【备考2020】2019年山东省中考数学精编精练：解直角三角形(教师卷)

1、【备考2020】 2019年山东省中考数学精编精练：解直角三角形姓名:级：号：1. （2019年山东省滨州市（a卷）满足下列条件时， ABC不是直角三角形的为（A. AB=. , BC= 4, AC= 5C.Z A:Z B:Z C= 3: 4: 5B. AB: BC: AC= 3: 4: 5D. |cosA |+ (tanB J) 2= 0 23【考点】非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，：三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，特殊角的三角函数值【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论.解:A： ； + J 二一. .；， ABC 是直角三角形，错

2、误，B、T( 3x) 2+ (4x) 2= 9x2 + 16x2= 25x2=( 5x) 2,仏 ABC是直角三角形，错误,A： / B / C= 3: 4 : 5，丿 c=t川ABC不是直角三角形，正确,|cosA -1+ (tanB -) 2= 0,二-,.-；丄- ：,-一,二/A= 60,/ B= 30，/ C= 90,仏 ABC是直角三角形，错误,故选:C.【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键.2. （2019年山东省威海市）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路 AB走到山顶B点.已知坡角为20,山高BC= 2

3、千米.用科学计算器计算小路 AB的长度，下列按键顺序正确的是 （）B.A.【考点】计算器一三角函数，解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】在厶ABC中，通过解直角三角形可得出sinA =二，贝U AB=一，即可得出结论.ABsin20解：在 ABC 中，si nA = sin20 =二，AB AB= ,sin2Clc sin20c按键顺序为：2十sin20 =故选：A.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键.3. （ 2019年山东省泰安市）如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北

4、偏东20方向，则A，C两港之间的距离为（）km.A. 30+30 匚B. 30+10C. 10+30D. 30 -【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】根据题意得，/ CAB= 65- 20,/ ACB= 40 +20= 60, AB= 30 二，过 B 作 BE 丄AC于E,解直角三角形即可得到结论.解：根据题意得，/ CAB= 65 - 20,/ ACB= 40 +20= 60, AB= 30 匚，过B作BE丄AC于 E, / AEB=/ CEB= 90 ,在 Rt ABE中，T/ ABE= 45 , AB= 30 匚， AE= BE=- AB= 30km,2在 Rt CBE中，T

5、/ ACB= 60 , CE=- BE= 10 二 km,3 AC= AE+CE= 30+10 二， A, C两港之间的距离为（30+10 ：） km故选：B.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单.4. （ 2019年山东省临沂市）计算： -X二-tan45 =.【考点】二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可.解：冷7 - tan45 =亠-1=二1,故答案为：7- 1.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键.5. （2019 年山东省烟台市）

6、| - 6| X 2-1 - COS45 =.【考点】实数的运算，负整数指数幕，特殊角的三角函数值【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幕的性质分别化简得出答案.解：原式=6 X - ;-2 2=3 - 1=2.故答案为：2.【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.6. （2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪 CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端 A的仰角为53,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为 m （精确到 0.1m .参考数据：sin53 0.80 , cos53 0.60 , t

7、an53 1.33 ）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.解：过D作DEL AB,在D处测得旗杆顶端 A的仰角为53,/ AD& 53 ,T BC= DE= 6m AE= DE?tan53 6X 1.33 7.98m, AB= AE+BE= AE+C= 7.98+1.5 = 9.48m 9.5m ,故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.7. （2019 年山东省德州市）计算：6sin60 -甘 I .:+ （丄）。+| 二-2018|2【考点】实数的

8、运算，零指数幕，特殊角的三角函数值【分析】本题涉及零指数幕、 绝对值、特殊角的三角函数值、 二次根式化简4个考点.在计算时， 需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.解：原式=6 X 一 一.一;，=2019.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.8. （2019 年山东省东营市）（1）计算：（一）1+ （ 3.14 - n ） +|2 二匚 |+2si n45 一,20192 2 2（2）化简求值：（ 丄-）+ m人，当a =- 1时，请你选择一个适当的数作小 a2-aba为b的值，代入求值.【考点】实数的运算，分式的化简求值，零指数幕，负整

9、数指数幕，特殊角的三角函数值【分析】（1）分别计算负指数幕、零次幕、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减法，（2）先化简分式，然后将 x的值代入计算即可.解：（1）原式=2019+1+.： 一-+2xL-2 72=2020+2 ；-+-2 -=2020,2-=2(2)原式=1 ?(a+b ) 2=(a4) (a+b) r and) (a+b ) 2=1a+b当a=- 1时，取b = 2,原式= 1.-1+2【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.9. (2019年山东省临沂市)鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了

10、加快施工速度，要在小山的另一侧D (A. C D共线)处同时施工.测得/CAB= 30, AB= 4km,/ ABD= 105,求 BD 的长.【考点】解直角三角形的应用【分析】根据/ CAB= 30, AB= 4km,可以求得BE的长和/ ABE的度数，进而求得/ EBD的度数,然后利用勾股定理即可求得 BD的长.解：作BEX AD于点E,/ CAB= 30 , AB= 4km,/ ABE= 60 , BE= 2km,/ ABD= 105 ,/ EBD= 45 ,/ EDB= 45 , BE= DE= 2km, BD= 血+护 =2 : km,即BD的长是 2 km.【点评】本题考查解直角三

11、角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.10. （2019年山东省荷泽市）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛 B位于它的北偏东30方向，且与航母相距 80海里再航行一段时间后到达 C处，测得小岛B位于它的西北方向， 求此时航母与小岛的距离 BC的长.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点 B作BDLAC于点D,根据题意得到/ BAD= 60,/ BCD= 45, AB= 80,解直角 三角形即可得到结论.解：过点B作BD丄AC于点D,由题意，得：/ BAD= 60,/

12、 BCD= 45, AB= 80 ,在 Rt ADB中，/ BAD= 60,AD= AB= 40,在 Rt BCD中，/ BCD= 45BD= CD= 40:,BC= BD= 40,答：BC的距离是40，海里.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.11. （ 2019年山东省淄博市（a卷）如图，在以 A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D （不与点A, C重合）处，折痕是 EF.(S3)2n+l2nL+2n故答案为:加+12n +2n(图 1)(E2)如图 1,当 CD= - AC时，tan a 1=，2

13、 4IR如图 2,当 CD=AC时，tan a 2=,3 12如图 3,当 CD= AC时，tan a 3=,4 24依此类推，当 CD=AC（n为正整数）时，tan a n=.n+1【考点】规律型：图形的变化类，等腰直角三角形，翻折变换（折叠问题），解直角三角形【分析】探究规律，利用规律解决问题即可.解：观察可知，正切值的分子是3, 5, 7, 9,，2n+1,分母与勾股数有关系，分别是勾股数3,4, 5,5,12,13,7, 24,25,9,40,41,，2n+1,匚亠丄：一： 匚:.亠丄：中的中间一个2 22n+ltan a n =) T【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规

14、律的方法，属于中考常考题型.12. （2019年山东省潍坊市） 如图，Rt AOB中，/ AOB= 90,顶点A, B分别在反比例函数 y= （xtan / BAO的值为【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形【分析】过 A作AC丄x轴，过B作BD丄x轴于D,于是得到/ BDO=Z ACO= 90s数的性质得到 Sa bdo=一, Sa aoc，根据相似三角形的性质得到=(一22甩貳 A,根据反比例函)=.=5，求2得=乙根据三角函数的定义即可得到结论.解：过A作ACL x轴，过B作BD丄x轴于D,则/ BDO=Z ACO= 90 ,顶点A, B分别在反比例函数 y

15、 = (x 0)与丫=二 (x v 0)的图象上,XX Q _ 5 Q _ 1-Sa bdc=, Sa aoc,2 2/ AOB= 90 ,/ BOD# DBO=Z BOD# AOC= 90,/ DBO=# AOCS/kEQD =SA0AC- tan # BAO=-,0A故答案为：-.2D 0I c【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.13. （ 2019年山东省聊城市）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体 CD的顶端C点的仰角为45 ，底端

16、D点的仰角为30，在同一剖 面沿水平地面向前走 20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4。（如图所示），求大楼部分 楼体CD的高度约为多少米？（精确到 1米）（参考数据：si n63.4 0.89 , cos63.4 0.45 , tan 63.4 2.00,1.41 ,7 1.73 ）C圍图3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】设楼高 CE为x米，于是得到BE= x-20，解直角三角形即可得到结论.解：设楼高CE为x米，在 Rt AEC中，/ CAE= 45 ,二 AE= CE= x,/ AB= 20, BE= x- 20 , 2 (x - 20),在 Rt CEB中, CE=

17、 BE?tan63.4 2 (x- 20)= x,解得：x= 40 （米），在 Rt DAE中，DE= AEtan30 = 40 X - =一3 CD= CE- DE= 40-:17(米)，3答：大楼部分楼体 CD的高度约为17米.2【点评】此题是解直角三角形的应用仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答.14. （2019年山东省青岛市）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路CD平行.在C处测得栈道一端 A位于北偏西42方向，在D处测得栈道另一端 B 位于北偏西32。方向.已知 CD= 120m BD= 80m求木栈道 AB的长度（结果保留整数）.（

18、参考数据：sin32 1, cos32 J_, tan32 , sin42 , cos42 一, tan42 32208404丄）10北伞东【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过 C作CELAB于E, DF丄AB交AB的延长线于F,于是得到 CE/ DF,推出四边形 CDFE 是矩形，得到 EF= CD= 120, DF= CE解直角三角形即可得到结论.解：过C作CEL AB于E, DFL AB交AB的延长线于 F,贝U CE/ DF,/ AB/ CD四边形CDFE是矩形,EF= CD= 120, DF= CE在 Rt BDF中，/ BDF= 32 , BD= 80, DF= cos

19、32 ?BD= 80 X 68, BF= sin3220 BE= EF- BF,? BD= 80X 一32852在 Rt ACE中，/ ACE= 42 , CE= DF= 68 , AE= CE?tan42 = 68X_ =二,105 AB= AE+BE=-乐+ ii 139m,25答：木栈道AB的长度约为139m.【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线.构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.15. （ 2019年山东省潍坊市）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图 1所示的坡路进行改造. 如图

20、2所示，改造前的斜坡AB= 200米，坡度为1: ，将斜坡AB的高度AE降低AC= 20米后，斜坡AB改造为斜坡 CD 其坡度为1 : 4.求斜坡CD的长（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长.解：/ AEB= 90, AB= 200，坡度为 1 :乙，二 tan/ ABE= 30 , AEAB= 100,2/ AC= 20, CE= 80,/ CED= 90 ，斜坡 CD的坡度为1: 4,工-疋4，即 i 一ED_4解得，EA 320, C；j

21、 米，答：斜坡CD的长是p米.解答本题的关键是明确题意， 利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,16. （2019年山东省潍坊市）如图，四边形ABCD内接于O O, AB为直径，AD= CD过点D作DEIAB于点E,连接AC交DE于点F.若sin / CAB= ： ； , DM 5，贝U BC的长为（）5A. 8B. 10C. 12D. 16【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解直角三角形【分析】连接 BD如图，先利用圆周角定理证明/ADE=Z DAC得到FD= FA= 5，再根据正弦的定义计算出 EF= 3,贝U AE= 4, DE=

22、8，接着证明 AD0A DBE利用相似比得到 BE= 16，所以AB= 20,然后在Rt ABC中利用正弦定义计算出 BC的长.解：连接BD,如图，/ AB为直径，/ ADB=Z ACB= 90 ,/ AD= CD,/ DAC=Z DCA而/ DCA=Z ABD/ DAC=Z ABD/ DE丄AB,/ ABD+Z BDE= 90 ,而/ ADE+Z BDE= 90 ,/ ABD=Z ADE/ ADEZ DACFD= FA= 5,在 Rt AEF中，v sin Z CAB= =AF EF= 3, AE= 丁_.一= 4, DE= 5+3= 8,vZ ADEZ DBE Z AED=Z BED8,

23、DE: BE= AE: DE 即卩 8: BE= 4: BE= 16,AB= 4+16= 20,在 Rt ABC中，v sin ZCAB=-._ BC= 20X= 12.590的圆周角所对的弦是【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 直径也考查了解直角三角形.17. （2019年山东省烟台市）如图，面积为24的？ABCD中，对角线 BD平分Z ABC过点 D作DEI BD交BC的延长线于点 E, DE= 6，则sinZ DCE的值为（B.D.1225【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的

24、性质，解直角三角形【分析】可证明四边形 ABCD是菱形，由面积可求出 BD长，连接AC,过点D作DF丄BE于点E,求出菱形的边长 CD= 5,由勾股定理可求出 CF DF长，贝U sin Z DCE的值可求出.解：连接AC,过点D作DF丄BE于点E,/ ABD=/ DBC/ ?ABCD中, AD/ BC,/ ADB=Z DBC/ ADB=Z ABD AB= BC,四边形ABCD是菱形, AC 丄 BD, OB= OD/ DE丄 BD, OC/ ED,/ DE= 6 , OC=/ ?ABCD勺面积为24 ,V , B 8 ,：-：二 i5 ,设 CF= x,贝 U BF= 5+x ,由 BD B

25、F= DC CF可得：82-( 5+x) 2= 52- x2 ,解得x= DF=,7A_, DF V 24 sin / DCE=DC 525故选：A.【点评】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定，正确作出辅助线思考问题.18. (2019年山东省烟台市)如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点 P,支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化. 将 电脑放在支架上，电脑台面的角度可

26、达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm, OM为10cm,支柱 PQ为8m(1) 当支柱的端点 Q放在卡孔M处时，求/ AOB的度数，(2) 当支柱的端点Q放在卡孔N处时，/ AOB= 20.5。，若相邻两个卡孔的距离相同， 求此间距.(结 果精确到十分位)参考数据表计算器按键顺序计算结果(已取近似值)2.656.811.240.350.93741甌两|5|囚帀曰49囲叵 LZEDZEHI49圈屈可riE 畀1二141【考点】计算器一三角函数，解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】(1)如图，过点P作PFUOA于点H.设OHx,则HM= 10- x,由勾股定理得

27、122-x2=82-( 10- x) 2,解得 x = 9，即 OH 9 (cm) , cos/ AOB= 0.75，由表可知，/ AOB0P 12为41(2)过点 P 作 P血 0A于点 H 在 Rt OPH中,.，。卡 11.244(cm)| .门 , PH=4.2 (cm)，HN=； 一亠-:； _ - / I(cm), ONk OH+H曲 11.244+6.8 = 18.044 (cm), MN= ON- OM= 18.044 - 10= 8.044 (cm)电脑 台面的角度可达到六档调节， 相邻两个卡孔的距离相同， 相邻两个卡孔的距离为 8.044十(6 - 1) 1.6 (cm).

28、解：(1)如图，过点 P作PH! OA于点H.设 OH= x，贝U HM= 10 - x,由勾股定理得oP- oH= pH, mP- hM= pH,oP- oH= mP- hM,即 122-x2= 82-( 10- x) 2,解得x= 9,即 OH= 9 (cm),.cos / AOB = 0.75 ,OP 12由表可知，/ AOB为41 ,-rcasA0B=cos20. 5& 二93,OH= 11.244 (cm),:!.： I I I .， PH= 4.2 ( cm , H4:i,.(cm), ONOH+H比 11.244+6.8 = 18.044 (cm), MNONF OM= 18.0

29、44 - 10= 8.044 (cm)电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同，.相邻两个卡孔的距离为8.044 -( 6 - 1) 1.6 (cm答：相邻两个卡孔的距离约为1.6cm .【点评】本题考查了直角三角形边角关系，熟练运用三角函数是解题的关键.19. (2019年山东省枣庄市)如图，在Rt ABC中，/ ABC= 90，以AB为直径作O O,点D为O O上一点，且CD= CB连接DO并延长交CB的延长线于点 E.(1 )判断直线CD与O O的位置关系，并说明理由，【考点】直线与圆的位置关系，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数【分析】(1)欲证明CD是切线，只要证明 ODL CD利用全等三角形的性质即可证明，(2)设O O的半径为r .在Rt OBE中，根据oE= eB+oB,可得(4 - r) 2=+22,推出r = 1.5 , 由tan / E=丄一，推出一=，可得CD= BC= 3,再利用勾股定理即可解决问题，EB DE24(1)证明：连接OC/ CB= CD CO= CO OB= OD OCB2A OCD( SSS ,/ ODC=Z OB= 90 , ODL DC, DC是O O的切线，(2)解：设O O的半径为r .在 R