求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法(根据各班情况适当讲)二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和 累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1 适用于：anan - f(n)这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列务满足an an

2、 2n T, ai =1，求数列a.的通项公式。解：由 ani=an，2n 1 得 ani-a* =2n 1 则an =(an -an4)(an4 anQ 川 (a3 -a2)(a2 - ai) ai二2(n-1)1 2( n-2) 1 |l|(2 2 1) (2 11)1=2(n -1) (n -2)丨1| 2 1 (n -1) 1=2此型(n-1) 12-(n -1)(n 1)1二 n22 所以数列an的通项公式为an = n。例2已知数列务满足anan 2 3n 1,內=3，求数列%的通项公式。解法一：由 an = an 2 3n 1 得 an 1 - an = 2 3n 1 则an =

3、(an -弘丄)(anJ 丨1| (a3 -比)心2-引)-a11)(23n，1) |( (2321) (2 311) 3= 2(3n3n，|3231)- (n -1)3=(2 3nJ-一 nd畀萌小)(n-1) 31-3-3 n -1 3-3n-3nn -1所以an=3n n -1.解法二：an3an 2 3n 1两边除以3323n 33nan _ / anan 1) “ ( an Jan _2 ) n (an _22 1 2 1 2 1 2 1 珂2評尹)( F)川上二) 二空丄丄丄.乜3n3n影）川僚号）号n -4丄)川(2 2)33n3 3231 1”儿材1则an练习2答案：n练习2(

4、-1)討 V)31-3131n ，2 3n2一 n 3n3_n 12.已知数列an满足-3二an * 2n(n * N )写出数列RE2)a”的通项公式数列的通项公式.答案：裂项求和an1=2n评注：已知 =a,an卑an = f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函 数、分式函数，求通项an. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：an -二f (n )an 这是广义的等

5、比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若加=f( n)，则电二 f ，鱼二 f(2)= f (n)ana-ia2ann两边分别相乘得，也二ai |丨f (k) aik 4例4设& 是首项为i的正项数列，且 n 1 a爲一 naj an .他=0( n=- , 2, 3,),则它的通项公式是 an=.解：已知等式可化为:(an 1 an) (n 1总-一 na.一0an 1 _ n手 an 0( n 乏 N )，； (n+1) an nan = 0 ,即 an n 十1-n - 2时,an _ n _1an4 nan 4an -2皂a1 口 .心：丄a1= n n-12=n评注：本题是关于an和

6、an 1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an1的更为明显的关系式，从而求出练习.已知(n - 1)an i = nan =1,求数列 an的通项公式三、待定系数法适用于an1 =qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。1 .形如 an7,(* 0，其中 3 二 a)型例6已知数列an中，a1 =1,a 2an二1(n丄2)，求数列 an / 的通项公式。解法一：Va2anj 1（n 一2）,.an 1 =2（an1）又7a1 2r ：an 1是首项为2,公比为2的等比数列.an 1 =2n，即

7、an =2n -1解法二：an =2anJ -1（n 一2）,a. 1 =2an 1两式相减得an 1 -an =2(an - and)(n - 2)，故数列 玄计-aj是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习.已知数列an 中,1a - 2, an -1an21、n 4an）1答案：2n2 形如：an厂P an q(其中q是常数，且n 0,1)_ n若P=1时，即：an 1 _an q，累加即可.亠 n若 P 1 时，即：an 1 - P n q ,n 1求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以p.目的是把所求数列构造成等差数列an i an n即: p q和訐令，则bn l 二丄（

8、2）nn +ii.两边同除以q.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1pan1n 1nqqqqp q，然后类型i，累加求通项.b anb P b 1bnnbn 1bn令 q ,则可化为qq.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an 1 q二p（an ）.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求p=q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an 1 = 2an 43 ，ai = 1，求数列处的通项公式。解法一（待定系数法）：设an 1l3=2（an 3_1），比较系数得 = -4, 2 =2，则数列G 一4 3 是首项为

9、ai 一4一5，公比为2的等比数列，n二ndnnV所以习 一4 3 = 一5 2 ，即 an =4 3 一5 2an出 2 a.4解法二（两边同除以q ）：两边同时除以3得：33 33，下面解法略解法三（两边同除以n：1p ）：n 1两边同时除以2 得:an 1 _ an4 3 n盯-歹3（2），下面解法略*3 形如 an1 二 pan kn b（其中 k,b 是常数，且 k = 0）例8在数列an中，a1二1, an1 =3an 2n，求通项an.（逐项相减法）解:an 1 - 3an 2n,n 启2 时 an = 3an+2( n 。两式相减得an 1 -an= 3(an an/) +2

10、令 bnan 1-乳,则bn利用类型5的方法知bn =5 3nJl2an1 an =532 -1再由累加法可得an5 -3nJ - n 一12 2an =专汨1一 n - 一亦可联立解出22*5.形如an 2 = pa* 1 qan时将an作为f (n)求解分析：原递推式可化为an卅=(P +X)(an4! +?-an)的形式，比较系数可求得人，数列、an i.uan ”为等比数列。例11已知数列an满足an 2 =5an 1 -6%,印=-1,去=2，求数列an的通项公式。解.设务 2 an 1 = (5 )(an 1 an)比较系数得 几=-3或丸=-2，不妨取几=-2 ,(取-3结果形式

11、可能不同，但本质相同)则an 2 -2an 1 =3(an 1 - 2务)，则玄彳- 2寺餐是首项为4，公比为3的等比数列an斗2an =4 3nJL 所以务=4 3心5 2n练习数列 an中，若a1 =8, a2 = 2 ,且满足an 2 4an 1 3an = 0,求务答案:an =11 -3n四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1n ,印=1，求数列an的通项公式。an+2解：求倒数得1an 11+丄八丄一丄,2 a/ an 1 an 2为等差数列,.an 1 an .1首项公差为-,2an五、由和求通项2已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn = 3n - 2n,印=2求数列a.的通项公式。1例19已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an1)(an- 2) ，且 a2,a4, a9 成6等比数列，求数列an的通项公式。1解：对任意n三N有sn(an 1)(an - 2)61当 n=1 时，S,=印(a1)(a2)，解得 a, =1 或印=261当n2时，Sn二厂1)(务八2)6-整理得：(an Vn/an-ann-3) =0-a*各项均为正数， a* a* 4 = 32当 a =1 时，an =3n_2，