上海市重点中学重要考题精选及精解

1、2017上海咼考专题复习数列考题精选11.已知等差数列 an中，a3a7 = -16,a4 Bq = 0,求 an前n项和sn.2 在不等边 ABC中，设A、B、C所对的边分别为a, b, c,已知 sin2 A , sin2 B , sin2C 依次成等差数列，给定数列cos AacosBbcosCc(1) 试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号()A.是等比数列而不是等差数列C.既是等比数列也是等差数列(2) 证明你的判断.B.是等差数列而不是等比数列D.既非等比数列也非等差数列、I9*3.设Sn为数列an的前n项和，Sn = kn ，n , nN，其中k是常数. (

2、I )求 a1 及 an ；(Il )若对于任意的N*, am , a2m, a4m成等比数列，求k的值.4.等比数列 an的前n项和为Sn，已知对任意的nN ，点(n ,)，均在函数y=bx r(b 0且 b =1,b,r均为常数)的图像上.(1) 求r的值；n +1+(2) 当b=2时，记bn(nN )求数列bn的前n项和4an5.设数列an的前n项和为Sn,已知a1 =1, Sn4an - 26.设数列3n ?是等差数列，a 5=6当a3=3时，在数列an /中找一项am,使a3,a5, am成等比数列，求 m的值；当a 3 =2时，若自然数nt (t=1,2,3,)，满足5n 1 n2

3、n t 0，判断 x2 -1的值的符号。8.已知数列 a 啲前n项和为Sn，若印=2, nan .1 = & n n 1 ,(1)求数列 a / 的通项公式：S(2)令Tnn，当n为何正整数值时，Tn Tn 1 ；若对一切正整数n，总有Tn乞m，求m的2取值范围。9.关于x的方程x2 xsin2v - sin v cot v - 0的两根为、,，且0 ： v ： 2二，若数列1,丄丄,丄丄，厂的前100项和为0,求细值。2 P丿10.已知数列 Bn匚中，a1 = 1,且点P an,an 1 n N ”在直线x - y 1 = 0上.(1) 求数列n 1的通项公式；(2) 若函数f(n)=111

4、亠亠1门三“，且门_2,n +a1 n +a2 n +a3n +an求函数f(n)的最小值；(3) 设bn二丄，Sn表示数列bn九勺前门项和.试问：是否存在关于 门的整式g门，使得anS1 S2 -S SnA = Sn -1 g n对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g n的 解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。(1)若an, bn为等差数列，求证：a“Silimlim.n P n ：Tn11.已知各项均不相等的正项数列an, bn的前n项和分别为Sn,Tn.(2)将(1)中的数列an, bn均换作等比数列，请给出使阿詈沖丰成立的条件12.已知数列an 的前n项和为Sn,且满足

5、anSn =1 （ n为正整数）-11（1）求数列an九勺通项公式；（2） 记S二a1 a? an .试比较S与（n 1）an的大小关系，并证明你的结论13.已知数列an的前 N 项和为 Sn, a = 1, Sn2Sn 3 n 1( nN ).(1) 证明：数列an 3是等比数列；*Sn an+3n,n=2k 1, ”，.，2(2) 对kN,设f(n )=求使不等式f(m)nf(2m2)恒成立的自然log 2 (an +3), n = 2k,数m的最小值.2017上海咼考专题复习数列考题精选1解答1.已知等差数列 an中，a3a7 - -16,a4 a -0,求 an前n项和sn. 解析：本

6、题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设an?的公差为d，则a1 2d a1 6d 16 a1 3d a1 5d =02 2刖 a8da112d=16即a = -4d丄 ai = -8, Xa = 8 解得1或1d=2,d=2因此 Sn - -8n n n-1 =nn-9，或Sn=8n-n n-1 - -n n-92在不等边ABC中，设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知sin2 A ,sin2B ,sin2C依次成等差数列，给定数列cosA , cosB , co匹.bc并在括号内填上你认为是正确选项的代号（B.D.a（1）试根据下列选项作出判断, A.

7、是等比数列而不是等差数列 C.既是等比数列也是等差数列（2）证明你的判断.解：（1） B （2）因为sin2A、22 e cosB=a c .又b所以2b23sin B、2.2a c)是等差数列而不是等比数列 既非等比数列也非等差数列sin2C成等差数列，所以2sin2-b2A2 丄 22cos A b c - a2abc2abc2 2B 二 sin A sin C ,2 2 2cosC a b _ c2abc2cosB cos A cosC=+ba ccos A cosB cosC 十，所以a b c显然卄 cos A cosB ，即、一abtan A = tan B = tan C ,co

8、sC成等差数列.若其为等比数列，有c3. 设S为数列an的前项和，Sn = kn2 n , nN(I )求 a1 及 an ；(Il )若对于任意的N*, am , a2m, a4m成等比数列，求k的值.解(I )当 n = 1,a = S k 1,-2,an = Sn -S=kn2 n -k(n -1)2 (-1) = 2kn-k 1 ()经验，n =1,(“)式成立，.an =2kn-k 12(n)/ am,a2m,a4m成等比数列， a?m =am.a4m,2即(4km - k 1) = (2km - k 1)(8km - k 1)，整理得：mk(k -1) = 0 ,对任意的m N “

9、成立，.k = 0或k =14. 等比数列 an的前项和为Sn，已知对任意的n N ，点(n, Sn)，均在函数y二bx r (b 0且 b =1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值；，其中k是常数.n +1.(2)当b=2时，记bn(nN )求数列Q的前项和Tn4an解：因为对任意的N ,点(n,Sn)，均在函数y = bx，r(bO且b = 1,b, r均为常数)的图像上.所 以得 Sn =bn r,当 n =1 时,a -Sb r,当n-2时，寺2-殆又因为 an为等比数列，所以r = -1,公比为b ,所以an .1r-(bnr)二bn-bn=(b-1)bn, n =(b-1)b

10、n n 1 _ n 1_ n 14an4 2n，2n 1n -1(2)当 b=2时，an =(b -1)bnJ =2, b则 T =2_+卫_+土+ 啤 n 2? 2 2 2“11 T 234nTn345nr2 2 2 2 21 2111n 12n 212*1 2* 2相减,得T二右飞= V2 22 23 24 251 13(1-22)1-12 .=3 _丄 1n 12 2 2 2 2【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知S求an的基本题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和Tn.5.设数列an的前项和为Sn,已知a1 =1, Sn

11、1 = 4an 2 (I )设bn =an ! -2an ,证明数列bn是等比数列122(II )求数列an的通项公式。解：(1 )由 q = 1,及 Sn1= 4an2，有 aia= 4ai2, a?= 3a| 2 = 5,.Q =a? -2q = 3由Sn出=4an +2，则当n王2时，有q =4anJL + 2得an 1 =4可一 4务”寺1 一 2寺=2(% - 2寺又：bn =an勺-2an, bn =2bn“ bn是首项b1 3，公比为2的等比数列.an2(II )由(1 )可得 0 = an 1 - 2an = 3, 21是首项为1，公差为3的等比数列.24an2n(n-1)J3

12、n,2444an =(3n-1) 2n，评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn J的关系即可第（II ）问中由（I ）易得am -2an =3 -2nJ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型: an 1二pan qn（p,q为常数），主要的处理手段是两边除以qn 6.设数列已？是等差数列，a 5=6当a3=3时,在数列an /中找一项am,使a3,a5,am成等比数列，求 m的值;当a3 =2时，右自然数n t (t=1,2,3,)，满足5n 1 n 2 n t ，且使得a3,a5,an1,anJtl,an成等比数列，求数列inj的表达式33解：由于 a5=a3+2d 所以

13、d= am=a3+ ( m-3) d=(m- 1)223a3、a5、a m成等比数列.36=3x(m- 1) m=9.2由 a3 =2,a 5=6, . d=2. a n =a3 +( n 3) d=2n4又公比 q= a5 =3 . an =2x 3t 1a3.2nt 4=2X 3t 1 . nt =3t +2.7 已知f x是定义在R上的增函数，且记g x二f x - f 1-x。()设f x - x，若数列Q匚满足a = 3,an - g a*，试写出 a*的通项公式及前2m的和S2m :(2)对于任意X1、X2 R，若g % 7x20，判断 X2 -1的值的符号。解：(1) an -

14、g an 4 = fan- f1-an/ - an4 -anJ - 2an 4 _ 1,则 an-1=2an/-1 ,a1 -1=2，即数列an -1是以2为首项，2为公比的等比数列，2n . 12 2- 12m 1- an =2 1 , S2m2m = 2 2m - 2;2 -1(2)若x1 x2 -1 - 0，则x1岂1 -x2,x2乞1-x1,v f x是定义在R上的增函数-f%乞 f 1- X2, f x2乞 f 1 - ，则 f X|fX2 空 f 1 - x2 f 1 - X所以f(n)是单调递增，故f (n)的最小值是=02n 2 2n 2 n 1712f (2)101(3) b

15、n，可得 SnnnSn - (n - 1)Sn二 Sn,11 1=1 -231 ,(n - 1)Sn 1-(n 1 2)Sn - Sn _21S2 - S = S11相加得.nSn-S1= S1S2S3Sn J n - 1S1S2 Sn J - nSn - n = n(Sn - 1) , n 2所以 g(n)=n。故存在关于n的整式g (R11.已知各项均不相等的正项数列1Sn - Sn (n 2)-12n15(1)若an, bn为等差数列,=n,使得对于一切不小于 2的自然数n恒成立。-16 分an, bn的前n项和分别为a.Sn求证： lim - = lim -.Y 0nFTnSn ,Tn

16、 .(2)将(1)中的数列an,bn均换作等比数列，请给出使lim 电 =lim 色 成立的条件.bnn 5证明(1)设an, bn的公差分别为a,d2 ( dd2均不为0),则a+(n -1)d1d=limx f (n -1)d2na n(n -1)d g +d1lim n limX5X * n(d22所以佃色=1计.TbnFTn解(3)设an,bn的公比分别为q1,q2 (qq均为不等于1的正数)，则lim anx ：bn1d?Snd2lim an = limn厂 bnn -4.苗1n -1飞lima1(qq2),二 b10(q y).11分lim Sn ：:Tn引(1 5)d(1 -qj

17、n-q1n1 lim - n 1 -q2a1T(q T),bia1 (1 一 q2)寸 竝(0 y ：1,0 y ：1), d(1 -qj0(0 :：q:：q2,q21).14分aS所以使凹訂呵Tn成立的条件是oy yq -1或.16分12. 已知数列an 的前n项和为Sn,且满足anSn =1 ( n为正整数)-1 1(1) 求数列fan ?的通项公式；(2) 记S =aj a2出川an .试比较S与(n 1)an的大小关系，并证明你的结论.解: ( 1)an - Sn =1,an 1 Sn J = 1以上两式相减得到an -an j (Sn - q=0，即an - ana 03分a111所

18、以丄二丄，数列 a?是公比为丄等比数列，又，a-，am 222所以an二丄(-)nJ =(丄)：6分2 2 2-2n +1(2) S =1， (n -1)an n 8 分 22n+1n+2n 十 2n+1 n设 f(n)二丁，贝uf(n 1_27T， f(n 一口n)二 一二一盯 f (2m2)恒成立的自然Jog? +3), n = 2k,数m的最小值.解: (1) q =1,Sn 1 二 2Sn 3n 1,S2 = 2S1 4 二 aa：, a：二 5.又当 n 一2时，Sn =2Sn4 3(n -1) 1 ,-Sn1- Sn =2(Sn 4) 3,即得 an2an3.an13 = 2(an 3),(n 一 2).4分a 亠382, 数列an 3是公比为2，首项为印 3 = 4的等比数列.2分a134(2)由(1),知 an +3=4 2亠-2n 1 3,Sn1-2-3n -4.f (n) = *尹-1,n =2k门+1, n=2k(k N*). 当 m为偶数时，f (m) = m 1, f (2m2) = 2m2 1 ,不存在自然数 m使f (m) - f (2m2)恒成立 2分 当 m为奇数时，f(m) =2m 1 -1, f(2m2) =2m2 1,而f(m) f (2m2),当 m=1 时，f(m) =