极坐标与参数方程知识讲解

1、参数方程和极坐标系知识要点（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y都是某个变数t的函数，即x f(t)y f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M （x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1 .过定点（xo, yo）,倾角为a的直线：x x0 t cos y yo tsin（t为参数）其中参数t是以定点P （xo, yo）为起点，对应于t点M （x, y）为终点的有向线段 PM的数 量，又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论.设

2、A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA 和 tB，贝y AB = tB t A =.(tB tA) 4tA tB .2）.线段AB的中点所对应的参数值等于t A tB22 .中心在（xo，yo），半径等于r的圆:I x xo r cosy yo r sin（为参数）3 .中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆:x a cosy bsi n（为参数）（或x bcos ）y a sin中心在点（xO,yO ）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程xoyoa cosbsi n（为参数）4 .中心在原点，焦点在 x轴（或y轴）上的双曲线:x a secy btg（为参数）(或 btg a

3、secx(2pt （t为参数，p 0）I y2pt直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （ X0 , y0）,倾斜角为的直线的参数方程是:X。 y。t cos t sin5.顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线:（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0,叫做极点，引一条射线 Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点 M用p表示线段 0M勺长度，B表示从Ox到0M勺角，p叫做点M的极径，B叫做点M的极角，有序数对（p , 0 ）就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。IM0aacoscosaaasinsincos

4、()）M故Oa图2a cosa O图3aAMOM图4asin图5asinacosacos( )4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为（a 0）: a 2a cos 2a cos2asin2asin 2a cos( )O(a,) a2asin2asin2acos( )5、极坐标与直角坐标互化公式:（直极互化图）例题（j3.1参数方程）例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点Mj X1,%、M 2 x2, y2，以分点 M （x, y）分MjM?所成的比为参数，写出参数方程。2、x直线3、4、仝t2 （t为参数）的倾斜角是1t252A .B .C.D.6363x 1 t cos方程

5、（t为非零常数， 为参数）表示的曲线是y 3 t sinA .直线B .圆C .椭圆D .双曲线已知椭圆的参数方程是5cos以是A.3例2把弹道曲线的参数方程4si n23为参数），则椭圆上一点2、3）的离心角可53化成普通方程.x v0 cos t,.1 . 2yVo sint -gt ,2例3.将下列数方程化成普通方程.2t22t，1 t22t1 t2，1 t21 t22t1 t2a(tb(t1),my 1mx 1aCOs (为参数,absin .0)2cossin例4.直线3x 2y+ 6=0,令y = tx + 6 （t为参数）.求直线的参数方程.例5已知圆锥曲线方程是x 3t 5co

6、s 12y 6t 4 sin 5(1) 若t为参数,为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离;(2)若为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例6.在圆x2 + 2x+ y2=0上求一点，使它到直线2x+ 3y 5=0的距离最大.例7.在椭圆4x2+ 9y2=36上求一点P,使它到直线x+ 2y+ 18=0的距离最短(或最长)例8已知直线；I: x 1吕与双曲线(y-2) 2-x2= 1相交于A、B两点，P点坐标P(-1, 2)。 y 2 4t求：(1) |PA|.|PB|的值；(2)弦长|AB|;弦AB中点M与点P的距离。例9已知A ( 2,0)，点B,C在圆x2+

7、y2=4上移动，且有 BAC - 求 ABC重心G的轨迹方程。32 2例10.已知椭圆x y 1和圆X2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点 P1,在圆上求一点P2使IP1P2I达到最328大值，并求出此最大值。例11.已知直线I过定点P(-2,0),与抛物线C: x2+ y-8=0相交于A、B两点。(1)若P为线段AB 的中点，求直线I的方程；(2)若I绕P点转动，求AB的中点M的方程.2 2例12.椭圆 冷 耸 1(a b 0)上是否存在点P,使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线 a b互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例题(J3.2极坐标系) 例1讨论下列问题：

8、)(D) (2, 40 )1. 在同一极坐标系中与极坐标M ( 2, 40)表示同一点的极坐标是(A) ( 2, 220 )( B) ( 2, 140 )( C) (2, 140 )2. 已知 ABC的三个顶点的极坐标分别为A(4, 0 ), B( 4, 120 ), C(2 3 + 2, 30 )，则ABC 为()。(A)正三角形(C)直角非等腰三角形3.在直角坐标系中，已知点当极角在(一n,n内时,(B)(- 5，argtg(- 2)(B )等腰直角三角形(D)等腰非直角三角形M( 2, 1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 1(.5 , n argtg()21、 argt

9、g )2M点的极坐标为()(C) ( 5，n-皿)(A)(D) (、5，一 n +例2.把点A( 5,石)，B(3,-)的极坐标化为直角坐标。例3.把点M ( , 3, 1),N(0, 3),P(.、2,0)的直角坐标化为极坐标。例4.已知正三角形 ABC中，顶点A、B的极坐标分别为 A(1,0),B(、. 3,?)，试求顶点C的极坐标。例5.化圆的直角方程x2+y2-2ax=0为极坐标方程。例6.化圆锥曲线的极坐标方程一eP 为直角坐标方程。i ecos例7.讨论下列问题：1. 在极坐标系里，过点M (4, 30)而平行于极轴的直线的方程是()(A)sin = 2(B)sin = 2(C)

10、cos 2(D) cos 22.在极坐标系中，已知两点1M1(4 , arcsin ),M2( 6，n arccos(差)，则线段3M1M2的中点极坐标为()2、：2(C) ( 1, arccos()3(D) (1,(A) ( 1 ,1arcs in3arccos空)31(B) (1, arcsin )33. 已知P点的极坐标是(1,n )，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()。(A)p =1( B )p = cos 0(C )p cos 0 = 14. 若p 0,则下列极坐标方程中，表示直线的是()。3(A)0 =( B) cos 0 =(0 00, nW0 n条件下，B的极坐标6.

11、 直线p cos( 0)=1与极轴所成的角是 。7. 直线p cos( 0a )=1与直线p sin( 0 a )=1的位置关系是 。18. 直线y=kx+ 1 (k0且k-)与曲线p 2sin 0 p sin2 0 = 0的公共点的个数是()。(A) 0(B) 1( C) 2( D) 3例8讨论下列问题；1. 圆的半径是1,圆心的极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是()。(A)p= cos 0( B)p= sin 0( C)p= 2cos 0( D) p= 2sin 02. 极坐标方程分别是p= cos 0和卩=si n0的两个圆的圆心距是()。(A) 2(B) 、2( C) 1(D)

12、二23. 在极坐标系中和圆p =4sin 0相切的一条直线方程是( )(A)p sin 0 =2( B)p cos 0 =2(C )p sin 0 =4( D) p cos 0 =44. 圆=Dcos0 Esin 0与极轴相切的充分必要条件是(A) D E = 0( B) D2+ E2= 0(C) D = 0, Em 0(D) D 丰 0, E = 05. 圆2 - 3 sin 0 2cos 0的圆心的极坐标为 。6. 若圆的极坐标方程为p =6cos 0，则这个圆的面积是 。7. 若圆的极坐标方程为p =4sin 0,则这个圆的直角坐标方程为一8. 设有半径为 4的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(一4, 0),则这个圆的极坐标方程为。例10.试把极坐标方程2.2m cos 3 sin6cos化为直角坐标方程，并就m值的变化例9.当a、b、c满足什么条件时，直线与圆2ccos 相切?acos bsi n讨论曲线的形状。例11过抛物线y2=2px的焦点F且倾角