命题与证明讲义全

1、学生：黄伊凡 科目：数学 第 阶段第 次课教师：周青课题命题与证明教学目标了解泄义、命题、圧理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。 会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可 证明一个命题是错误的。了解证明的含义，理解证明的必要性.体会证明的过程要步步有据。会根据一些基本事实证明简单命题匚通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。 初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。重点、难点掌握证明的一般步骤与格式考点及考试要求知识框架知识要点梳理知识点: 定义要点诠氟一詁地，能清楚地规龙某一称或名术语的意义的句子叫做该名称或术语的左义.知识点二：命题要

2、点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.（句子根据其作用分为 判断、陈述、疑问、祈使四个类别.左义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规总.而命题 属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断.与判断的正确与否没有关系）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设（或条件）和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推 出的事项.知识点四舟公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的 命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短，“一条直线截两条平行所得的同位角相等知识点五:：左理要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫

3、做左理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点六：真命题与假命题要点诠释：如果题设成立，那么结论一左成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时, 不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的 命题。知识点七：证明要点诠释：由题设岀发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的 每一步推理都要有根据，不能“想当然二这些根据，可以是已知条件，也可以是立义、公理，在此 以前学过的立理。(证明命题的格式一般为：1)按题意画出图形；2)分淸命题的条件和结论，结合 图形在已知中写出条件，在“求证冲写出结论：3)在r正明中写出推

4、理过程)知识点八：假命题的判泄要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判左该命题是假命题。知识点九：反证法要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立岀发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的 结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法二.规律方法指导i数学中判左一个命题是真命题，要经过证明.要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即 可.2证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过 推理来证明.3 反证法的适用范围(1) 已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；(2)命题的结论以否左形式岀现时；(3) 命题的结论以至多二“至少的形式出现

5、时(4)命题的结论以唯一的形式出现:(5)命题的结论以“无限的形式岀现时：(6)关于存在性命题：(7)某些定理的逆定理。四、经典例题透析类型一：例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？(1) 对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等：(4) “，$两条直线平行吗？ (5)鸟是动物：(6)若求q的值；若/扁1则思路点拨:通过本题熟悉命题的定义解析：句子(1)对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断.苴中(1)(3)(5)判断是正 确的，(7)判断是错误的.总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究

6、数学命题。举一反三：【妥式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1) 若aAC,则ZCZB 吗？(4) 两点之间线段最短；(5) 解方程只-2-3=0：(6) 1+2*3 【答案】(1) (2) (4) (6)是命题，(3) (5)不是命题.类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么的形式：(1) 三条边对应相等的两个三角形全等；(2) 在同一个三角形中，等角对等边：(3) 对顶角相等：(4) 同角的余角相等：(5) 三角形的内角和等于180。：(6) 角平分线上的点到角的两边距离相等.思路点拨：找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的

7、有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一左要补充完整。举一反三：【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否总式，得到新的命题，并判断这些 命题的貞假.（1）对顶角相等：（2）两直线平行，同位角相等； 若 a=0,贝ij ab=O：（4）两条直线不平行.则一泄相交;【变式2】判断正误：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（）（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（）（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（）（5）如果两个角是邻补角，那

8、么这两个角一泄互为补角。（）（6）如果两个角的和是180%那么这两个角是邻补角。（）（7）对顶角的角平分线在同一条直线上。（）（8）如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。类型三：例、证明：-如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条宜线也和另一条垂直 思路点拨：总结步骤：1. 审题：分清命题的“题设”和结论二2. 译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证.3想题：用执因索果（综合法）：用“执果索因（分析法）寻找论证推理的逻借思路.一般是把二者结 合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法.4证题：从已知岀发，每一步过程要有根据（定义，公理或左理）最后得到结论，全

9、而推理过程要因 果分明.解析：已知：allb. d丄c,求证：b丄c 证法（一）：Vac,（已知）A Z 1=90.（垂直的定义）ab,（已知）AZ1 = Z2.（两直线平行，同位角相等）A Z2=90,（等咼代换）Able.（垂直定义）【变式1】求证：同角的余角相等.已知：Z2是Z1的余角，Z3是Z1的余角.求证：Z2=Z3.【答案】证明：因为Z2与Z1互为余角，,（已知）所以Z2+Zl=90% （余角定义）（等量代换）则Z2=Z3（等屋减等疑差相等）类型四：（使用反证法）例.已知：如右图，直线 d 在同一平而内，且/,/2,厶与厶相交于点卩求证：厶与厶相交.思路点拨:仔细阅读反证法的定义，

10、掌握这种方法的规律。 解析：证明：假设，即 /3/,又V 1/12 （已知），过直线厶外一点P有两条直线厶与直线厶平行， 这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、相矛盾，假设不成立，即求证的命题成立， 与2相交【变式1】用反证法证明血不是有理数证明：，则血可表示为/2=- g 丹为自然数，且互质）m2两边平方，得2 = 2nr:.2m2 =n2 由知加2必是2的倍数，进而必是2的倍数.令m = 2代入式由知，几必是2的倍数加和”都是2的倍数，则m、n不互质，血不是有理数.【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日.证明：所以这367人就会有不同

11、的367天过生日 这就出现了与的矛盾因此反设不成立。所以至少有两个学生在同一天过生日五.学习成果测评基础达标：选择题：K下列语句不是命题的是（）A. 两点之间线段最短B不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D.对顶角不相等。2、命题：对顶角相等：垂直于同一条直线的两直线平行：相等的角是对顶角；同位角相 等。其中假命题有（）A. 1个B、2个C、3个D、4个3、如图，zxABC中，/4 = 90.be平分ZABC, a丄虫总，垂足为D,如果丄二知?2,那 么AEDE的值为（）Ax 2cmB、3 cmC、5 cmD、4cmA第?题图B. 两C. 腰D. 各5、等腰三A. 406、如图，

12、 于F,则下A.4、下列各组所述几何图形中，一左全等的是（）A. 一个角是45。的两个等腰三角形个等边三角形长相等的两个等腰直角三角形有一个角是40。，腰长都为5cm的两个等腰三角形 角形的一个外角是80。，则其底角是（）B、100。或40。C、100。D、80RtA ABC中,CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H, EF丄AB 列结论中不正确的是（）ZACD=ZBB. CH=CE=EFC、AC=AFD. CH=HD7、在同一平面内，两条A、平行 相交或垂直 于D,则图中全等三角直线可能的位宜关系是（）B、相交C.平行或相交D.平行、8、如图，已知AB=AC, BE=CE,延长AE交BCD、4对形共有（A. 1对）B、2对填空题:9、把命题：三角形的内角和等于180。改写如果:并找出结论。10、命题的定义是：o11、判断角相等的宦理（写出2个）12. 判断线段相等的宅理（写岀2个）O13. 写出下列假命题的反例:1）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。2）相等的角是对顶角。14. 已知：如图，直