9x得8=9儿 即 Z7x

2、8=0,所以眉=1.上=&由 y=5儿 得 x+2x-8=-5%,即 x+7%-8=0,所以血=一8, xt=l.经检验，它们都是原方程的根.例2解方程7272x2 +4x-18=0+ 4x 72工一 72-+-18=0 +x-1 f+4xF 4- 4 r72解设尸音，则原方程可化为卄厂吩。戸一18尸+72=0,所以 yi=6 或 /2=12.当y=6时，-_=6, +4x=6x6,故2x+6=0,此方程无实数根.A-1Y + zl r当 y=12 时，=12, x +4%= 12x12,故才一8才+12=0.故（一8x+12 = 0,x-1所以X2或址=6经检验，加=2,出=6是原方程的实数

3、根.例3解方程A+ 6 3x2 +10x + 4 2x +1 cx + 1 ；r+3x + 2x + 2分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为5x-23+_(3+_) + 2-= 0,x + 1x2+3x + 2x + 2整理得丄-丄-L丸,x + 1 x + 2.+ 3x + 2去分母、整理得x+9=0, x=9.经检验知，x=-9是原方程的根.例4解方程xil+i6 = xi2 + x15x+2 x+7 x+3x+6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化

4、为丄丄，x + 2a*+ 7x + 3x + 61 1 _ 1 1x + 6 x + 7 x + 2 x + 3即1 _ 1(a + 6)(x + 7) (x + 2)(x + 3)所以Cy+6) Cr+7) = (x+2) U+3).9解得x=-.29经检验x=-|是原方程的根.例5解方程丄+丄+1丄x(x-l) x(a + 1)(x + 9)(x + 10) 12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆 成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为1111 1 1 114 + =X-1 X X a + 1 x + 9 A + 1012

5、整理得1 1 _1171x + 10i2去分母得+9x22=0.解得孟=2, x2=-ll经检验知，山=2,疋= 11是原方程的根.例6解方程2x2 + 3x + 2 _ 2x2 -5x + 32x2-3x-2 = 2x2+5x-3分析与解 分式方程如比利式? =且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用h d合比定理化简.原方程变形为(2.L + 3 a* + 2) + (2人亠3x 2) (2x 5x + 3) + (2x* + 5x 3)2十-3x-2=2a-2+5x-34x2_4x22x2-3x-22x2+5x-39所以x=0 或 2x3at2=2 2 = - X2 +A-

6、+ 12二 x2+l 3时,2当需詐E经检验才=1及x=-a均是原方程的根.例9解关于/的方程叱+土 =2丄b+x a+x 2解设=戶，则原方程变为*+- = 2+1b + xy 2所以y【=2或y-i.由 二丄=2,得 xi = a2b；由 一 ,得 x2=b2a.h + xb + x 2将X = a_2b或上=52日代入分母b+x.得ab或2（b0）,所以，当日时，Xi = a2b及总= b2a都是原方程的根.当a=b时，原方程无解.例10如果方程x-2 x x（x-u）只有一个实数根，求d的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2Y2x+（e+4）=0原方程只有一

7、个实数根，因此，方程的根的情况只能是：（1）方程有两个相等的实数根，即 = 44 2（卄4） =0.71解得臼=此时方程的两个相等的根是山=花=空（2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0或2.（/）当x=0时，代入式得&+4 = 0,即日=4这时方程的另一个根是-=1 （因为2x2x=09才（X1）=0,山=0或x2=l.而孟=0是增根）.它不使分母为零，确是原方程的唯一根.（/）当x=2时，代入式，得2X42X2+Q+4)=0,即a=-8.这时方程的另一个根是x=-l（因为2?-2x-4=0.（才一2）匕+1）=0,所以匕=2（增 根），匕=1）它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的&的值分别是7-“ -4, -8,其对应的原方程的根-次为丁 1, -1练习一1.填空：（1）方程x+-L = iol的一个跟是io,则另一个跟是x-82（2）如果方程匚竺二竺11有等值异号的根，那么刃=ax c m + lz： -5 z： -1如果关卄的方程匸+77亍冲有增根円，则Q(4)方程x+l A-110+ =_ x-l X+13的根是4x5xx3 + 2x2 +x x3 + 2x2 一 5x宀2x2 3 +x + l4 解