圆锥曲线知识点例题练习含答案0001

1、交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ卜圆锥曲线、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数（大于| F1F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:注意：2a ；4FiF2 |表示椭圆；2a马F1F2I表示线段F1F2 ； 2a b 0) a byX 23.常用结论：（1）椭圆x2讥 =i（a:b0）的两个焦点为Fi,F2，过Fi的直线交椭圆于A,B两 a b点，则 MBF2的周长=2 2（2）设椭圆务+比=1（3 b 0）左、右两个焦点为Fi,F2，过Fi且垂直于对称轴的直线a b=1(

2、aAbA0)ab图形JrX卜 -A cX0 厂Bi顶点A1(a,0),A(a,0)B1(0-b), B2(0,b)Ai(b,0),A2(b,0)Bi(0-a), B2(0,a)对称轴X轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦占八、八、F1(-c,0),F2 (c,0)Fi(0,c),F2(0,c)焦距| F, F21= 2c(c A 0)c2 =a2 -b2离心率e=C（0e1）（离心率越大，椭圆越扁）a通径空 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a、双曲线:（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F,F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲

3、线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|P F1II PF2|=2a 与 |P F2I-I PFi|=2a ( 2a| RF? |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在X轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程22笃爲=1(a0,b0)a bA(T,0),A2(a,0)2 2对称轴X轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a焦 占八、八、Fi(y,0),F2(c,0)Fi (0,y), F2(0,c)|FiF2I=2c(ca0)c2 =a2 +b2离心率渐近线ce =-(e 1)a,b y = Xa（离心率越大，开口越大）2b2a（3）双曲线的渐近线：=0，因式分解得到2L+J

4、L=0。a b求双曲线xLL的渐近线，可令其右边的1为0,即得上a b2a b2222与双曲线 务-耳=1共渐近线的双曲线系方程是Z；a ba2 b2（4）等轴双曲线为X2 -y2 =t2，其离心率为血22（4）常用结论：（1）双曲线_=i（a：0,b0）的两个焦点为Fi,F2，过Fi的直线交双曲线 a b的同一支于A,B两点，则 MBF2的周长=2 2（2）设双曲线_%=i（a.o,b；O）左、右两个焦点为Fi,F2，过Fi且垂直于对称轴的a b直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ 1=三、抛物线:（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其

5、中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在x轴上,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点在y轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准对称轴F（0P）F（-p，0）2x =2py焦 占八、八、F（P，0）PF（O，-2）离心率-P2P焦半径I PF円xo I巧焦点弦 焦准距四、弦长公式:| AB = Ji +k2 Ixj -X2 = Ji +k2 寸（为 +x2）2 - 4x2 = Ji + k2I A1其中，AQ分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和X2的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立

6、两方程，消去 y,得关B于X的一元二次方程 Ax2+Bx + C=o,设A（x1, y1）， B（x2, y2），由韦达定理求出Xi+X2=-，ACXiX2 = ;（3）代入弦长公式计算。A法（二）若是联立两方程，消去X,得关于y的一元二次方程Ay2 +By + C =0,则相应的弦长公式是：|AB|= (+(2 |y1 -y2 |= j+ (卡2 抽 + 丫2)2-4汨2 =( + ()2 音注意（1） 上面用到了关系式I % -X2 |=+X2）2 -4X2和1 A1y1 -y2 = J(y1 +y2)2-4畑 =普IAI注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点

7、到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法y,得关于X；（3）A法（一）：（1求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去的一元二次方程Ax2 + Bx + C=o,设A（x1, y1），B（x2 ,y2），由韦达定理求出x x2X + X设中点M（xo,yo），由中点坐标公式得xX1 2X2 ;再把x = xo代入直线方程求出法（二）：用点差法，设 A（xi，yi）， B（X2,y2），中点M （x。，y。），由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出

8、x0,y0。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e （求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0 e 1）例1:设点P是圆x2+y2=4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足PM =2MD .当点P在圆上运动时，求点 M的轨迹方程.解 设点M的坐标为（X, y ），点P的坐标为（Xo，yo ），由PM =2MD， 得(X-Xo, y-yo ) = 2(8-x,-y )，即 Xo=3xT6， y。=3y . , 2 2 因为点 P(xo, yo )在圆 x2 +y2 =4上，所以 x02 + y02

9、=4 .即(3x 16 ) +(3y ) =4，即卜导+=9，这就是动点M的轨迹方程例2:已知椭圆的两个焦点为(-2, 0),( 2,0)且过点(I，弓),求椭圆的标准方程2y+ 2 = 1(a b0), b=a2 -C2 =6所以所求的标准方程为2102=16解法 2 :c=2,. b2=a2 -c2 =a2 -4，所以可设所求的方程为2a2a24将点(|-|)代人解得：a=M0所以所求的标准方程为2 210 62解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 X2a由椭圆的定义可知：2a=挣2m+PP)2=2用例3.帥圆需-話=1上有一2 它到猜圆的左焦貝歼的鉅离A 求AP厂兀的面积.

10、帕 自椭圜的运文.得|P斤HIP%二加=201尹以又cos睞旳八存二-丄 |尸卜|尸佗|2x8x124:*=1x8x12X逅=12屈”4 24.3例4.过稱咋+ ”内 V. 伽论求弦，円跡点“的轨迹方程设V,).甘化d小拙的中点人则JC =戈r比，二 冷M 且Ax -/ - 364才-91/ =弐召 .-软 4fl .T -勺 X .V -勺)-90- - ”)1 y - J = 0* y-yi 也工+心) 打 rV-兀J.r . 丄丫 .T - .X.-V,)升 X-石E y-l4 X-_J-*_*_*4L*.4If即斫戎的软迹方程为4(,v - if -9? = I高二圆锥曲线练习题11、

11、Fi，F2是定点，且|FiF2|=6，动点M满足|MFi|+|MF2|=6，贝U M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆 (D) 线段2、已知MBC的周长是16, A（,0） , B（3,0）,则动点的轨迹方程是（）2 2 2 2(A)才話=1 (B)才話)(C)16252 2 2 2x +y =1 (D) yHO)25x2163、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍,则椭圆的离心率等于（73V34、设椭圆C的离心率为13焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,贝U曲线C2的标准方程为（A.x42x213252 2 2丄T2 2 11312

12、5、设双曲线2 x 2 a= 1（a0 ）的渐近线方程为3x2y = 0,则a的值为（6、7、A.A.C.9、(A) 4(B) 3(D)双曲线2x2(A) 22双曲线42/3_y2 =8的实轴长是(B) 2 J2(D) 4 血2-y-=112的焦点到渐近线的距离为（以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（X2 +y2x2+y2-10x +9=0+10x+16=0、过椭圆 务+占 =1 (a b 0)ba2F1 PF 2 =60,则椭圆的离心率为B . x2+y 2-10x+16 = 0x2 + y2 +10x + 9=0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点，若A.

13、返210.“mn:0 ”是“方程mx2 +2ny=1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的733(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:既不充分也不必要条件(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6;焦点坐标为(-73,0),(73,0),并且经过点(2，1)；(3)椭圆的两个顶点坐标分别为(0) , (3,0),且短轴是长轴的丄;3离心率为耳，经过点(2 , 0);X2212、与椭圆d +Z =1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:9413、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在X轴上，离心率为 .过Fi的直线丨交C

14、于A,B两点，且 MBF2的周长为16,那么C的方程为:2 214、已知F1,F2为椭圆針計1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A B两点，若F2A + F2B =12，贝U AB = 15、已知F1、F2是椭圆C:务+与=1( a :b0 )的两个焦点，P为椭圆C上一点，且P?!丄左,a b若PF1F2的面积是9,则b = 16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P( 4 , -73 ), Q ( 242,3 )两点的椭圆方 程。圆锥曲线练习题21.抛物线y= 10x的焦点到准线的距离是(5A .22若抛物线15B. 5 C. D. 10 22y =8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐

15、标为()。A. (7, 714)B . (14,皿)C. (7, 2荷 D . (7, 2714)2 23.以椭圆X +y =1的顶点为顶点，离心率为 2的双曲线方程(1692 2X y “A .=116482 22Xy.XB .=1 C .927162 2 2L=1 或 I_Z=148927D .以上都不对4.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 X2 + y2-2x + 6y+9 =0的圆心的抛物线的方程是A . y =3x2 或 y=Jx22B . y =3xC. y2 = -9x或 y = 3x2D. y = 0 ）的渐近线方程为3x2y = 0,9则a的值为（6、7、(A) 4双曲线

16、2x2(A) 22双曲线4(B) 3-y2 =8的实轴长是（C ）(D) 442(D)上=112的焦点到渐近线的距离为（A.73以双曲线&-16的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（A.x2+y2-10x +9=0B. x2+y 2-10x+16 = 0C.2.2x +y+10x+16=0x2 + y2 +10x + 9=09、2 2、过椭圆 笃+斗=1 (a b 0)a b的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若A.Fi PF2= 60则椭圆的离心率为10.An 0 ” 是“方程 mx2 +ny2=1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的(A)充分而不必要条件（B）必要而不充分条

17、件充要条件(D)既不充分也不必要条件2解析：将方程mx2 + ny2=1转化为 牛十十，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足11110,- 0,所以 mnn m11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:2 2(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6；亠盒+162=1或-162+厶=1;25焦点坐标为(-j3,0), (J3,0),并且经过点(2 , 1);=1(3)椭圆的两个顶点坐标分别为(0) , (3,0),且短轴是长轴的丄;_3 92- + y1 或 x2 2 -丄=1;981离心率为4，经过点(2，0);2 2 2x 2 彳卡X y .44162212、与椭圆 亠 =1有相同的焦点，且短

18、轴长为2的椭圆方程是:94x26+宀113、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为2xF1的直线I交C于A,B两点，且MBF2的周长为16，那么C的方程为：(2214、已知F1, F2为椭圆亍計1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点,F2A + F2B =12，贝U AB = 8 2 215、已知F1、F2是椭圆C:笃+与=1( a汕0 )的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF,丄PF?， a b若PF1F2的面积是9,则b=Z.16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P( 4 , -73 ),Q ( 242,3 )两点的椭圆方程。2 2解：设椭圆

19、方程为 务+=1，将P, Q两点坐标代入，解得a ba2= 20,b2 =1522故一+L =1为所求。2015圆锥曲线练习题21抛物线y= 10x的焦点到准线的距离是(B )5A. 一22若抛物线C ）。15B. 5 C. 一 D. 102y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为(3.4.A.(7, JT4)B. (14714)以椭圆252 2+=1的顶点为顶点,162xA .162xC .16Fi,F22Z=1482=1或482X是椭圆一9C . (7, 2辰)D . (-7, 2714)离心率为2的双曲线方程（C ）2Z=1277B.-42y_=127以上都不对=1的两个焦点,

20、5.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆2 、 2A. y = 3x 或 y = -3xC. y2 = -9x或 y =3x226 .若抛物线y =x上一点A.(丄,4呼）B -2x7.椭圆+49242=1上一点A为椭圆上一点，且/ AF1F450，则 AF1F2的面积为7452x2 + y2 -2x +6y + 9 = 0的圆心的抛物线的方程是D. y = -3x2 或 y2 =9xP到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（B ）(洱)C -(黔)D -(溥P与椭圆的两个焦点 F1、F2的连线互相垂直，则 PRF?的面积为（A. 20 B. 22 C.28 D. 248 .若点A的坐

21、标为（3, 2）,F是抛物线y2 =2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MF +最小值的M的坐标为（D(1,72)D. (2,2)mA取得2X9.与椭圆一4+ y2 =1共焦点且过点Q（2,1）的双曲线方程是（2xA . 一222HDX2-y =1B .一 - y42 2x y=1 C .=13322 yD. X=12，则它的长半轴长为1,或2310.若椭圆x1 2+my2 =1的离心率为 211双曲线的渐近线方程为 x2y=0.焦距为10，这双曲线的方程为2 2120512抛物线y2 * =6x的准线方程为 x =13.椭圆5x2 + ky2 =5的一个焦点是（0,2），那么k = _1_o14.椭圆+Z =1的离心率为 丄，则k的值为 _4,或-5-1k+892415.双曲线8kx2 -ky2 =8的一个焦点为（0,3），则k的值为16若