1991真题及解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分，每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)设 z=es咖，则 dz=. 设曲线f X=X3ax与g Xj=bx2都通过点-1,0 ,且在点-1,0有公共切线贝 H a =, b=, c =. 设f (x )= xeX,则f C X x)在点x = 处取极小值.0a、 设A和B为可逆矩阵，X =为分块矩阵，则X=.0丿(5)设随机变量X的分布函数为0, X-1,0.4, 一1 兰 xc1,F(x) =PX x=0.8,1 兰xc3,1, x_3.则X的概率分布为.二、选择题(本题满分15分,每小题 把所选项前的字母填在题后

2、的括号内(1)F列各式中正确的是(A) lim 1 - T十Ix(C) lim M-1x3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，.)x(1 丫二 1(B)lim 1 -)X叮 xx(1 Y二-e(D)lim 1 -)xx()1设0岂an (n =1,2，川)则下列级数中肯定收敛的是noo(A)ann =1(B) (T)nann dCO(C)- - ./ann 1(D)、(T)na；n d设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A的特征根之一是(A) An (B)4a(C)(D)An设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是(（A） A与B不相容(

3、B)A与B相容(C) P AB j=P APB(D)P A-B i=P A 对于任意两个随机变量 X和Y,若E（XY）二E（X） E（Y）,则(A) D(XY)二 D(X) D(Y)(B)D(X Y) = D(X) D(Y)（C） X和Y独立（D）X和Y不独立三、（本题满分5分）求极限1广 x * 2x * . nx 蚩lim e一e一川 e ,其中n是给定的自然数 心、n四、（本题满分5分）计算二重积分I二 ydxdy,其中D是由x轴，y轴与曲线D域，a 0,b0.五、（本题满分5分）求微分方程xyd=x2+ y2满足条件yx卡=2e的特解. dxx=e六、（本题满分6分）假设曲线L1 :

4、y = 1 -X2 0乞x乞1、x轴和y轴所围区域被曲线 L2: y = ax2分为面 积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值.,售价分别为 卩!和p2 ；销售量分别为q!和七、（本题满分8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售q2 ;需求函数分别为 q =24-0.2和q? =10-0.05 p?，总成本函数为35 40 q1 q2 .试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、（本题满分6分）1试证明函数f（x）=（1）x在区间（0, ：）内单调增加.x九、（本题满分7分） 设有三维列向量问取何值时，(1) :可由1,2,3线性表示,且表达

5、式唯一 ？(2) 可由?i/-2/3线性表示,且表达式不唯一 ？(3) 一：不能由宀，2,3线性表示?十、(本题满分6分)2 2 2考虑二次型f Xi 4x2 4x3 2, X1X2-2X1X3 4X2X3 .问，取何值时，f为正定 次型.十一、(本题满分6分)试证明n维列向量组线性无关的充分必要条件是0(：0(2III1TnD =T21卡卡Ta2a2IIITa2ni式0,Tna1Tna2IIITOt Ctn n n其中G T表示列向量C(i的转置，i=1,2,11 1 , n .十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或

6、绿相互独立 ，且红绿两种信号显示的时间相等 ，以X表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数 .求X的概率分布.十三、(本题满分6分)2 2 2假设随机变量 X和Y在圆域X y0,x(n+1),函数g(x)严格单调递增；故x = -(n +1)是函数g (x ) = f(n Xx )的极小值点,极小值为g(_n _1) = f()(_n _1) = (_n _1 n)e - _e【答案】00【解析】利用分块矩阵，按可逆矩阵定义有巾A筑X2、E 0 ”B 01X3X40时y 0,从而limx 0f X 、 2x . j .e +e + 川 +e而四1+y）e,所以叫(1 y)划四(1+y)x

7、limy =ex 0x.又因 limimC1）（/）川（几1 x0 X x0nx所以 limx0lim 1 limn |x)0 xx 刃ex e2 J|J e2xn -1=e 2入A5讥2四、（本题满分5分） 【解析】f =,得 y =b 1 _x由a积分区域 D如图阴影部分所示.一、2xx因此=ydxdy -Da b 1 _ x atdxVE21 2ydy dx y0 12dx令t =1x ,有x =a(1-t)2,dx=2a(1-t)dt,故b2I2a01-x4dx = ft42a(t-1)dtab2五、（本题满分5分）【解析】将原方程化为dy _ x2 y2dx xy56 J030,由此

8、可见原方程是齐次微分方程x令 y=ux,有 二udxduq,将其代入上式2dydu 1 u,得 u x dxdx udu 1, dx1 2.化简得x,即udu .积分得 u = In x C.dx ux2将u =丫代入上式，得通解y2 =2x2(ln x +C).x由条件 y x=2e,即 4e2 = 2e2 (In e + C)求得 C = 1.所以y2 =2x2(ln x 1)所求微分方程的特解.六、（本题满分6分）【解析】先求出曲线 L1和L2的交点，然后利用定积分求出平面图形面积3和S2,如图:2y =1 -x 0 _x _1由2得所以S = S S - 0 ydx = 0 (1 -

9、x )dxy = ax a 0231 1S =尹(1_x2)_ax21dx=严1(1+a )x2dx11 + a 3 |齐2二 xx二 _3 o 3.FI2 2 又因为S =23 ,所以=2,即+a = 2,解得a =3.3 3j1+a七、（本题满分8分）【解析】方法1 :总收入函数为2 2 R = pg P2q2 = 24 P1 -0.2p110p2 -0.05p2 ,总利润函数为L = R_C =伽1 P2q2 】；-（35 40 q q? = 32p1 -0.2p112p2-0.05p2 -1395 .由极值的必要条件，得方程组礼=32 -0.4山=0,即i:L12 -0.1p2 =0,

10、4即 p, =80,p2 =120 .因驻点的唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当p80,p120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为L020 =(32山-0.2 p：+12 p2-0.05 p22-1395)=605P1=80,P2=420 r1r1L2L2丿p=80,p420方法2：两个市场的价格函数分别为p)= 120 - 5q , p2 = 200 - 20q2,总收入函数为R 二 pg p?q2 二 120-5q q200-20q2 q?,总利润函数为L = R-C 二 120-5q q200-20q2 q： - |35 40 q q?2 280q1 - 5q1 16

11、0q 20 q?35 .由极值的必要条件，得方程组cL=80-10qi =0,角1 =q1 =8,q2 二 4.:L160 40q2 = 0,因驻点的唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q =8,q2=4,即山=80,P2 =120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为Llqqm =605.八、(本题满分6分)1【解析】因为x (0,：),所以f (x) =(V -)x 0.x11 xxln(1 七)f(x) =(1) =e x ,两边对x求导，得xf (x)1 xln(1 )x二 e1 xl n(1)x- ln(1)xd)+x_11=(1 )xx- 1ln(11 1令g(x)

12、=1 n(一),为证函数f (x)为增函数，只需f(x).O在(0, ：)上成x 1 +X立”即 g(x) O,X. (0,：)方法一：利用单调性由于_ 1 1 g (x) =ln(1 匚F丄_x2 _-111(1 x)2x1X(1 x)2且 x (0,：),故 g (x)=1x(1 x)2:0 ,所以函数g(x)在(0,二)上单调减少又im g(x) =imln(1 丄)=0,于是有 g(x) . 0,x = (0, 从而1f (x) =(1)xg(x) 0, x (0,x于是函数f (x)在(0,：)单调增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.1X +1令 ln(1 )=1 n( )=1 n(

13、1 x)-Inx = u(x 1)-u(x), xx所以在区间(X,X1)存在一点,使得u(x 1) -u(x)二 u ( )(x 1 - x)二 u ()二丄,0,己2 = （2 - 扎）（2 中入）a 0, A3 =| A = -4（扎一 1）（九十2） 0.丸 4解出其交集为（-2,1）,故（一2,1）时，f为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x,x2|,xn的二次齐次多项式（即每项都是二 次的多项式）n nf（X1,X2，川，Xn ）=E E ajXXj,其中 aij=aji,称为n元二次型，令x=（Xi,X2,lil,Xn T，A = （aij ）,则二次型可用矩阵

14、乘法表示为f Xi,X2,|,Xn 二 XTAX,其中A是对称矩阵 AT = A ,称A为二次型f x1, x2 |, Xn的矩阵.卜一、（本题满分6分）【解析】记A=（1,2ll,n）,则：SdJldn线性无关的充分必要条件是A = 0.由于Aa =曲1aT2 务,川,：1T：2a2IIIIIIa1Tn Ian丽1Tan2IIIaTan n从而取行列式，有D =由此可见1,2H,n线性无关的充分必要条件是D-0.【相关知识点】m个n维向量L,川m线性相关的充分必要条件是齐次方程组：12 川：mX2=0有非零解.特别地，n个n维向量12l（n线性相关的充分必要条件是行列式十二、（本题满分5分）

15、【解析】首先确定 X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率. 设事件A二“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i =1,2,3,且A相互独立.1p(A)=p(A)=2.事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i -1.所以有px =oi a J,pfx =1.； = P 入A 二pA1p A = 122,pfx = p A1 入A3 =p A； p A2 p a = 123,px =3 = p（A1ATA3）=p （瓦）p（A2 ）p（A3 ）=為3.则x的概率分布为号灯的路口，X = 3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯，而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题

16、满分6分)工1I 【解析】二维均匀分布 (X ,Y)的联合密度函数为 f (x, y) = SD【0,（X,y） D,（x,yv D,2Sd是区域D的面积,Sd =曲,所以(X,Y)的联合密度1I f（x, y）二二 r2丨0,2 2 . 2xy二r222xy r由连续型随机变量边缘分布的定义，X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)为bC1 Jr2 /2 nf1（x）= Uf （x, y）dy = JTdy =TTrJr-x2（x ）,2IIf2（八【（“dxjf T （八 r）.由一维连续型随机变量的数学期望的定义:40r-七EX 二 x f(x)dx, Eg(X)- g(x) f(x)dx

17、.r若f (x)为奇函数，积分区间关于原点对称，则积分为零，即是 f(X)dx二0 .r故 EX = r2x2dx, EY 二二y r2y2dy,二 r t二 r r由于被积函数为奇函数，故 EX = EY =0 .cov(X,Y) =E XY -EX EYdxdy,x2心M nr因为此二重积分区域关于 x轴对称，被积函数为y的奇函数，所以积分式为0.cov(X,Y) =0 .由相关系数计算公式 t二cov(X ,Y)_ ,于是x和丫的相关系数：-=0 .Jdx Vdy(2)由于f(x, y) = fi(x) f2(y),可见随机变量 X和Y不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数f(x; ),则似然函数n垃濟nL(X1,X2l|,Xn； )=(： )ne V -: X，imnn