2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析22页

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合A1，0，1，6，Bx|x0，xR，则AB 2（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 3（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 4（5分）函数y的定义域是 5（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 6（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 7（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21

2、（b0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是 8（5分）已知数列an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5+a80，S927，则S8的值是 9（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是 10（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx+（x0）上的一个动点，则点P到直线x+y0的距离的最小值是 11（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 12（5分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点

3、O若6，则的值是 13（5分）已知，则sin（2+）的值是 14（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数当x（0，2时，f（x），g（x）其中k0若在区间（0，9上，关于x的方程f（x）g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B+）的值16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，

4、E分别为BC，AC的中点，ABBC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E17（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0）的焦点为F1（1，0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x1）2+y24a2交于点A，与椭圆C交于点D连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标18（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，Q

5、A上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB10，AC6，BD12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离19（16分）设函数f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为f（x）的导函数（1）若abc，f（4）8，求a的值；（2）若ab，bc，且f（x）和f（x）的零点均在集合3，1，3中，求f（x）的极小值；（3）若a0，0b1，c1，且

6、f（x）的极大值为M，求证：M20（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（1）已知等比数列an（nN*）满足：a2a4a5，a34a2+4a10，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn（nN*）满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn（nN*），对任意正整数k，当km时，都有ckbkck+1成立，求m的最大值【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）21（

7、10分）已知矩阵A（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为sin（+）3（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23设xR，解不等式|x|+|2x1|2【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，n4，nN*已知a322a2a4（1）求n的值；（2）设（1+）na+b，其中a，bN

8、*，求a23b2的值25（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An（0，0），（1，0），（2，0），（n，0），Bn（0，1），（n，1），n（0，2），（1，2），（2，2），（n，2），nN*令MnAnBnn从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离（1）当n1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（用n表示）2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：A1，0，1，6，Bx|x0，xR，AB1，0，1，6x|x0，xR

9、1，6故答案为：1，6【点评】本题考查交集及其运算，是基础题2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值【解答】解：（a+2i）（1+i）（a2）+（a+2）i的实部为0，a20，即a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x1，S0S0.5不满足条件x4，执行循环体，x2，S1.5不满足条件x4，执行循环体，x3，S3不满足条件x4，执行循环体，x4，S5此时，满

10、足条件x4，退出循环，输出S的值为5故答案为：5【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案【解答】解：由7+6xx20，得x26x70，解得：1x7函数y的定义域是1，7故答案为：1，7【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题5【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：（6+7+8+8+9+10）8，该组数据的方差为：S2（68）2+（78）2+（88）

11、2+（88）2+（98）2+（108）2故答案为：【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6【分析】基本事件总数n10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m+7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m+7，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题7【分析】把已知点

12、的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求【解答】解：双曲线x21（b0）经过点（3，4），解得b22，即b又a1，该双曲线的渐近线方程是y故答案为：y【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题8【分析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则，解得6（5）+15216故答案为：16【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题9【分析】推导出ABBCDD1120，三棱锥EBCD的体积：VEBCDABBCDD

13、1，由此能求出结果【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，ABBCDD1120，三棱锥EBCD的体积：VEBCDABBCDD110故答案为：10【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10【分析】利用导数求平行于x+y0的直线与曲线yx+（x0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y0的距离的最小值【解答】解：由yx+（x0），得y1，设斜率为1的直线与曲线yx+（x0）切于（x0，），由，解得（x00）曲线yx+（x0）上，点P（）到直线x+y0的距离最小，最小

14、值为故答案为：4【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题11【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可【解答】解：设A（x0，lnx0），由ylnx，得y，则该曲线在点A处的切线方程为ylnx0，切线经过点（e，1），即，则x0eA点坐标为（e，1）故答案为：（e，1）【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题12【分析】首先算出，然后用、表示出、，结合6得，进一步可得结果【解答】解：设（），+（）（1）+，（），+，66（）（+）（+）+，+，3

15、，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力13【分析】由已知求得tan，分类利用万能公式求得sin2，cos2的值，展开两角和的正弦求sin（2+）的值【解答】解：由，得，解得tan2或tan当tan2时，sin2，cos2，sin（2+）；当tan时，sin2，cos2，sin（2+）综上，sin（2+）的值是故答案为：【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题14【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x

16、）（1x2，3x4，5x6，7x8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x（0，2与g（x）k（x+2），x（0，1的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kxy+2k0的距离为1，得，解得k（k0），两点（2，0），（1，1）连线的斜率k，k即k的取值范围为，）故答案为：，）【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15【分析】（1）由余弦定理得：cosB，由此能求出c的值（2）由，利用正弦定理

17、得2sinBcosB，再由sin2B+cos2B1，能求出sinB，cosB，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，ca3c，b，cosB，由余弦定理得：cosB，解得c（2），由正弦定理得：，2sinBcosB，sin2B+cos2B1，sinB，cosB，sin（B+）cosB【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题16【分析】（1）推导出DEAB，ABA1B1，从而DEA1B1，由此能证明A1B1平面DEC1（2）推导出B

18、EAA1，BEAC，从而BE平面ACC1A1，由此能证明BEC1E【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，DEAB，ABA1B1，DEA1B1，DE平面DEC1，A1B1平面DEC1，A1B1平面DEC1解：（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，ABBCBEAA1，BEAC，又AA1ACA，BE平面ACC1A1，C1E平面ACC1A1，BEC1E【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题17【分析】（1）由题意得到F1DBF2，然后求AD，再由

19、ADDF1求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标【解答】解：（1）如图，F2AF2B，F2ABF2BA，F2A2aF2D+DAF2D+F1D，ADF1D，则DAF1DF1A，DF1AF2BA，则F1DBF2，c1，b2a21，则椭圆方程为，取x1，得，则AD2a又DF1，解得a2（a0）椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（1，0），则BF2：y，联立，得21x218x390解得x11或（舍）即点E的坐标为（1，）【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1BF2是解答该题的关键，是中

20、档题18【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，6），B（8，12），D（8，0）设点P（x1，0），PBAB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QAAB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a17，b，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AMBM，即有DMAC6，BM6，AM8，以C为坐

21、标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，6），B（8，12），D（8，0）（1）设点P（x1，0），PBAB，则kBPkAB1，即1，解得x117，所以P（17，0），PB15；（2）当QAAB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则kQAkAB1，即1，解得x2，Q（，0），由178，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a17，b，PB2（a+8）2+144225，QA2b2+36225，则b3，当d最小时，PQ17+3【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直

22、线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题19【分析】（1）由abc，可得f（x）（xa）3，根据f（4）8，可得（4a）38，解得a（2）ab，bc，设f（x）（xa）（xb）2令f（x）（xa）（xb）20，解得xa，或xbf（x）（xb）（3xb2a）令f（x）0，解得xb，或x根据f（x）和f（x）的零点均在集合A3，1，3中，通过分类讨论可得：只有a3，b3，可得1A，可得：f（x）（x3）（x+3）2利用导数研究其单调性可得x1时，函数f（x）取得极小值（3）a0，0b1，c1，f（x）x（xb）（x1）f（x）

23、3x2（2b+2）x+b0令f（x）3x2（2b+2）x+b0解得：x1，x2x1x2，可得xx1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论【解答】解：（1）abc，f（x）（xa）3，f（4）8，（4a）38，4a2，解得a2（2）ab，bc，设f（x）（xa）（xb）2令f（x）（xa）（xb）20，解得xa，或xbf（x）（xb）2+2（xa）（xb）（xb）（3xb2a）令f（x）0，解得xb，或xf（x）和f（x）的零点均在集合A3，1，3中，若：a3，b1，则A，舍去a1，b3，则A，舍去a3，b3，则1A，舍去a3，b1，则A，舍去a1，b3，则A，舍去a3，b3，则1

24、A，因此a3，b3，1A，可得：f（x）（x3）（x+3）2f（x）3x（3）（x1）可得x1时，函数f（x）取得极小值，f（1）24232（3）证明：a0，0b1，c1，f（x）x（xb）（x1）f（x）（xb）（x1）+x（x1）+x（xb）3x2（2b+2）x+b4（b+1）212b4b24b+44+33令f（x）3x2（2b+2）x+b0解得：x1，x2x1x2，x1+x2，x1x2，可得xx1时，f（x）取得极大值为M，f（x1）（2b+2）x1+b0，可得：（2b+2）x1b，Mf（x1）x1（x1b）（x11）（x1b）（x1）（x1b）（x1）（2b1）2b2x1+b2，2b2

25、+2b220，M在x1（0，上单调递减，MM【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20【分析】（1）设等比数列an的公比为q，然后根据a2a4a5，a34a2+4a10列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想bn，然后用数学归纳法证明；（3）设cn的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x），g（x），分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，则由a2a4a5，a34a2+4a10，得，数列an首项为1且公比为正数即数列an为“M数列”

26、；（2）b11，当n1时，b22，当n2时，b33，当n3时，b44，猜想bnn，下面用数学归纳法证明；（i）当n1时，b11，满足bnn，（ii）假设nk时，结论成立，即bkk，则nk+1时，由，得k+1，故nk+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，bnn对任意的nN*都成立故数列bn的通项公式为bnn；设cn的公比为q，存在“M数列”cn（nN*），对任意正整数k，当km时，都有ckbkck+1成立，即qk1kk对km恒成立，当k1时，q1，当k2时，当k3，两边取对数可得，对km有解，即，令f（x），则，当x3时，f（x）0，此时f（x）递增，当k3时，令g（x），则，令，则，当x3时

27、，（x）0，即g（x）0，g（x）在3，+）上单调递减，即k3时，则，下面求解不等式，化简，得3lnm（m1）ln30，令h（m）3lnm（m1）ln3，则h（m）ln3，由k3得m3，h（m）0，h（m）在3，+）上单调递减，又由于h（5）3ln54ln3ln125ln810，h（6）3ln65ln3ln216ln2430，存在m0（5，6）使得h（m0）0，m的最大值为5，此时q，【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若

28、多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）21【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（）25+4，解方程f（）0即可【解答】解：（1）AA2（2）矩阵A的特征多项式为：f（）25+4，令f（）0，则由方程25+40，得1或4，矩阵A的特征值为1或4【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离【解答】解：（1）设极点为O，则在OAB中，由余弦定理，得AB2OA2+OB22OA，AB；（2）由直线1的方程sin（+）3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），点B到直线l的距离为【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23【分析】对|x|+|2x1|去绝对值，然后分别解不等式即可【解答】解：|x|+|2x1|，|x|+|2x1|2，或或，x1或x或x，不等式的解集为x|x或x1【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内