高考数学函数图象的一类重要应用

1、高三复习课高三复习课 函数图象的一类重要应用函数图象的一类重要应用 一、关于函数图象：一、关于函数图象： 图象法是表示函数的一种重要方法；图象法是表示函数的一种重要方法； 函数学习的两大方面：函数性质和函数图象；函数学习的两大方面：函数性质和函数图象； 函数性质与函数图象相辅相成，函数图象可以函数性质与函数图象相辅相成，函数图象可以 直观显示函数性质，研究函数性质可以得出函数直观显示函数性质，研究函数性质可以得出函数 图象；图象； 数形结合是解决函数问题的重要手段，而数数形结合是解决函数问题的重要手段，而数 形结合解决函数问题的前提和基础是准确掌握函形结合解决函数问题的前提和基础是准确掌握函

2、数图象（作出函数的图象）数图象（作出函数的图象）. 二、作函数图象的四个层次二、作函数图象的四个层次 ： 二、作函数图象的四个层次二、作函数图象的四个层次 ： （一）熟练掌握八个基本初等函数的图象（一）熟练掌握八个基本初等函数的图象. ()yc c是常数 (0)ykxb k 2 (0)yaxbxc a (0) k yk x (0,1) x yaaa log(0,1) a yx aa a yx sin ,cos ,tanyx yx yx （二）已知图象大致趋势的情况下描点法作图（二）已知图象大致趋势的情况下描点法作图. 例例1、作出函数、作出函数 当当 时的图象时的图象. 2sin(2)1 3

3、yx 0, x （三）根据基本初等函数的图象通过图象变换得到相应函数（三）根据基本初等函数的图象通过图象变换得到相应函数 的图象：的图象： 图象变换的三种常用形式：图象变换的三种常用形式： （1）平移变换：如）平移变换：如 （2）伸缩变换：如）伸缩变换：如 （3）对称变换：如）对称变换：如 ( )(2)2yf xyf x ( )2 (2 )yf xyfx ( )( )yf xyf x( )()yf xyfx 例例2、画出函数、画出函数 的图象的图象. 2 log 21yx 分析：分析： （1）第一步对称变换：）第一步对称变换： （2）第二步伸缩变换：）第二步伸缩变换： （3）第三步平移变换：）

4、第三步平移变换： 22 loglogyxyx 22 loglog 2yxyx 22 log 2log 21yxyx x10 y 2 lo g21yx 2 1 （四）利用函数性质作出相对复杂函数的图象（四）利用函数性质作出相对复杂函数的图象 例、作出函数例、作出函数 的图象的图象. 1 2 x x y 分析：分析： 定义域：定义域： 所以直线所以直线 是图象的两条渐近线；是图象的两条渐近线； 奇偶性：是奇函数，故只需考虑奇偶性：是奇函数，故只需考虑 轴右边的图象特征；轴右边的图象特征； 有界性：根据定义域，分两段考虑有界性：根据定义域，分两段考虑: 当当 时，时， ，所以此时图象分布在第四象限；

5、，所以此时图象分布在第四象限； 当当 时，时， ，所以此时图象分布在第一象限；，所以此时图象分布在第一象限； 单调性：因为单调性：因为 所以在所以在 、 内均单调递减内均单调递减. ,1x xrx 且 1,1xx y (0,1)x0y (1,)x0y 2 22 1 0 (1) x y x (0,1)(1,) y x 11 2 1 x y x 0 小结：小结：利用函数性质作出相对复杂函数图象的利用函数性质作出相对复杂函数图象的步骤步骤： （1 1）确定函数的定义域）确定函数的定义域( (判断函数图象是否有渐近线判断函数图象是否有渐近线) )； （2 2）研究函数的奇偶性（确定画图象时可否偷懒）研

6、究函数的奇偶性（确定画图象时可否偷懒）； （3 3）研究函数的单调性（确定图象的大致趋势）研究函数的单调性（确定图象的大致趋势）； （4 4）研究函数的有界性）研究函数的有界性( (极值、最值极值、最值) )； （5 5）用平滑曲线连接）用平滑曲线连接. 三、函数图象与函数零点. 例1、当 时，若函数 不存 在零点，求实数 的取值范围. 01a 1 ( )ln(1) a f xxm ax m 分析：函数的定义域为 1 (1,0)(0,) a 函数 不存在零点， 1 ( )ln(1) a f xxm ax 即方程 当 时无解， 1 ln(1) a xm ax 1 (1,0)(0,)x a 即曲线

7、 与直线 没有公共点. 1 ln(1) a yx ax ym 令 ，其中 则 欲求极值点，应考虑定义域，故比较 与 的大小， 因为 所以 由 ，得在定义域内存在两个极值点： 或 1 ( )ln(1) a f xx ax 1 (1,0)(0,)x a 2 2 1(1)(1) ( ) 11 1(1) axxa f x x xxx aa 1 1 a 1a 11 (1)(1)20aa aa 1 11a a ( )0f x1xa 1x 则 的变化情况如下：,( ),( )x f x f x x 1 (1,1)a a 1a(1,0)a(0,1) 1(1,) ( )f x00 ( )f x (1)f a(1

8、)f 1 (1)ln(2) 1 a f aa aa 1 (1)lnfa a 极大值 极小值 极大值 极小值 因为 恒成立， 所以 . 11 (1)(1)ln(2)ln 1 a f afaa aaa 2 (2) ln(1)0 1 a a a a (1)(1)f af 函数 的草图如下： 1 ( )ln(1) a f xx ax x y 1 1 a 1a 1 0 所以实数 的取值范围是 ,即 m ( (1),(1)f af 11 (ln(2),ln) 1 a aa aaa 小结： 函数 在其定义域 内存在零点. 方程 在 内有解. 函数 在定义域 内的图象与直线 有公共点. ( )( )f xg

9、xa d ( )g xa d ( )yg x d ya 例2、已知 是实数，函数 .如果 函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.a 2 ( )223f xaxxa ( )yf x 1,1 a 解：由题意知，即求方程 在区间 内 有解的 的取值范围 2 (21)23xax 1,1 a （1）当 ，即 时 上述方程恒不成立，所以 一定不是上述方程的解 2 210 x 2 2 x 2 2 x （2）当 ，即 时，得 2 210 x 2 2 x 2 23 21 x a x 所以问题转化为使方程 当 时 有解的 的取值范围. 2 23 21 x a x 2222 1,)(,)(,1 2222 x a

10、即求函数 当 时的 图象与直线 有交点时的 的取值范围. 2 23 21 x y x 2222 1,)(,)(,1 2222 x yaa 也即求 关于 的函数 当 时的值域. ax 2 23 21 x a x 2222 1,)(,)(,1 2222 x 令 ， 2 23 ( ) 21 x g x x 2222 1,)(,)(,1 2222 x 令 得 ，由定义域知 . 2 22 4122 ( )0 (21) xx g x x 37 2 x 37 2 x 则 的变化情况如下：,( ), ( )x g x g x x1 2 ( 1,) 2 2 37 (,) 22 37 2 372 (,) 22 2

11、 (,1) 2 1 ( )g x 0 ( )g x5 37 () 2 g 1 其中 3737 () 22 g 极大值 x y 5 11 0 2 73 2 2 2 2 的示意图如图：( )g x 由图象知，函数 的值域为 所以 的取值范围是 . 2 23 ( ) 21 x g x x 37 (,1,) 2 a 37 (,1,) 2 四、课堂小结： 巩固基础知识：如函数的定义域、极值点、极值、求 导公式、单调性等； 提高运用基本方法的能力：比较法（极值点与定义域 的关系、函数值大小）、判定导数值正负的方法、根据 函数性质作图象的方法； 领悟、体会、实践化归的数学思想、数形结合的数学 思想在分析问题解决问题过程中的重要作用. 五、巩固练习： 1、已知函数 ，求方程 根的个数 2、已知函