数列复习知识点总结

1、高二数学第二章数列复习（文）丁红 2013. 09. 26一、知识梳理数列概念1数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2通项公式：如果数列匕的第”项与空之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数 列的通项公式，即=f（n）.3. 递推公式：如果已知数列仏的第一项（或前几项），且任何一项”与它的前一项（或前 几项）间的关系可以用一个式子来表示，即）或5=/（勺“，勺_2），那么这个式子叫做数列 。”的递推公式.如数列”中，=l,a“ = 2a“ + 1 ,其中an = 2an 4-1是数列“”的递推公式.4. 数列的前项和与通项的公式 S = +“2 +

2、- + “； G” =2Y5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；有界数列, 无界数列.递增数列：对于任何neN+t均有an+l an. 递减数列：对于任何neN+,均有an+l an. 摆动数列：例如：1,1,1,1,1,. 常数数列：例如：6,6,6,6,. 有界数列：存在正数M使pn| M .等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列, 常数称为等差数列的公差.2. 通项公式与前项和公式通项公式5=q+（n 1），为首项，d为公差

3、.前n项和公式S” =川D或S“ = na +-n（n 一 l）d .2 23. 等差中项如果a,A,h成等差数列，那么A叫做“与。的等差中项. 即：A是。与b的等差中项O2A = d + Z?U, A, b成等差数列.4. 等差数列的判定方法定义法：an -an=d （ n e N+ , d是常数）oa”是等差数列;（2）中项法:2% = an +%2 （已N+）0仏是等差数列.通项法：an = pn + q、（p,q为常数）”是等差数列.（4）前n相和法：S“ =/屛+g,（pHO,HO） U“是等差数列.5. 等差数列的常用性质数列仏是等差数列，则数列S + M、缺( p是常数)都是等差

4、数列;在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列，即“”心为等差数 列，公差为竺.(3) a = am +(n-m)d ; a =an+b (a , b 是常数)；Sn = an中项法:an+12d”+2( w N+)且a”工0 ”是等比数列.通项法： = cq, (c,g H 0) O a是等比数列.前 n 相和法：S”=Aq”+B,(AH0,BH0,q + B = 0,qHl)Ud”是等比数列.5. 等比数列的常用性质数列仏是等比数列，则数列仙、仙(彳工0是常数)都是等比数列;在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即勺+2&4z，为等比数 列，公比为 a” =am (/(

5、njn e N+) 若也+ 料=p +,贝am 心=ap 伽；若等比数列仏的前项和S”，则S女、SuSr、Skfk、sAk - s.k是等比数列. +bn(a , b是常数,a =#0)(4) 若 m + n = p + q(m, n、p,qNJ ,则 ain + an =ap+aq-若等差数列仏的前n项和S“，则计是等差数列；当项数为2n(n已NJ,则 - S沂=nd, = -;当项数为2n+l时，则，则.S矿S偶二a”+|=a中，-= S偶n当项数为 2/7 -1(“ e/V+),则 S, - S偶=,=.等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常

6、数这个数列叫做等比数 列，常数G称为等比数列的公比.2. 通项公式与前项和公式通项公式：a” =如/“，为首项，g为公比.前项和公式：当g = l时，Sn = iui当xi时， =空UXgd.l- 2）,求数列仏的通项公式；b、已知关系式a/l+l=a,f（N）t可利用迭乘法讣丄也也乞血5 例、已知数列满足：上=匚(心2)“=2,求求数列“”的通项公式；/?-川一2n-3% H + 1C、构造新数列1递推关系形如“产叫+4”,利用待定系数法求解例、巳知数列中,at=l9an+l=2a+3t求数列仏的通项公式.2。递推关系形如，两边同除或待定系数法求解 例 =I,%】=2d” + 3,求数列“”

7、的通项公式. 3递推已知数列”中，关系形如“ ”+2=卩*曲+“勺”，利用待定系数法求解 例、巳知数列中,绚=1,2 = 2,%2 = 3如-2“”，求数列%的通项公式. 4递推关系形如a -pa_x = qanan_p, q工0),两边同除以aan_ 例1、已知数列“”中，an -an_x = 2anan_n2), at = 2 ,求数列a“的通项公式.例2、数列“中，ax = 2,an+I =n e A+),求数列“的通项公式. 4 + and、给出关于Sn和心的关系例 1、设数列“”的前项和为 S”，已知a = a,a+l =Sn + 3n(/z e N+),设bn =Sn -3n ,

8、求数列0”的通项公式.例2、设S”是数列“”的前”项和，6=1,求。”的通项；设戈求数列宓的前“项和7；.2/i +1C、证明数列是等差或等比数列1) 证明数列等差例1、已知S”为等差数列仏的前项和，仇上(N+).求证:数列仇是等差数列.n例2、已知数列的前/?项和为S,且满足+2SS产0(心2),第丄.求证：丄是等差数列; 2Sn2) 证明数列等比 例1、设列是等差数列，=(，求证：数列加是等比数列；例2、设S”为数列仏的前项和，已知処厂2”=(b l)S”证明：当b = 2时，an-n-T是等比数列；求的通项公式D、求数列的前n项和基本方法：1) 公式法，2) 拆解求和法.例1、求数列2n

9、+2n-3的前项和S 例2、求数列1丄,2丄,3丄,，5 +丄),的前“项和S”.2482例 3、求和：2X5+3X6+4X7+-+ n (n+3)2)裂项相消法，数列的常见拆项有：一1=丄(丄-一); n(n + k) k n n + k例1、求和：11 11+ +1 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + + 例2、求和：1 1 1 111f |41 + 1 V3 + V2 VJ + V5!n + +yii3)倒序相加法，例、设/)=亠，求：1 + 2(1)/(1)+ /(|) + /(!)+ / + / + /； /(缶)+ /(爲)+ + /G)+ /(*) + /(2) +

10、+ /(2009) + /(2010).4) 错位相减法，例、若数列”的通项a =(2w-l)*3,求此数列的前”项和S”.5) 对于数列等差和等比混合数列分组求和例、巳知数列&的前n项和Sn=12n n,求数列|aj 的前刀项和T“.E、数列单调性最值问题例1、数列仏中，=2n-49 ,当数列仏的前项和S”取得最小值时，”=.例2、已知S”为等差数列的前“项和，q=25,5=16.当“为何值时，S”取得最大值； 例3、数列,中，=3n2-28n + l,求冷取最小值时的值.例4、数列”中，an =n-yln2 +2 ,求数列”的最大项和最小项.例5、设数列的前项和为S” 已知q=d, a”+i=S”+3, “wN*.(I)设bn=Sn-3nf求数列$的通项公式;(II)若+0%,兀2,求a的取值围. 例6、已知S”为数列仏的前项和，% =3, SnSn_ =2a(n 2).求数列仏的通项