最新二重积分的计算方法

1、二重积分的计算方法1 第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法 计算二重积分的方法计算二重积分的方法: 二重积分二重积分 累次累次积分积分(即即两次两次定积分定积分). 二重积分的计算方法2 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划 分区域分区域D， ( , )d( , )d d DD f x yf x yx y dd dx y 故二重积分可写为故二重积分可写为 x y o 则面积元素为则面积元素为 一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分 二重积分的计算方法3 (2)如果积分区域为：如果积分区域为： 其中函数其中函数 、 在

2、区间在区间 上连续上连续.)( 1 x )( 2 x ,ba X型型 b )( 2 xy )( 1 xy a D x O y x O y )( 1 xy )( 2 xy D b a , bxa ).()( 21 xyx 二重积分的计算方法4 回忆回忆：平行截面面积为已知的立体的体积：平行截面面积为已知的立体的体积 x oxdxx ab )(xA表表示示过过点点 x且且垂垂直直于于x轴轴 的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数 d( )dVA xx ( )d b a VA x x 立体体积立体体积 )( xA此方法关键是求此方法关键是求 二重积分的计算方法5 的的值值等

3、等于于)0),(d),( yxfyxf D 计算截面面积计算截面面积 ),(yxfz ( 红色部分即红色部分即A(x0) ) 以以D为底为底, 以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算应用计算“平平 行截面面积为行截面面积为 已知的立体求已知的立体求 体积体积”的方法的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法: 是区间是区间 )(),( 0201 xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形. ),( 0 yxfz 为底为底,曲线曲线 x y z O ),(yxfz D )( 2 xy )( 0 xA a b 0 x )( 1 xy 二重积分的

4、计算方法6 x y z O ),(yxfz D )( 2 xy )( 0 xA a b 0 x )( 1 xy y z O )( 01 x )( 02 x ),( 0 yxfz A(x0) )( 01 x )( 02 x yyxfxAd),()( 00 yyxfxA x x d),()( )( )( 2 1 D yxfV d),( b a xxAd)( x b a d )d),( )( )( 2 1 x x yyxf b a x x yyxfx )( )( 2 1 d),(d 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分(累次累次积分积分) ) 二重积分的计算方法7 (2) 积分区域积分区域为：为

5、：,dyc )()( 21 yxy D yxf d),( 先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分 也即也即 d c y y xyxfy )( )( 2 1 d),(d D yxf d),( 其中函数其中函数 、)( 1 y )( 2 y ,dc在区间在区间 上连续上连续. D )( 2 yx c d )( 1 yx x O y x O y D )( 2 yx c d )( 1 yx d c yd)d),( xyxf )( 1 y )( 2 y Y型型 二重积分的计算方法8 1.当当D既不是既不是X-型区域也不是型区域也不是Y-型区域时型区域时, 将将D分成几部分，使每部分是分成几部分，使每部

6、分是X-型区域或型区域或 是是Y-型区域型区域. 2.当当D既是既是X-型区域也是型区域也是Y-型区域时型区域时,可以可以 用两个公式进行计算用两个公式进行计算. y x 0 y x 0 c d a b D 二重积分的计算方法9 特殊地特殊地 D b a d c yyxfxyxfd),(dd),( )()(),( 21 yfxfyxf 若若 yxyfxf D dd)()( 21 即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积. D为矩形域为矩形域: 则则 则则 axb,cyd b a xxfd)( 1 yyf d c d)( 2 yyfxf d c d)()( 21 xd) b a ( d c

7、b a xyxfyd),(d 二重积分的计算方法10 二重积分是二重积分是化为化为两次定积分两次定积分来计算的，来计算的，关键关键 是确定积分限是确定积分限. 定限要注意的问题：定限要注意的问题： 1.上限上限下限下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数外层积分上，下限应为常数(后积先定限后积先定限). 4.4.二重积分的结果应为常数二重积分的结果应为常数. . 二重积分的计算方法11 例例 计算计算d D xy 其中其中D是由直线是由直线y=1,x=2及及y=x所围成的闭区域所围成的闭区域. 解法解法1 1：

8、 先先y后后x 2 11 dd d x D xyxy yx 2 2 1 1 d 2 x y xx 2 342 2 1 1 d 2284 xxxx x x y x 0 12 y=x y=1 x=2 21 x xy 1 8 9 二重积分的计算方法12 解法解法2 2： 先先x后后y 22 1 dd d y D xyxy xy 2 2 2 1 d 2 y x yy 2 34 2 2 1 1 2d 28 yy yyy y x 0 1 2 y=x x=2 y 21 y 2 xy 8 9 二重积分的计算方法13 解解 2 3 d d , . x D ex y Dyx yx 是是第第一一象象限限中中由由直直

9、线线 和和围围成成区区域域 例例 计算计算 ),1 , 1( ,)0 , 0( 3 xy xy 3 xy xy (1,1) xyx x DX 3 10 : 2 d d x D ex y 22 1 3 0 ()d xx xex ex 2 3 1 0 d x x x yex . 1 2 1 e 2 3 1 0 dd x x x xey 二重积分的计算方法14 选取积分次序选取积分次序, , 不仅要看区域的特点不仅要看区域的特点, , 而且要看被积函数而且要看被积函数的特点的特点. . 凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: : 等等等等, ,一定要放在一定要放在 后面积分后面积分. . ,d sin

10、x x x ,dsin 2 xx ,dcos 2 xx ,d 2 xe x ,d 2 xe x , ln d x x ,dxe x y 二重积分的计算方法15 xy 1 解解积分区域如图积分区域如图 yx y DY 10 10 : 例例 改变积分改变积分 11 00 d( , )d x xf x yy 的次序的次序. 二重积分的计算方法16 例例交换积分次序：交换积分次序： ax xax a yyxfx 2 2 2 0 2 d),(d)0( a 解解 axy2 2 2xaxy 22 yaax x y O aa2 a a2 a y x 2 2 原式原式= xyxfd),( yd a y 2 2

11、xyxfd),( 22 yaa 0 a a2 22 yaa yd 0 a xyxfd),( yd a2 a y 2 2 a2 a 二重积分的计算方法17 例例 交换积分次序：交换积分次序： 解解 积分区域积分区域: xxx yyxfxyyxfx 2 0 2 1 2 0 1 0 d),(dd),(d 2 原式原式= 1 0 dy y 2 xyxfd),( 2 11y 2 2xxy xy 2 x y O 12 yx 2 2 11yx 二重积分的计算方法18 例例 求证求证 axa xxfxayyfx 000 d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中, 提示提示 xa yyfx 00 d

12、)(d a y a xyfyd)(d 0 a yyfya 0 d)()( a xxfxa 0 d)()( 不能直接计算，不能直接计算， )(yf是是y的抽象函数的抽象函数, )0( a ,0ay axy a a y yxyf 0 d)( 证毕证毕. 要先交换积分次序要先交换积分次序. . a x y Oa ),(aa 证明证明 二重积分的计算方法19 例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分且这两个圆柱面的方程分 别为别为 及及 222 Ryx . 222 Rzx 解解 d D 3 3 2 R 3 1 3 16 8RVV d),( 1 D yxfV 22 xRy 求所围

13、成的求所围成的 立体的体积立体的体积. x o y z o x y D R 22 xR yxRd 22 22 xR 0 xd 0 R 22 xRz 曲曲顶顶 二重积分的计算方法20 解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图. , yxz ,xyz , 1 yx, 0 x. 0 y 例例 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积， 二重积分的计算方法21 , 10 yx,xyyx 11 00 d()d x xxyxyy 1 3 0 1 (1)(1) d 2 xxxx . 24 7 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是 1 yx x o y 2 2 二重积分的计算

14、方法22 例例 . 10 , 10:)( ,| 2 yx dxyI 为为其其中中 计计算算积积分分 解解 o x y 1 1 2 xy )( 1 )( 2 I 1 2 ()dyx 2 2 ()dxy 10 1 15 4 . 30 11 二重积分的计算方法23 补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论: : 若若D关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将D的边界的边界 曲线方程中的曲线方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变), 则则 ( , )d d( , )d d . DD f x yx yf y xx y 二重积分的计算方法24 1 1 证证 yx yx ybxa I D d

15、d )()( )()( 设设 的的对对称称性性得得由由区区域域关关于于直直线线xy yx xy xbya I D dd )()( )()( 所以所以, D yxbaIdd)(2)( 2 1 baI ,1 , 0)(上上的的正正值值连连续续函函数数为为设设x )( 2 1 dd )()( )()( bayx yx ybxa D 证证明明： 为常数，为常数，其中其中ba, 例例 xy ba x y O 1,0),( yxyxD 二重积分的计算方法25 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序） 小结小结 2 1 () () ( , )dd( , )d . bx ax D f x yxf x yy 2 1 () () ( , )dd( , )d . dy cy D f x yyf x yx Y型型 X型型 （1）化二重积分为二次积分；）化二重积分为二次积分； （2）交换积分次序；）交换积分次序； 题型题型 二重积分的计算方法26 作业作业 习题习题8-2(1)8-2(1) (77(77页页) ) 3.(1) (3)(4) 4. 5. 6.(1) (2) 7.(2)(3) 二重积分的计算方法27 11 3 0 (1)d1d y yxx 计算计算( (学生练习学生练习） sin (2)d