合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第4章答案

1、第四章习题解答【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电 位为U 0，求槽内的电位函数。解根据题意，电位叫0yW(x, y)满足的边界条件为U0a( y,=): W(x , 04 ；0 W(x ,b r U根据条件和, n 兀 Vn j x(X, y) =s Ansinh(二Qsin()由条件，有n4aa_n兀bn兀XU0=2 Ansinh()sin()n 4aa电位护(X, y)的通解应取为n 气 X2U两边同乘以sin()，并从0到a对x积分，得到 人=0aa题4.12U0an兀X,fsin()dx =asinh

2、(nn b a) 0 a4U0n;isinh( n 兀 b/a).,n = 1,3,5, III(1 cos n応)= n；! sinh( n;i b a)n =2,4,6, IIIo，irW )站)aCD/ 、4U0_呱丫)=Z . SiR 兀 n二，3|,5nsinhigb/a ) a4.2两平行无限大导体平面，距离为 b，其间有一极薄的导体片由板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从V=0到V=d解应用叠加原故得到槽内的电位分布其中，% (X, y)为不体薄片时的电位,其边b%(0, y)U00入y丄题4.2图V = d到v = b (二 X V处)。上板和薄片保持电位 U。，下

3、 ，电位线性变化，护(0, y) =U0y/d。理，设板间的电位为(x, V)=%(x, v)+W2(x, V)存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U0 )的电位，即1(x, y) =U0y/b ； 2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导 界条件为：2(x,0) N2(x,b) =02(x,yF 0(xt 比)U= w(0, y) 1(0, y)=匚，I U QUbyUb(0 y d )(d y b)根据条件和，可设2(x, y)的通解为OC2(x,y)=sin( bwy)e导；由条件有An sin(U0)=b IU0 U0 imyU0(0 y d)(d y b)两边同乘以sin(丄

4、)，并从bA 2U代=0到b对y积分，得到dJK1-b 0故得到pby 中2咒0 艺 Asin()sin(bd兀 n# nbb4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位 U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位W(x, V)满足的边界条件为Kl-1)ysin(卡)dy 二d d bb芈Bsin(旦)()2 d b根据条件和3(0, y) =(a, y) =0 (x , y H 0 yT 处) (x, 0口，电位W(x, y)的通解应取为两边同乘以2U0_c7L护(x,y )=2 Aney anVsimxn(a；由条件，有Uo =2： An sin()aUo a题4.4图

5、acno s=2U a花5巾(田)，并从0到a对x积分，得到 A, =一0 fsin(n)dx =aa 0 a1 3 5 ；故得到玖x,y) = n = 2 , 41, 6 ,4Ueasin严)nA,3,5,| na【4.5】一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为兀 X、.,兀 Z、fP,)的电荷。求体积内的电位 WcP = y(y b)s in( )s in(解在体积内，电位W满足泊松方程长方体表面S上，电位申满足边界条件 s =0cC21兀X 兀 z y(y b)sin()si n()exdyczs0a c由此设电位W的通解为(1)申(x,y,z)=送送 S

6、AmnpSin()sin()sin( )，代入泊松方程(1)，可得 abcArnnpK 哑)2 +()2 +(竺)2Nmzinztpz!abcsin()sin(ab由此可得 Annp=0 (mH1或P H1)由式(2)，得兀2n兀2 兀2An1q)+(石)+(7)sin() = y( y - b)sin()sin()ca c兀2n 2 兀2n江yZ An1()2 +(u)2 + ()2sin(y(y-b)p 吕 a b cbc b2n兀 y4 b 3=-Jy(y-b)sin(才)d y = -()(cosn兀-1) =b 0bbn；!(2)I 8b2而L 0【4.6】如题4.6图所示的一对无限

7、大接地平行导体板，板间有一与解 由于在(0, d)处有一与z轴平行的线电荷出(x, y)和 笃(X, y)都满足拉普拉斯方程。b(y) =qi5(y -y。)。电位的边界条件为1,3,5故 W(x, y, z) = 211n1sin(P)sin( )sin(；故“。心n3(丄)2+ n 2+(丄)2 abn= 2,4,6，川a b cz轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。ql，以X = 0为界将场空间分割为 X A 0和X O) W2(x, y) =2 BneWasin(n 二gO)由条件，有由式（1）,可得人=Bn（3）;将式（2）由式（3）4.7数。解nn瓏o和（4）

8、解得2qla=Jo 6(y -d)sin(处n花V处Z Ansin(=)=2； Bn sin(二n4anuan兀.J兀y. 二_ n兀.花y、sin() S Bnsin()a anua aim y两边同乘以sin()，并从O到a对v积分，有anudC-送Ann 4(1)(2)ms(4)An =Bn =Si n） n 兀 soacp1（x,yJ21sin（nd）e-xasin（y） 兀g O n 二 naaP2（x,y-q -sin（巴1归皿日 sin（旦y） 瓏o n i n aa如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷(xO)(xwO)ql。求槽内的电位函为界将场空间

9、分割为OcxcXd和Xo VX a两个区域，则这两个区域中的电位%（x, y）和2 （x, y）都满足拉普拉斯方程。而在X = xo的分界面上，可利用6函数将线电荷ql表示成电荷面密度 b（y） = q（yo）， 电位的边界条件为出（Oy = O由于在（Xo, yo）处有一与z轴平行的线电荷q,以x =Xoqi*(xo,yo)笃(a,y)=o， 巴(x,o)= i(x,b)=o, 2(x,o)= 2(x,b)=oCX0a题4.7图(xo,y)=w 2 (Xo ,ylex由条件和，可设电位函数的通解为OC%(X, y) =2 An sin(二;勻sinh(nrnb詈n兀yW2(x,y)=2 Bn

10、 sin( )sinhnrnbX=X0十y-yo)n兀占x)由条件，有(OXXo)(Xo X c a)c)=S BnSin()sinh(a-Xo) b nbbn兀cZ An sin( )sinh(.、心bbnbn兀.，n兀 y、n 兀 Xo、n兀.，n兀 y、“nJ、 qi、-2)cosh()-2 Bn一sin()cosh一(a - Xo) = 6(y - %)bn壬bbbSon；!n兀XocZ sin（ nibb由式（1），可得 Ansinrn） BnSinh （a x。） = Obb将式（2）两边同乘以sin（m），并从O到b对y积分，有b(1)(2)(3)(4)An cosh(n0) +

11、Bn cosh(x0)=bb2qln兀0bJ05(y yo)s in (亍)dy =2ql 亠/ n兀 yosi n(n兀客0b由式(3)和(4)解得Bn1.sinh(a x0)s in(sinh(n兀a/b) n兀s0bb2ql12qi=sinh( )si n( )sinh(n;ia/b) n兀&0bb2q1兀5 ni2qlnT!sin( n兀 yo )sinh(n)sin()，bbb(0x Xo)1(x, y)=送-sinhp(a-Xo)nsinh(n 兀 a/b)b半 2(x,y)=却吃1sin h(巴Xo) sin(-八怡 in h二(a-x)s in(二)，Ji0 n4 nsinh(

12、maHb)bbbb若以y = yo为界将场空间分割为 0 y yo和yo y c b两个区域，则可类似地得到旳 /2qi 匸1. . ,n 兀 /.1. , n 兀 Xo、.，nn； y、. ，n;i x、 1(兀 y)=-S sinh(b-yo) sin( )sinh( )sin( )阳0 n土nsinh(nTib/a)aaaa茁 /2qi _1. . zA兀yo.；ixo . , r n花八, njix、2(x, y)=送一sinh( ) sin()sinh(b y)sin()m0 n吕 nsinh(mb/a)aaaa*4.8如题4.8图所示，在均匀电场 E0 = exEo中垂直于电场方向

13、放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为 位申和电场E以及导体表面的感应电荷密度解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位护0与感应电荷的电位柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为W0(r,) =-Eox + C =-Eor cos + C (常数C的值由参考点确定)，而感应电荷的电位 監(rM)应与(r,*) 样按cos*变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以W(r冲)满 足的边界条件为njiyon；!(Xo c X c a)由此可设由条件,n；!n；! X(Oc y yo)(yo y b)a。求导体圆柱外的电Win的叠加。

14、由于导体圆护(a,* )=C半(r 理戶-E r co$ + C (t 处)W(r = -Eorcos +Ar cos+C 有-Eoacos +Aacos$ + C = CA =a2Eo，故圆柱外的电位为(r冲)=(r+a2r 4)Eocos+CW(a,啊=0,则 C =0。故圆柱外的电位为若选择导体圆柱表面为电位参考点，即 导体圆柱外的电场则为于是得到导体圆柱表面的电荷面密度为CT =-Eof- (0# r E =-可半(r) = -er J -ejr寻crr cWg.aoEoCoScr2 2aXaer(1+ 2)EoCOS +e4)( 1 中2)Eosinrr*4.11如题4.11图所示，

15、一无限长介质圆柱的半径为 a、介电常数为 名，在距离轴线ro(ro A a)处，有一与圆柱平行的线电荷 qi ， 计算空间各部分的电位。解在线电荷q作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(r冲)均为线电荷 q的电位 叫(r,*)与极化电荷的电位，即(r,幻Nl(r +p(r,幻。线电荷ql的巴(r,*)=- ql ln R=- ql In J r2 + r02 -2rr 0 cos *2兀g02兀(1)p (r 的叠而极化电荷的电位 Wp(r,*)满足拉普拉斯方程，且是*的偶函数。介质圆柱内外的电位2( r, *)满足的边界条件为分别为1(汕)和i（0为有限值；%（r冲片平（e ） 0比

16、）2,时靜2名=名0dcr由条件和可知，鸣（r沖）和护2（r神）的通解为OC心冲）=i（r 冲）+S Anrn cosn(0 r a)(2)聲(r冲)=9冲)+2 Bnrcosnn丄(a r吒处)(3)将式（1）（3）带入条件，可得到当r r0时，将in R展开为级数，有CocZ Anancosn =送 Bnacosnn =1n =1CZ (AinaZ + Bn%na)cosn = G s0)n比1l n1-2 nrn ncqcln Rrm(4)(5)c带入式（5），得 Z （片切&2 + B|I zt由式（4）和（7），有 Aa = BnarAn a)cos n* =4 n) cIsr0(E

17、 %)qiM a n_i.Z () cosn9( 7)2 兀*00 nz1 r0(6)由此解得An =讨论：利用式（An Ena + Bn%nagi (眾一帝0)1B _2% (十o)吧，n =G-s）qi/a、n_i=_ 2 牡 r。 r。qJs%） a2n-；故得到圆柱内、外的电位分别为2阳0（乞+先）nr0巴（r 冲）=-半 in Jr2-2rr0cos* -2叭-gMn Jr2 弋-2rr0cos* - 2叭76），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为gil（L）n cosnX q e -附（in R-in r。）2吋十0）心n2吋十0）cos松 qi （0）（in R Jin r

18、）2兀（E+s）心ntr2兀径乜0）qi(-%)S iLcosn2阳0(E + %)心 n r。qC-S且)ncosn2昭0(E +%)心 n M(8)(9)其中 R= Jr2+(a2/r0)2-2r(a2/r0)cos 。因此可将 % (r)和 2(r,)分别写成为巴(r =-空皿 inR-inr02兀 02%(0)丄 inR 一丄 ZinR -丄 inr 2兀2兀名。名+名02%s中先2名由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,o）的线电荷 gl的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产S +呂02as Sos So生，它们分别为：位于（ro,o）的线电荷Q ；位于（,0）的

19、线电荷一qi ；位于r = o的线电荷 qi。roE + $0E + &0*4.13在均匀外电场 Eo = ezEo中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至Uo ；（2）导体上充有电荷 Q。试分别计算两种情 况下球外的电位分布。解 （1 ）这里导体充电至 Uo应理解为未加外电场 E0时导体球相对于无限远处的电位为Uo，此时导体球面上的电荷密度b yUo/a ，总电荷q =4兀客oaUo。将导体球放入均匀外电场 E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生 变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设申（rNo（rMin（r,日） ，其中o （r, e） = Eo z E

20、o r cos日，是均匀外电场E 0的电位，W in （r, &）是导体球上的电荷 产生的电位。电位（r, 0）满足的边界条件为 rT 时，W（r,8）T E0rcos9 : r =a时，W（a月）=C0, YoRdSq由条件，可设A = a Eo， Bi = aU 0，Ci = C。- U 0 W（r,日）=-E0rcos + aEorcos 日 + aU0r-1其中Co为常数，若适当选择W（r,0）的参考点，可使Co =Uo。（r,日）=-Eor cos日+Ar cosT +B1r +G代入条件，可得到 若使Co =Uo，可得到（2）导体上充电荷Q 时，令 Q=4 兀 g0aU。，有 U0

21、=Q4兀sa4.仃一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。利用（1）W（r 月）=-Eor cos9 +a3E0厂 cos日+Q4 兀2 or如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0 = ezEo，在介质中有一个半径为 a的球形空腔。求空腔内、外的电场eS-）0的结果，得到4.14和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为 解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场外的电位分别为 %（r）和笃（r,日），则边界条件为2（re）T -E0rcose : r=0 时，drP）为有限值； i（ae）=2（a,日），名0驾=界孚 acr巴（r,） = -Eo

22、r cos日中 Ar cos日，2（r ,日戶-Eo r coS + A? cs _带入条件，有23Aia = Aza ，名0 Eo 中帝oAi =毎 Eo 2名a A2Al丄 E，A2 = -a Eo2%2%i（r,日）=-3： Eor cos。2名+名o 2（re） 1+三H（m）3EorcosT 2go r加。设空腔内、r T处时,r = a 时,由条件和，可设题4.14图由此解得所以E为外加电场E0与极化电荷的电场E P的叠3S2e + e0 E0空腔内、外的电场为E 2 =-可半 2（re）= E 0_Y0）E0（空）3 er2cos 日 +e 日 sin 日c丄 r空腔表面的极化电

23、荷面密度为bp = -n P2rza =一（名一先冶E 2沁堑Eoco昶2%（1）证明：球内的电场是均匀的，等于（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子Pt产生的电场相同，T =4%R3解（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电 是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的 程，可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为cTp = P n = P er = Pcos日外的电位%和半2满足的边界条件为 陷（0,日） 为有限值； （r T 处）；介质球内、%(r,8)T 0鸣（Re）N

24、2（R向；5（旦-皂cr&r占=P cos日题4.17 图荷所产生的场。由于 电位满足拉普拉斯方因此，可设球内、外电位的通解为9, (r,8) = Ar cos9 ,2(r,) =cos 日 r由条件，有解得于是得到球内的电位 %（r）名0(几晋)=PRPR33名0Pr cos 日Bi故球内的电场为（2）介质球外的电位为cos 014 兀 So rR3 P233呂0Pt4兀 R3cos 0 = cos 9，其中T =4 R 为介质球的体积4兀呂03。故介质球外的电场为 E2 =可2（,日）=一 W eg-W cr r drPt产生的电场相同。Pt3 (er 2cos 日 + 朗 si n 8)

25、4%可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子一个半径为a的细导线圆环，环与 xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电4.20位为 Q4 兀&0a11 L 2 la 丿 r 1 faIP 一肃丿P2(cos 0) +-仁 1 P4(cos T) +iiu8 la丿P2 (cos 0) +P4 (cos 6) + 川 18 *丿丿I(r a)_ Q 4 聴0以细导线圆环所在的球面 r = a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解,r = a上的电荷面密度Q 2 2兀a再根据边界条件确定解 成球面设球面r = a内、(r 3a)并利用6函数将细导线圆环上的线电荷 Q表示(cos8 -cfS守)=a系数。外的电位分别为 出（r,）和2（rf），则边界条件为: 出（0,日）为有限值；y 2（rf）T 0 （rT 处）申 1（af）=驾,日），题 4.20图x(4)根据条件和，可得 1 （r）和2（r,9）的通解为1（r,T）=Z AhrnPn（co）n =0(1 )，笃(r,&)=Z BnrgPn(cos日)(2)n =0代入条件，有Anan =B