天一专升本高数知识点

1、第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数:f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。偶函数:f (-X)= f(x), 图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设a, 3是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则a(3高阶的无穷小量。(1)若lim 一 = 0，则a是比3则a与3是同阶无穷小量a（2）若 lim = C （不为 0）,3特别地，若lim =1，则3a与3是等价无穷小量0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。a(3)若 lim =3记忆方法：看谁趋向于4、两个重要极限，贝y a与3是低阶无

2、穷小量sinxX ,（1）lim T X=lim=1XT。si nx使用方法:拼凑lfm*Tm。*=0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 lim1lim（1+xleXX丿XT。1时卩Le使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。Pn(X)5、lim =X*Qm（X ）,n = mbo0,n V mV-巳(X )的最高次幕是n,Qm(x )的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n m，分母以更快的速度趋向于无穷大;度趋向于无穷大。7、左右极限左极限:lim f

3、 (X) = AX_-右极限:lim f (X) = AX十lim f(X)= A充分必要条件是 lim f (x) = lim f (x) = AX01X0+注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8连续、间断连续的定义：lim ；y =1四f(X0 + Ax)- f(X0)=0或 lim f(X)= f (x0)x_3X0间断：使得连续定义lim f(X)= f (x0)无法成立的三种情况f (X0)不存在，f(X0)无意义 lim f (x)不存在X30lim f(X)H f (X0)记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型(1 )、第二类

4、间断点:lim_f(X)、limJ (x)至少有一个不存在X) 一3X0(2)、第一类间断点:lim f(X)、lim f(x)都存在IX)一1X0 +可去间断点:跳跃间断点:lim_f (x)=1X0 lim f (x)1X0-lim f (x)XTX0 十limf (x)1x0，左右只要有一个不存在，就是第二类”然后再判断是不是第注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1) 最值定理：如果 f(x) 在a,b上连续，则f(X)在Ia,b上必有最大值最小值。(2)E零点定理：如果f(x)在a,b上连续，且f (

5、a) f (bp： 0，则f(x)在(a,b)内至少存在一点1、罗尔定理如果函数y= f(x)满足：(1)在闭区间a,b I上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)= f (b)，则在(a,b)内至少存在一点匕，使得f (匕)=o 记忆方法：脑海里记着一幅图：t2、拉格朗日定理如果y = f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导；匸、f(b)-f(a)则在(a,b)内至少存在一点 匕，使得f () = b a脑海里记着一幅图:ab(*)推论1 :如果函数 y= f(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导，且厂(口三0, 那么在(a,

6、b)内f (x) =c恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为o。(*)推论2:如果f (x),g(x)在a,b上连续，在开区间(a,b) 内可导，且f(X)三 g(x),x忘(a,b)，那么 f(X)= g(x) + c3、驻点满足 f(X) =0的点，称为函数 f(x) 的驻点。几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(X)在点xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f (x)的极大值，x0称为极大值点。X,有 f (X) 设f(x)在点Xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点V f (xo)，则称f (xo)为函数f(x) 的极小值，x

7、0称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。5、6、单调性的判定定理设f(x)在(a,b)内可导，如果f(x)：0，则f(x)在(a,b)内单调增加;如果f (X)C 0，则f (x)在 (a,b) 内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加,f(x)0 ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少,f(x”0 ；7、取得极值的必要条件可导函数f(X)在点x0处取得极值的必要条件是f (X0)=0取得极值的充分条件 第一充分条件：设f(X)在点x0的某空心邻域内可导

8、，且f(X)在x0处连续，则如果XCX0时，f(X)A 0; X A X0时，f(x)v0,那么f(x)在x0处取得极大值fX)；如果xx0时，f(x)A0，那么f (x)在x0处取得极小值f(x0)；如果在点x0的两侧，f (X)同号，那么f(X)在x0处没有取得极值;记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：设函数f (x)在点X0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f &0)= 0，f (X0)H 0则(1)如果f(x0)v0，那么f (x)在x0处取得极大值f (x0)；(2)如果 f (X。) 0，那么f (x)在x0处取得极小值f (x0)

9、 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果(x) A 0,x忘(a,b)，那么曲线 f(x) 在 (a,b) 内凹的;9、凹凸性的判定(2)如果f “(X) 0,x珂a,b)，那么f (x)在(a,b)内凸的。10、图像表现:：凸的表现凹的表现渐近线的概念11、0曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。垂直渐近线：若存在点 x0, lim f(X)=处，则y = f (x)有垂直渐近线x = x。(2)-ax=b，贝y y = ax + b为其斜渐近线。遇到如果遇到幕指函数,需用f(x)虫把函数变成“ 0”第二讲导数与微分1、导数的定义2、3、4、(1)

10、、fg 唧 gE/f(X0 7x)f(X0) = O(2)、伦)=,叭3(3)、f(X0)询 fgg j X - x0注：使用时务必保证 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼凑。导数几何意义：f (X0)在X = X0处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f(xj乘积为一1导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。 求导方法总结(1 )、导数的四则运算法则(U 中 V )+ v(U 2)，= U V u叮 _uV-vuIv 丿V2(2)、复合函数求导：y = f b(x )】是由y = f (u)与u = 9(x)复合而成，则dy dy du=* dx du dx(3 )、隐

11、函数求导对于 F(x,y)=O， 遇到y,把y当成中间变量U,然后利用复合函数求导方法。(4)、参数方程求导仪_9(t)确定一可导函数(t)y = f (x)，则dxdydy _ dt _ 9 (t) dx屮址) dtd2ydx2d(dX)dxd(黑dxdtdxdt(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 (6 )、幕指函数求导幕指函数y =u(x)心，利用公式a =elnaI / X v ( X ) y= elnu(x)v（x） In u（x）e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导第二种方法可使用对数求导法,注：优选选择第二种

12、方法。5、高阶导数对函数 f（x） 多次求导，直至求出。6、微分7、dy = y dx记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加 可微、可导、连续之间的关系可微二可导可导=连续，但连续不一定可导可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图dx，不需要单独记忆。2y = X在x=0既连续又可导。X在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分、原函数与不定积分1、原函数：若F（X）= f（X），则F（X）为f（X）的一个原函数;2、不定积分：f（X）的所有原函数F（x）+c叫做f（X）的不定积分，记作J f（x）dx=F（x） +C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公

13、式三、不定积分的重要性质1、Jfgdx】=f (x)或d Jf(x)dx = f (x)dx2、Jf (x)dx = f(X) + c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法Jax + b,令 t = Jax扁三角代换4 jx22-x22-aVx2 + a2令 X = asint 令 x = asect 令 x = ata nt2 2 2 2三角代换主要使用两个三角公式：sin t+ cos t = 1,1 + tan t = sec t4、分部积分法Judv = uv J

14、vdu第五讲定积分1、定积分定义ba f (x)dx=归送 fG工x如果f(x)在a,b】上连续，则f(x)在a,b上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为 面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义(1)如果f (x)在a,b】上连续，且f(x)A0，贝y a f(x)dx表示由f(x)，x=a,x=b,x轴所围成的b曲边梯形的面积。S= f( x)dx。(2)如果f (x)在a,b 上连续，且f(X) 0 ,bS= - a f (x)dx。3、定积分的性质：bbakf(x)dx = k f(x)dxbbf

15、(x)g(x)dx=.a f(x)dxbcb(1)b (g(x)dx(4)(6)a f(x)dx = f(x)dx+ Cg(x)dxba门dx=b -a J f(x)dx=0 f(x)dx = - / f (x)dxaaDabb如果 f(X)兰 g(x)，则 a f (x)dx 兰(g(x)dx设m,M分别是f (x)在a,b】的 min, max,贝Um(b - a)b兰(f (x)dxw M (b a)记忆：小长方形面积兰曲边梯形面积兰大长方形面积(7)积分中值定理如果f (x)在a,b】上连续，则至少存在一点巴a,b】，使得Ja f(x)dx= f(E)(b a)4、5、6、7、记忆：总

16、可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变 成一个长方形。称 一F f (x)dx为f (x)在a,bI上的平均值。 b-a a积分的计算(1)、变上限的定积分X(a f(t)dt) f(x)x注：由此可看出来 9(X)= a f (t)dt是f (x)的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是X而不是t(2)、牛顿一莱布尼兹公式设f(X)在a,b 上连续，F(x)是f(X)的一个原函数,由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。r基本积分公式|第一换元积分法(凑微I第二换元积

17、分法i分部积分法奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1)、若f(X)在L a,a 上为奇函数，则(2)、若f(x)在-a,a上为偶函数，则注：此方法只适用于对称区间上的定积分。广义积分(1)无穷积分-beabL-be分法)aL f(x) = obb则f(x)dx=F(x)a = F(b)-F(a)aL f(x) = 2j0 f(x)dxcf(x)dx=jjmaf(x)dxbf (x)dx = lim f(x)dxc-bef (x)dx= Lf(x)dx+ f (x)dx定积分关于面积计算g(x)面积S = f【f (x)-g(x)dx， 记忆：面积等于上函数减去下函数在边界a,b上的定积分。i

18、 dhx=0(kt = 6c(y)面积S= c 班y)-9(y)dy记忆方法:把头向右旋转90就是第一副图。8、旋转体体积(1)(2 )、曲线f(X)绕:VxX轴旋转一周所得旋转体体积阴影部分绕绕 X轴旋转一周所得旋转体体积:Vx(x)-g2(x)dxX =日(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积：Vy =兀d阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积：Vy =兀铿 2(y)r2(y)dy（二八 直线与平面的相关考试内容一、二元函数的极限定义：设函数z= f （X, y）在点（人$0）某邻域有定义（但（x0,y0）点可以除外），如果当点（x,y）无论沿着任何途径趋向于（x0,y0）时，z= f （x,

19、y）都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点（X,y）趋向于（x0,y0）时，z=f（x,y） 以A为极限，记为lim f（X, y） = A（x,y）T（xo,yo） 八二、二元函数的连续性若 lim f （x, y） = f （x。，y。），则称 z= f （x, y）在点（x。）连续。（x,y）Txo，yo）注：Z= f（x,y） 的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。ex（x,yTjmf（x5，y）-f（x，y）oz7(x,y)%f(x,y*-f(x,y)三、二元函数的偏导数四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成

20、自变量，其它的变量都当成常数看待。czcz五、全微分：dz =dx +dyex門六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。函数z = f（x,y） 的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、二元复合函数求偏导设 z = f (u,v),u = %x,y),v=9(x, y),则徑=丝皀+竺空dXcu cXcV cXdz cz du= cy cu dycZ cV+ dv Sy注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方程F（x,y,z）=O确定的隐函数为 z= f（X, y），则对等号两边

21、同时对 x求导，遇到z的函数，把z当成中间变量。第八讲多元函数积分学知识点重积分的概念、性质1、D2、性质:（1）JJ f （x,y）dxdy = Hm 2,几何意义：代表由f （x, y），d围成的曲顶柱体体积。JJkf (x, y)dxdy = k JJ f (x, y)dxdyDD【卩 f (x,y) + g(x, y) dxdy= JJ f (x,y)dxdy+JJg(x, y)dxdyDDD胸二DDD = D1 + D2, JJ f(X, y)dxdy= JJ f (x, y)dxdy f (x, y)dxdyDD1D2若 f (x,y) g(x,y)，则 JJ f (x, y)dx

22、dy 兰 Ug(x, y)dxdyDD(6)若 mW f(X, y)兰 M ,则 mD 兰 JJ f (x, y)dxdy 兰 MDD设f (x, y)在区域D上连续，则至少存在一点( ,n )亡D，使JJ f (x, y)dxdy = f ( J ) DD二、计算D： a 兰 X 兰 b,已（X）兰 2（x）bQ(x)n f (x,y)dxdy = Jadx(x) f (x,y)dyD: C兰y ,1（y）兰X兰2（y）d3(x)JJ f (X, y)dxdy = Jc dy 打 f (x, y)dyD1技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另

23、一个变量的范围 极坐标下： X = r cos 日，y = rsi n日，dxdy = rdrd 日Pr (日)JJ f(X, y)dxdy = 日 J。f (r co , r si )rdrD三、曲线积分1第一型曲线积分的计算(1)若积分路径为L: y = *(x),axb，则f (x,y)ds= i f (xN(x)j1 + (釈(x)2dx(2)若积分路径为L: x = w(y),cyd，则f(x, y)ds= jC f (y), y)J( (y)2dyX = %t)p,(3)若积分路为L : I, a t P，则yN(t)f(X, y)ds= f f (叫t),护(t) J仲址)2 + (申 Yt)2dt2、第二型曲线积分的计算(1) 若积分路径为L : y (x)， 起