3热传导方程的初边值问题

1、例4周期初始温度分布求解热传导方程UtUxx,(XX,t0)给定初始温度分布u(x,O) 1 cos2x,(解 u(x,t) 1 e 4t cos2 x.初始高斯温度分布例5求解定解问题u(x,0)2Xkx2e0,0)其中常数k 0.(X解 u(x,t)(s)e24a t ds2 (X S)2e ks e 4t ds2 2(4ka2t 1)s22xs4a2t2(4 ka2t2a tk 2X1ds2x 2 4ka t 21)(s 4ka 1) 4ka2t 1X4a2tdse 4ka2t(4ka2t 1) e4日勺(sX4ka2t-X211(4 ka2t 1)4a2t,4ka2t 14ka2t，则

2、杆上的温度分布 3初边值问题设长度为I,侧表面绝热的均匀细杆，初始温度与细杆两端的温度已知u(x,t)满足以下初边值问题2ut a uxx f (x,t),0 Xl,0tTu(x,0)(x),0 xl,u(0,t) g1 (t),u(l,t)g2(t),0tT对于这样的问题，可以用分离变量法来求解.将边值齐次化X令U(x,t) g1(t ) g2(t) g1(t )再作变换V u U引入新的未知函数，易知它满足Vta2Vxxf(x,t) Ut, 0 x l,0 t TV(x,O) (x)U(x,O),Oxi,V(0,t)0,V(l,t)0, 0 t T我们先考虑齐次方程，齐次边界的情形2ut

3、a uxx0, 0 x l, t 0(3.1)u(x0)(x),0 x l,(3.2)u(0,t) u(l,t) 0,t 0(3.3)解设u(x,t) X(x)T(t),代入方程T(t)X(x) a2X (x)T(t),T (t) X (x)a2T(t)X(x)，这等式只有在两边均等于常数时才成立 令此常数为，则有Ta2T0,(3.4)XX0,(3.5)先考虑(3.5),根据边界条件(3.3), X(x)应当满足边界条件X(0) 0, X(l ) 0(3.6)情形A :当 0时，方程(3.5)的通解可以写成X(x) Ge 一x C2_x,要使它满足边界条件(3.6),就必须C1 C20,Ge

4、1 C2e _l0,1 1 由于 -e八 e0,V IIe e只能Ci C20,故在 0的情况得不到非平凡解.情形B :当 0时，方程(3.5)的通解可以写成X ( x) CiC2X,要满足边界条件（3.6），G0,C1IC2 0,即GC2 0 .X（x）也只能恒等于零.情形C：0时，方程（3.5）的通解具有如下形式:X (x ) C1 cos、x C2 sin、x,由边界条件X（0）0,知C10,再由X(l )这样就找到了一族非零解Xk(x) Ckk称 Xk(x) Cksin的固有函数（特征函数）k22I2k2 2.ksinI2 k2 2a -T 0,可得Tk(t)k ,(kC2Sin .、

5、I,可知,为了使C20,就必须,(k1,2,x,(k 1,2,x为常微分方程边值问题0,1,2,)X (x)X(x),0X(0)称为相应的固有值I 22a?L _tBke I2于是得到一列可分离变量的特解2 2 a2kI2Uk(X,t)(3.7)(3.8)由于方程（3.1）及边界条件（3.3)X(l) 0（或特征值）将固有值k代入方程（3.4 ）中,I x,（k 12,都是齐次的，故可利用叠加原理构造级数形式的解(3.9)(3.10)u(x,t)Uk(x,t)k 1Ake / kt1sin . k x,(3.11)其中kk2 2由（3.2）,为使在t 0时，U（x,t）取到初值 （X）,应成立

6、得出Ak得到问题其中定理（X）2 1To (3.1 )-k2 2u(x,0)Ak sin . kXk 1A sink 1kTx，(3.12)k)sin d .l(3.3)的解u( X,t)Ake a21sin . kX,(3.13)2 1To)sinC10,l, (0)(l )0,则(3.14)u(X,t)Ake a kt sin . kX,k 12uta uXX0, 0 x l, to(3.1)是u(X0)(x),0 xl,(3.2)u(0,t)u(l,t) 0,t0(3.3)的古典解（经典解）证明由C0,l,得在0,l上可积.2 i|Ak| |? 0 ()sind |2 iy 0I ( )

7、|d M对任意0,当t 时，成立(AeaM1(m弓)k ea2（任意整数m,n 0 ）2又对任意p 0,而级数kpe a k收敛，k 1m n所以(Ake a ktsin、. kX)在 0 x l,t上一致收敛k 1 t x于是u(x,t)即级数u(x,t)Ake a2 讥k 1sin. kX,当 x l,t 时,关于x及t具有任意阶的连续偏导数，并且求偏导与求和可以交换由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数u( x,t)在t 时,确实满足方程及边界条件.再由0的任意性，得u(x,t)在t0时满足方程及边界条件且 u(x,t) C (0,| (0,).再证lim u(x,t)xt(Xo

8、),(OXol)由条件C10,l,(0)(l),2lkl2 ikl|Ak| 0 (x)sin l xdxk|7 0(x)cos lxdx | 一kAke / ktsinxc1 kakcl21k22ak,由Bessel不等式，知akk 122 i?0(X)2dx,从而得到eVAk sin 丫 kX 在 t0,0X l上致收敛，|ak|k 1致收敛于 (x),xo0Ak sinkx在 0 x l 上k 1从而得u(x,t)在t0,0 x l上连续.于是 lim u(x,t)x 冷t 0lim e kt A. sin . kx1 X X01 t 0Ak sin . k x。k 1(Xo),(OXol

9、).3.1初边值问题解的渐近性态定理假设初始函数(x)满足 C10,l, (0) (l ) 0,则当t趋于无穷大时 问题(3.1)- (3.3)的唯一的古典解指数衰减地趋于零，确切地说，当t时,对一切 x 0,l ,|u(x,t)| Ce0,其中C是一个与解无的正常数 证明古典解是唯一的，i0U(X,t )Akek 1a2sin kx是唯一的古典解，其中k2k下k)sin d ,k 1,2,，、 2 lk(x) M，则有 | Ak | - 0()sin l(x)在0,1上有界，设dMd2Mu(x,t )Ak ea2kt2Ma2kta22Meita2( k1 )t2Mea2it1)a22Me a

10、1t2aT2 .Cea 1t3.2非齐次方程求解方法一齐次化原理 考虑非齐次方程UtU(x,0) u(0,t)2 a Uxx0,u(l,t)f (X,t)0,齐次化原理：若w( x,t;)是下述问题w一 atw( x,t;w(0,t;22Wr, t , 0x)| f(x,)w(l,t; )0(*)的解(其中0为参数)u(x,t )是非齐次问题,tt0 w(x,t;)d2Uta Uxxf(x,t)l,tu(x,0) 0, u(0,t) u(l,t) 0,0的解.证明显然 u(x,0)0,u(0,t) u(l,t)w(x,t;t)f(x,t)22 Ua 2xt 2t 2 wun a 2 d ,贝U

11、 u满足 0 x2t22 Ua 2xf (x,t).u(x,t)是非齐次问题的解现在来求问题(*)的解.作变换tt则问题(*)化为2w 2 wa 20, t 0, 0 x ltx2w| 0 f(x,)w(o,t ; ) w(l,t ; )0 ,t 0(* )我们已知问题(*)的解为w(x,t;Bk(k 1)ea2 ktkX,其中kk2 2i0f(,)sink d .l是 w( x,t；Bk(k 1)ea2 k(t)si n kX,故 u( x,t)t0 w(x,t;)dt0Bk(k 12 a)ek(t)dsin. kx,是非齐次问题的解初边值问题2a Uxxf ( x,t ),u(x,0)(x

12、),u(0 ,t) u( l ,t)Ut的解为0,U(x,t)Ake ak 1kt sin .; IkX0 Bk(k 12 22 l0()sindlk其中k2，Akl23.3非齐次初边值冋题的特征函数展开法2Ut a Uxx f (x,t), u(x,0)(x),u(0,t) u(l,t) 0)e a k(t)d sin .kX,2 l，Bk( ) y 0 f(、 k,)sind .0 x l ,0tT0 x l ,(3.15)0 t Tk方法步骤 把u(x,t),方程的非齐次项f(x,t)和初值都按照特征函数系 sin x展开: lU(x,t)Tk(t )sinx,k 1lf (x,t)kf

13、k(t )sinx,k 1li(x)k 1ksinx,由特征函数系sink x在区间0,l上的正交性，可得lfk(t)kf ( x,t )sin xdx ,(x) sin xdx .l而函数Tk(t)暂时还是未知的为确定Tk(t)，把上述展开式问题(3.15)代入方程和初始条件由特征函数系ksin x的完备性，从而得到Tk( t)适合下列微分方程和初始条件lTk(t)a2(”Tk(t)sinxfk(t )sin x,k 1lkTk(0 )sin x.ksin x,l于是得到Tk(t)Tk(0)2( ka(1k , k)2Tk(t)fk(t)12,/(T)2Tk(t)a2()2tfk(t)从0到

14、t积分故非齐次初边值问题解u( x,t )a2(-)2te l Tk(t) Tk(0)Tk(t)k(T)tu( x,t)的表达式为fk(a2(-)2)e lfk()e2 k 2a2( )2(tt0fk()e a2 k(t)d sin. kx,这与前面的结果一致 能量衰减估计2l, t0 xl,Ut a Uxx 0, 0 u(x,0)(x),u(0,t) u(l,t) 0用u乘以方程两端，在0,1 上积分l0(uta2uxxu)dx 0,l0utudx1丄0 2 tu2dxi0uXXudx2a uxu1 d2 dta2 0 uXuXdxu2dx,0ux2dx,0 x 、dt 0u2dx2 1 2

15、2a 0uxdx,u(x,t)XUx(,t)du(x,t)ux(,t)dux( ,t )d1l2ux(2,t) d1/212d1/ 21/2ux( X,t) dxu(x,t )iuxlu2dx01 20 ux dx dxl2ux2dx,uX2dx0 xu2dx0ddt2a2Tddtu2dx00,dxu2(x,0)dx 0,o u2( x,t )dx eu2(x,0 )dx2( x )dx .定理(Cauchy-Schwarz 不等式)f,g在a, b上可积，则有|f(x)g(x)dx|f2 (x)dx) 2 ( g2(x)dx) 2。a证明证法一 对区间a,b的任意分割X0x1Xn 1Xn任取

16、i【Xi 1,xJ， i 1,2, n，记 XiXiXimaxnnn由于成立 I f ( Jg( J Xi |(| f(i 1i 1i)|21Xi/(n|g(i 1i)|21Xi)2，证法b b 212I a f(x)g(x)dx| ( a f (x)dx) 2(考虑二次函数b()af(x)g(x)2dxb f 2(x)dx 2ba f(x)g(x)dxa2 bag得到如果 a g2(X)dX 0，在上式中取b 2a f (x)dx1abg2(x)dx(从而(b f (x)g(x)dx)a于是成立bI a f(x)g(x)dx|如果必有a：g2(x)dx)12 ;(x)dx 0 ,ba f(x

17、)g(x)dxab 2ag (x)dxba f(x)g(x)dx)20，f (x)dx g (x)dx，a(：f2(x)dx)12(:g2(x)dx)12 ；b g2(x)dx 0，则对abf(x)g(x)dx 0），成立b2f (x)dxba f(x)g(x)dx 0 ，此时自然成立，12f(x)g(x)dx| (； f 2(x)dx) 2(bg2(x)dx) 2。a定理（Minkowski 不等式）设f,g在a, b上可积，则有（bf（x）g(x)2dx)12(b 21ba f2(x)dx) 2(2 1g2(x)dx) 2.证明 因为 f(x) g (x)2 dxabalf(x)g(x)|

18、 |f(x) g(x)|dxbalbg(x)| |f(x)|dx a| f(x) g(x)| |g(x)|dxb(aH(X)g(x)|2dx)l2(f 2(x)dx)2dxbf(x)ba)ba)b(I f(x)ag(x)|2dx)l2( bg2(x)dx/2dxa2 12 bg(x) dx) 2 ( ag(x)2dx)120g(x)2dx)1202f (x)dx)b 2 J(g (x)dx) 2 ，则不等式自然成立;，则消去公因子,所以(f(x) g(x)2dx) 2( f2(x)dx) 2( g2(x)dx) 2aaa1. 用Cauchy-Schwarz不等式证明(1) 若f (x)在 a, b上可积