高中物理力学竞赛随谈

1、高中物理力学竞赛随谈高中物理力学竞赛随谈 2009.7.19. 力学力学 对高中物理竞赛辅导工作的看法对高中物理竞赛辅导工作的看法 组织安排、教学相长组织安排、教学相长 立足实际、保护兴趣立足实际、保护兴趣 训练适度、益于高考训练适度、益于高考 力学力学 运动学运动学 参照系，质点运动的位移和路程，速度，加速度。参照系，质点运动的位移和路程，速度，加速度。 相对速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。 抛体运动。圆周运动。抛体运动。圆周运动。 刚体刚体的平动和绕定轴的转动。的

2、平动和绕定轴的转动。 高中物理力学竞赛涉及的主要内容高中物理力学竞赛涉及的主要内容 牛顿运动定律牛顿运动定律 力学中常见的几种力力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。牛顿第一、二、三运动定律。非惯性参照系。非惯性参照系。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力 公式公式 。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 力学力学 物体的平衡物体的平衡 共点力作用下物体的平衡。力矩。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。刚体的平衡。 重心。物体平衡的种类。重心。物体平衡的种类。 动量动量 冲量。动量。动量定理。冲

3、量。动量。动量定理。 动量守恒定律。动量守恒定律。 反冲运动及火箭。反冲运动及火箭。 机械能机械能 功和功率。动能和动能定理。功和功率。动能和动能定理。 重力势能。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和引力势能。质点及均匀球壳壳内和 壳外的引力势能公式。壳外的引力势能公式。 弹簧的弹性势能。弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。碰撞。 力学力学 机械振动机械振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 振动的图象。振动的图象。 参考圆。振动的速度和加速度。参考圆。振动的速度和加速度。 由动力学方程确定简谐振动的频率。由动力

4、学方程确定简谐振动的频率。 阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。 波和声波和声 横波和纵波。波长、频率和波速的关系。横波和纵波。波长、频率和波速的关系。 波的图象。波的图象。 波的干涉和衍射（定性）。波的干涉和衍射（定性）。 声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。 流体静力学流体静力学 静止流体中的压强。静止流体中的压强。 浮力。浮力。 力学力学 物系相关（连接体）的速度求解物系相关（连接体）的速度求解 非惯性系和惯性力的意义非惯性系和惯性力的意义 费马原理、追及和相遇模型费马原理、追及和相遇模型 有关天体运

5、动的处理有关天体运动的处理 关于简谐运动问题关于简谐运动问题 关于质量均匀分布的球壳（球体）内引力计算关于质量均匀分布的球壳（球体）内引力计算 高中物理力学竞赛要点拾零高中物理力学竞赛要点拾零 力学力学 材料材料11质量分别为质量分别为m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三个质点的三个质点a a、b b、c c位位 于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻 绳绳abab和和bcbc连接。其中连接。其中abcabc为为 ，其中，其中 为锐角。为锐角。 今有一冲量今有一冲量i i沿沿bcbc方向作用于质点方向作用于质点c c，求质点，求质

6、点a a开始运开始运 动时的速度。动时的速度。 ab c 话题话题1 物系相关（连接体）速度求解方法物系相关（连接体）速度求解方法 i 力学力学 材料材料22绳子一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为绳子一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为 r r，放在与水平面成，放在与水平面成 角的光滑斜面上，如图所示。当角的光滑斜面上，如图所示。当 绳子变为竖直方向时，圆筒转动角速度为绳子变为竖直方向时，圆筒转动角速度为 （此时绳子未（此时绳子未 松弛），试求此刻圆筒轴松弛），试求此刻圆筒轴o o的速度、圆筒与斜面切点的速度、圆筒与斜面切点c c的的 速度。（全俄中学奥赛试题）速度。（全俄中学奥赛试题）

7、 c o 力学力学 材料材料33直线直线abab以大小为的速度沿垂直于以大小为的速度沿垂直于abab方向向上移动，方向向上移动， 而直线而直线cdcd以大小的速度沿垂直于以大小的速度沿垂直于cdcd的方向向左上方移动，的方向向左上方移动， 两条直线夹角为两条直线夹角为 ，如图。求他们交点，如图。求他们交点p p的速度大小与方的速度大小与方 向。向。 1 v 2 v a b c d p 是否为是否为v1和和v2的矢量合成呢？的矢量合成呢？ 力学力学 （1 1）由杆或绳约束的物系各点速度）由杆或绳约束的物系各点速度 （2 2）接触物系接触点的速度）接触物系接触点的速度 （3 3）相交物系交叉点的速

8、度）相交物系交叉点的速度 同一时刻必须具有相同的沿杆或绳的分速度同一时刻必须具有相同的沿杆或绳的分速度 沿接触物法向的分速度必须相同，沿接触物法向的分速度必须相同， 无相对滑动时，切向分速度也相同无相对滑动时，切向分速度也相同 相交双方沿对方直线方向运动的相交双方沿对方直线方向运动的合运动合运动 力学力学 【例【例1 1】质量分别为质量分别为m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三个质点的三个质点a a、b b、c c位位 于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻 绳绳abab和和bcbc连接。其中连接。其中bcbc为为 ，其中，其中

9、为锐角。为锐角。 今有一冲量今有一冲量i i沿沿bcbc方向作用于质点方向作用于质点c c，求质点，求质点a a开始运开始运 动时的速度。动时的速度。 【分析】【分析】 设质点设质点a a开始运动时运动开始运动时运动 速度为速度为v v，abab绳中的冲量为绳中的冲量为i i2 2, , bcbc 绳中的冲量为绳中的冲量为i i1 1, , 对对a a球，球，i i2 2m m1 1vv 对对b b球，球，i i1 1coscosi i2 2m m2 2vv 对对b b球，球，i i1 1i i2 2coscosm m2 2v v 设质点设质点c c开始运动时运动速度为开始运动时运动速度为v

10、v， 对对c c球，球，i ii i1 1m m3 3v v 2 313212 2 sin)( cosim mmmmmm v 力学力学 【演变【演变】在光滑水平面上有四个等质量小球在光滑水平面上有四个等质量小球a a、b b、c c、d d， 以质量不计、不可伸长的以质量不计、不可伸长的1 1、2 2、3 3三条细线相连。最初，细三条细线相连。最初，细 线刚好张直，如图所示，其中线刚好张直，如图所示，其中abcabcbcdbcd120120。今对。今对 a a球施以一个沿着球施以一个沿着baba方向的瞬时冲量，使方向的瞬时冲量，使a a球获得瞬时速度球获得瞬时速度u u 后，四球同时开始运动，

11、试求开始运动时球后，四球同时开始运动，试求开始运动时球d d的速度。的速度。 设四球开始运动时球设四球开始运动时球d d的速度为的速度为v v, , 则细线则细线3 3中的冲量为中的冲量为mvmv, , 分析分析cdcd整体，细线整体，细线2 2中的冲量为中的冲量为4 4mvmv 设球设球c c球沿着球沿着cbcb方向运动速度为方向运动速度为vv, , 则对则对c c球球,4,4mvmv- -mvmv/2=/2=m vm v, , v=v=7 7v/v/2.2. 设细线设细线1 1中的冲量为中的冲量为i,i,则则 对对bcbc整体整体 对对b b球球 v v 【分析【分析】 vmmv 260c

12、os-icos60 00 mv15i mumv 0 60cos4-i v=u/13. 力学力学 【例【例2 2】一平面内有二根细杆一平面内有二根细杆 和和 ，各自以垂直于自己，各自以垂直于自己 的速度的速度 和和 在该平面内运动，试求交点相对于纸平面在该平面内运动，试求交点相对于纸平面 的速率及交点相对于每根杆的速率。的速率及交点相对于每根杆的速率。 1 l 2 l 1 v 2 v a b 1 v 2 v 力学力学 o a b o o 1 l 2 l / 1 l / 2 l 力学力学 o o 1 l 2 l / 1 l / 2 l o a b 力学力学 o o 1 l 2 l / 1 l /

13、2 l o a b 力学力学 【例【例3 3】图（图（a a）中的）中的acac、bdbd两杆均以角速度两杆均以角速度 绕绕a a、b b 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图所示。当两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图所示。当 t=0t=0时，时， 6060，试求，试求t t时刻两棒交点时刻两棒交点m m点的速度和点的速度和 加速度。加速度。 a ab cd m 图（图（a a） 力学力学 a b m o 图（图（b） m 力学力学 【例【例4 4】合页构件由三个菱形组成。其边长之比为合页构件由三个菱形组成。其边长之比为3 3：2 2： 1 1，顶点，顶点a a3 3以速度以速度v

14、v沿水平方向向右运动，求当构件所有沿水平方向向右运动，求当构件所有 角都为直角时，顶点角都为直角时，顶点b b2 2的速度的速度v vb2 b2是多少？ 是多少？ a3a1a2 v b1 b3 b2 a0 2 a2 2 a1 2 2 2 1b2 v 2 2 v 2 2 vvv）（）（ 653vvv a3a2a1 ： v 6 17 vb2 ）（vva 3 力学力学 （1 1）惯性参照系：牛顿第一定律实际上定义了一种参）惯性参照系：牛顿第一定律实际上定义了一种参 照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将 保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照

15、系就叫做惯保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照系就叫做惯 性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太 阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般 情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间 内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精 确的惯性系。确的惯性系。 （2 2）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系 统称为非惯性参性系，一切

16、相对于惯性参照系做加速运统称为非惯性参性系，一切相对于惯性参照系做加速运 动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时，地动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时，地 球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿 第二定律，但在引入第二定律，但在引入“惯性力惯性力”的概念以后，就可以利的概念以后，就可以利 用用牛顿第二定律的形式牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。来解决动力学问题了。 话题话题2 非惯性系和惯性力的意义非惯性系和惯性力的意义 力学力学 在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿

17、第二定律一致的 动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足 式中式中 是质点受到的真实合力，是质点受到的真实合力， 是质点相对非惯性系的是质点相对非惯性系的 加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力， 不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因 此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体， 不存在与之对应的反作用力不存在与之对应的反作用力 amff 惯 f a

18、 力学力学 平动非惯性系相对于惯性系的加速度为平动非惯性系相对于惯性系的加速度为 。 0 a 0 amf 惯 平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速 度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯 性系速度无关性系速度无关 力学力学 匀速转动系中的惯性力匀速转动系中的惯性力 如图，圆盘以角速度如图，圆盘以角速度 绕竖直轴匀速转动，在圆盘上绕竖直轴匀速转动，在圆盘上 用长为用长为r r的细线把质量为的细线把质量为m m的点系于盘心且质点相对圆盘的点系于盘心且质点相对圆盘 静止，即随盘一起作

19、匀速圆周运动，以惯性系观察，质静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质 点在线拉力点在线拉力 作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二 定律以圆盘为参照系观察，质点受到拉力定律以圆盘为参照系观察，质点受到拉力 作用而保作用而保 持静止，不符合牛顿定律要在这种非惯性系中保持牛持静止，不符合牛顿定律要在这种非惯性系中保持牛 顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下， 引入惯性力引入惯性力 f f 0amff 惯 rmtf 2 惯 力学力学 为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性为转轴向质点所引矢量

20、，与转轴垂直，由于这个惯性 力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力由此得力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力由此得 出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此 质点的真实力与惯性离心力的合力等于零质点的真实力与惯性离心力的合力等于零 惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的 质量有关外，还与质点的位置有关（半径），必须指出的质量有关外，还与质点的位置有关（半径），必须指出的 是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形

21、式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力 是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利 力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的 水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。 例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。 r 力学力学 这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚

22、于左 岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球， 由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情 况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损 较甚。较甚。 力学力学 【例【例5 5】如图所示，与水平面成如图所示，与水平面成角的角的abab棒上有一滑套棒上有一滑套c c ， 可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的a a端相距端相距b b ，相对，相对 棒静止。当棒保持倾角棒静止。当棒保持倾角

23、不变地沿水平面匀加速运动，加不变地沿水平面匀加速运动，加 速度为速度为a a（且（且a agtggtg）时，求滑套）时，求滑套c c从棒的从棒的a a端滑出所经历端滑出所经历 的时间。的时间。 【分析【分析】 这是一个比较特殊的这是一个比较特殊的“连接体问题连接体问题”，寻求运动，寻求运动 学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面，学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面， 只需要隔离滑套只需要隔离滑套c c就行了。就行了。 力学力学 【常规解析【常规解析】定性绘出符合题意的运动过程图，如图所示：定性绘出符合题意的运动过程图，如图所示： s s表示棒的位移，表示棒的位移，s s

24、1 1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直 角坐标后，角坐标后，s s1x 1x表示 表示s s1 1在在x x方向上的分量。不难看出：方向上的分量。不难看出： s s1x 1x + b = s cos + b = s cos 设全程时间为设全程时间为t t ，则有：，则有： 而隔离滑套，受力图如图所示，而隔离滑套，受力图如图所示， 显然：显然：mgsinmgsin= ma= ma1x 1x 解解式即可。式即可。 力学力学 【另解【另解】如果引进动力学在非惯性系中的惯性力，此如果引进动力学在非惯性系中的惯性力，此 题极简单。过程如下：题极简单。过程如下： 以棒为参照

25、，隔离滑套，分析受力，如图所示。以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图所示。 滑套相对棒的加速度滑套相对棒的加速度a a相是沿棒向上的，故动力学方程为：相是沿棒向上的，故动力学方程为： f f* *cos- mgsincos- mgsin= ma= ma相 相 （1 1） 其中其中f f* * = ma = ma （2 2） 而且，以棒为参照，滑套的相对位移而且，以棒为参照，滑套的相对位移s s相就是相就是b b ，即：，即： b = sb = s相 相 = a = a相 相 t t2 2 （3 3） 解（解（1 1）（）（2 2）（）（3 3）式就可以了。）式就可以了。 2 1 力学力学 【例

26、【例6 6】一个质量为一个质量为m m、斜面倾角为、斜面倾角为的劈的劈a a放在水平地面放在水平地面 上，斜面上放上一块质量为上，斜面上放上一块质量为m m的滑块的滑块b b。现将系统由静止。现将系统由静止 释放，求释放后劈释放，求释放后劈a a对物块对物块b b的压力、劈的压力、劈a a相对地面的加速相对地面的加速 度各是多少？（不计一切摩擦）度各是多少？（不计一切摩擦） a a b b 力学力学 sin cos 2 12 aa aaa y x 假设假设m m相对相对m m的加速度为的加速度为a a2 2，方向沿斜面向下。，方向沿斜面向下。 sincos )cos(sin 2 12 manm

27、g aamn 1 sinman 2 1 sin cossin mm mg a 方法方法1 1： m m a a1 1 a a2 2 mgmg n n 地 n n m m： mgmg n n m m： a ax x a ay y 隔离法隔离法 2 sin cos mm mmg n 力学力学 a a b b n n mgmg a aa a n nsinsin= =mamaa a n n 对对a,a, 2 sin cossin mm mg aa 2 sin cos mm mmg n 解之得解之得 a abx bx a aby by n nsinsin= =mamabx bx, , mgmgn nco

28、scos= =mamaby by, , a abx bx a aby by a aa a a aby by = ( (a abx bx+ +a aa a)tan )tan（接触物系法向加速度相等）（接触物系法向加速度相等） 对对b,b, a a、b b加速度关联加速度关联, , 方法方法2 2：牵连加速度牵连加速度 力学力学 a b n n mgmg aa f=maf=maa a n nsinsin= =mamaa a, , n 对对a,a, 以以a a为参照系为参照系, ,对对b b物引入惯性力物引入惯性力f f= =mamaa a （方向向左）（方向向左） ， 在以在以a a的坐标系中，物

29、块的坐标系中，物块b b沿斜面加速沿斜面加速 下滑，垂直斜面方向加速度为零。下滑，垂直斜面方向加速度为零。 （在地面参考系中并非如此）（在地面参考系中并非如此） n nf fsinsin= =mgmgcoscos, , f f= =mamaa a, , 2 sin cossin mm mg aa 2 sin cos mm mmg n 解之得解之得 方法方法3 3：引入惯性力引入惯性力 力学力学 m1 m2 m3 【例【例7 7】如图设如图设 通过滑轮组相通过滑轮组相 连接，所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不连接，所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不 计。求计。求 的加速度和两根绳子的张力。的加速度和两根

30、绳子的张力。 321 mmm、 1 m a b 力学力学 话题话题3 3 费马原理、追及和相遇问题费马原理、追及和相遇问题 力学力学 【例【例8 8】如图所示，如图所示，a a船从港口船从港口p p出发，拦截正以速度出发，拦截正以速度v v1 1 沿沿bcbc方向做匀速直线运动的方向做匀速直线运动的b b船，港口船，港口p p与与b b所在航线的所在航线的 距离为距离为a a，b b与港口与港口p p的距离为的距离为b b（b ba a），），a a船的速度为船的速度为 v v2 2，a a船一启航就可认为是匀速航行。为了使船一启航就可认为是匀速航行。为了使a a到到b b的航的航 线上能与线

31、上能与b b迎上，问：迎上，问： （1 1）a a船应取什么方向？船应取什么方向？ （2 2）需要多长时间才能拦住）需要多长时间才能拦住b b船？船？ （3 3）若其它条件不变，）若其它条件不变，a a船从船从p p开始匀速航行时，开始匀速航行时，a a船船 可以拦截可以拦截b b船的最小航行速度是多少？船的最小航行速度是多少？ 力学力学 【分析【分析】选择选择b b船为参考系，则可认为船为参考系，则可认为a a船一直向着船一直向着b b 船做匀速直线运动，即合成速度沿着船做匀速直线运动，即合成速度沿着abab方向。方向。 【解析【解析】设设a a船对地的速度船对地的速度v v2 2与与aba

32、b的夹角为的夹角为，作出，作出 速度关系矢量图如图速度关系矢量图如图 sinsin 12 vv 2 1 arcsin bv av )180sin(sin 0 32 vv )sin( sin )sin( sin 223 v b v b v b t b v1 v2 v3 b a sin 力学力学 选取选取b b船为参考系，只要船为参考系，只要a a相对于相对于b b的速度方向沿的速度方向沿bpbp指向指向b b， a a船就可以拦截船就可以拦截b b船，如图，船，如图，v vv v1 1v v2 2，在这个矢量三角，在这个矢量三角 形中，要使形中，要使v v2 2最小，最小，v v2 2应与应与v

33、 v垂直，所以垂直，所以 11min2 sinv b a vv p v1 v2 v 【思考】在求【思考】在求a a船从船从p p开始匀速航行，拦开始匀速航行，拦 截截b b船的最小航行速度时，用矢量三角形船的最小航行速度时，用矢量三角形 求解非常方便。即合矢量方向一定，其求解非常方便。即合矢量方向一定，其 中一个分矢量已经确定时，另一个分矢中一个分矢量已经确定时，另一个分矢 量的最小值就是从已知分矢量末端向合量的最小值就是从已知分矢量末端向合 矢量方向引出的垂线为最短。矢量方向引出的垂线为最短。 力学力学 【例【例9 9】有一只狐狸以不变速率有一只狐狸以不变速率v v1 1沿直线逃跑，一猎犬沿

34、直线逃跑，一猎犬 以不变的速率以不变的速率v v2 2追击，其追击方向始终对准狐狸。某追击，其追击方向始终对准狐狸。某 时狐狸在时狐狸在f f处，猎犬在处，猎犬在d d处，处，fdabfdab， 如图所示。如图所示。 假设假设v v2 2 v v1 1，问猎犬追上狐狸还需多长时间，问猎犬追上狐狸还需多长时间? ? fdl 力学力学 按照这种解法，设想把整个系统全部外加速度按照这种解法，设想把整个系统全部外加速度v1的话，的话， 即狐狸又回到了地面参考系中，此时猎犬的速度还是即狐狸又回到了地面参考系中，此时猎犬的速度还是v2， 然后猎犬沿速度然后猎犬沿速度v2所在的直线到达所在的直线到达ab上追

35、及狐狸。而题上追及狐狸。而题 中的要求，猎犬的追击方向始终对着狐狸，此解违反题意。中的要求，猎犬的追击方向始终对着狐狸，此解违反题意。 2 1 2 2 vv l t 力学力学 【解析【解析】由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸，而由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸，而 狐狸又在向狐狸又在向abab方向逃跑，方向逃跑，猎犬猎犬将沿着一条曲线运动。这与将沿着一条曲线运动。这与 沿直线运动追击不同。但稍加考虑，我们可以对猎犬和狐沿直线运动追击不同。但稍加考虑，我们可以对猎犬和狐 狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸，就是相对距离为狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸，就是相对距离为 零。零。 设在

36、追击过程中某一时刻，设在追击过程中某一时刻， d d到达到达dd，f f到达到达ff。连。连0 0、f f， 此刻猎犬在此刻猎犬在dd的速度指向的速度指向ff， 狐狸在狐狸在ff的速度仍指向的速度仍指向b b端。端。 可以很自然地考虑到，此时沿可以很自然地考虑到，此时沿 相对位置方向的相互接近速度相对位置方向的相互接近速度 为：为： 21 cos i vv 力学力学 力学力学 （1） （2） 力学力学 力学力学 【例【例1010】两两相距均为两两相距均为l l的三个质点的三个质点a a、b b、c c， 同时分别以相同的匀速率同时分别以相同的匀速率v v运动，运动过程中运动，运动过程中a a

37、的运动速度方向始终指着当时的运动速度方向始终指着当时b b所在的位置所在的位置、b b 始终指着当时始终指着当时c c所在的位置、所在的位置、c c始终指着当时始终指着当时a a所所 在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？ b c2ac l a1 a2 b1 b2 c1 l2 l1 【解析解析】三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点 的位置分别在正三角形的三个顶点，但这个正三角形的边长不的位置分别在正三角形的三个顶点，但这个正三角形的边长不 断缩小，现把从开始到追上的时间断缩小，现把从开始到追上的时

38、间t t分成分成n n个微小时间间隔个微小时间间隔t t （t t00），在每个微小时间间隔），在每个微小时间间隔t t内，质点运动近似为直内，质点运动近似为直 线运动。于是，第一个线运动。于是，第一个t三者的位置三者的位置a a1 1、b b1 1、c c1 1如图。这样可如图。这样可 依次作出以后每经依次作出以后每经t t，以三个质点为顶点组成的正三角形，以三个质点为顶点组成的正三角形 a a2 2b b2 2c c2 2、a a3 3b b3 3c c3 3、设每个正三角形的边长依次为设每个正三角形的边长依次为l l1 1、l l2 2、l ln n。 显然，当显然，当l ln n00时

39、，三个质点相遇。时，三个质点相遇。 力学力学 解法一：解法一：由前面分析，结合小量近似有：由前面分析，结合小量近似有： . 2 3 60cos 0 111 tvlbbaall . 2 3 2 2 3 12 tvltvll . 2 3 3 2 3 23 tvltvll . 2 3 tvnlln . 2 3 n lltvn 由由t t00，n n，并有，并有n nt t = =t t，l ln n00（三人相遇）。（三人相遇）。 三个质点运动到原正三角形三个质点运动到原正三角形abcabc的中心，需时间为的中心，需时间为 . 3 2 v l tnt b b c c2 2a ac c l l a a

40、1 1 a a2 2 b b1 1 b b2 2 c c1 1 l l2 2 l l1 1 力学力学 解法二：解法二：设设t t时刻三角形边长为时刻三角形边长为x x，经极短时间，经极短时间t t后边长变为后边长变为 xx。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得 .33 60cos)(2)()( 222 022/ 2 tvtxvx tvxtvtvxtvx 在在t t00时，可略去二阶小量时，可略去二阶小量t t 2 2项，因此项，因此 txvxx3 2/ 2 ) 2 3 1 ( 3 13 2/ x tv xt x v xtxvxx . 2 3

41、 / tvxx 这表明等边三角形边长的收缩率为这表明等边三角形边长的收缩率为3 3v v/2/2。 从初始边长从初始边长l l缩短到缩短到0 0需时间为需时间为 v l v l t 3 2 2 3 b b c c2 2a ac c l l a a1 1 a a2 2 b b1 1 b b2 2 c c1 1 l l2 2 l l1 1 力学力学 解法三：解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且 运动过程中运动过程中a a的运动速度方向始终指着当时的运动速度方向始终指着当时b b所在的位置，所所在的位置，所 以此时质点以此时质点a a速度方

42、向与速度方向与aoao连线的夹角恒为连线的夹角恒为3030（o o为中心为中心 点），即点），即a a的运动速度沿的运动速度沿aoao方向的分量方向的分量v vcos30cos30。质点。质点b b、c c也也 是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向 条件如初，所以质点条件如初，所以质点a a、b b、c c 的运动速度在质点与中心的运动速度在质点与中心o o连线连线 方向的分量仍为方向的分量仍为v vcos30cos30，且为定值。最终三质点相遇在，且为定值。最终三质点相遇在o o点，点， 所以每个质点在质点与中心所以每个质点

43、在质点与中心o o的连线方向上运动了的连线方向上运动了 . 3 2 30cos 60sin 3 2 v l v l t b c2ac l a1 a2 b1 b2 c1 l2 l1 o 3 2lsin600 力学力学 解法四：解法四：以以b b为参照系，在两者连线方向上为参照系，在两者连线方向上a a对对b b的相对速率的相对速率 恒为恒为v v+ +v vcos60cos60。最终相遇，相对运动距离为。最终相遇，相对运动距离为l l，所，所 用时间为用时间为 v l v l t 3 2 2 3 b c2ac l a1 a2 b1 b2 c1 l2 l1 力学力学 演变演变1 1：如四个质点从正

44、方形顶点出发，已知正方形边长为如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为 l l，结果如何？，结果如何？ （答案：（答案：t t= =l/vl/v） 演变演变2 2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规 定为：开始时五人分别从正五边形定为：开始时五人分别从正五边形abcdeabcde的五个顶点出发，以的五个顶点出发，以 相同速率相同速率v v运动，如图所示。运动中运动，如图所示。运动中a a始终朝着始终朝着c c，c c始终朝着始终朝着e e， e e始终朝着始终朝着b b，b b始终朝着始终朝着d d，d d始终朝着始终朝着a a，问

45、经过多长时间五，问经过多长时间五 人相聚？（已知圆半径为人相聚？（已知圆半径为r r） a a b b c cd d e e （答案：（答案：t t=1.05=1.05r/vr/v） 力学力学 【例【例1111】在非洲有一种竞速运动，从某一点出发奔向在非洲有一种竞速运动，从某一点出发奔向 同一个目的地。途中要经历两块不同的场地，一块是同一个目的地。途中要经历两块不同的场地，一块是 沼泽地，另一块是普通陆地。已知某运动员在普通陆沼泽地，另一块是普通陆地。已知某运动员在普通陆 地上奔跑速度为地上奔跑速度为4m/s4m/s，在沼泽地上奔跑速度为，在沼泽地上奔跑速度为3m/s3m/s， 要求从要求从a

46、 a点跑到沼泽地中点跑到沼泽地中b b点时间最短，请你为他设计点时间最短，请你为他设计 一条合理的路线。一条合理的路线。 陆地陆地 沼泽地沼泽地 a b 30m 40m 70m 1 3 2 沼泽 陆地 v v sin sin 力学力学 费马原理费马原理 光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最 短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数 学家费马于学家费马于16571657年首先提出。年首先提出。 沼泽 陆地 陆地 沼泽 v v n n sin sin 力学力学 【演变【演变】游泳池游

47、泳池abcdabcd长长50m,50m,宽宽34.6m34.6m，某运动员在水中游，某运动员在水中游 速为速为3m/s3m/s，在岸边奔跑速度为，在岸边奔跑速度为6m/s6m/s。现从游泳池正中央。现从游泳池正中央 的的p p点出发，设法到达岸边的点出发，设法到达岸边的b b点，要求时间最短该如何点，要求时间最短该如何 选择路线？选择路线？ p a b c d 2 1 6 3 sin 力学力学 【例【例1212】设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫, ,它想回洞已它想回洞已 来不及来不及, ,只好跳入湖中企图逃走只好跳入湖中企图逃走. .已知猫在岸上跑的速已知猫在岸上跑的速

48、 率是鼠在湖中游的速度的率是鼠在湖中游的速度的4 4倍倍, ,湖边周围有很多鼠洞湖边周围有很多鼠洞. .问问 老鼠能否逃脱猫的捕抓老鼠能否逃脱猫的捕抓. . 【分析【分析】鼠、猫分别用鼠、猫分别用s s、m m代表代表. .如图所如图所 示示, ,a a、b b、c c是鼠逃命的三个方案是鼠逃命的三个方案, ,a a/ /、b b/ /、 c c/ /是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪 方案方案, ,由由v v猫 猫=4 =4v v鼠 鼠, ,及圆中弦与弧的关系 及圆中弦与弧的关系, ,易易 知老鼠到达上岸点时知老鼠到达上岸点时, , 猫已在那里恭候多猫已在那

49、里恭候多 时了时了. .说明上述三个方案都不能使老鼠逃说明上述三个方案都不能使老鼠逃 脱厄运脱厄运. .但实际上只要老鼠想点办法是可但实际上只要老鼠想点办法是可 以逃脱的以逃脱的. .方法是老鼠可以先在湖内绕湖方法是老鼠可以先在湖内绕湖 心转圈心转圈, ,一旦老鼠、湖心、猫三点连成一一旦老鼠、湖心、猫三点连成一 条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱 逃逃. . 力学力学 设圆湖半径为设圆湖半径为r r, ,作作r r/4/4同心圆同心圆k k, ,如果这样来构造老如果这样来构造老 鼠的运动过程鼠的运动过程: : 鼠下水后沿半径方向向湖心游去鼠下水后沿半径方向

50、向湖心游去, ,到到 达达r r/4/4圆圆k k内内, ,然后转圈游然后转圈游, , 老鼠可以游到和猫不在同老鼠可以游到和猫不在同 一半径而在同一直径的圆一半径而在同一直径的圆k k的边界点的边界点p p的位置上去的位置上去, ,然然 后沿此直径游向湖岸后沿此直径游向湖岸, ,即可逃命即可逃命. . 力学力学 话题话题4 4 有关万有引力与天体运动有关万有引力与天体运动 力学力学 1 1、天体运动中机械能守恒、天体运动中机械能守恒 天体运动中的机械能天体运动中的机械能e e为系统的引力势能与各天体的动为系统的引力势能与各天体的动 能之和。仅有一个天体在运动时，则能之和。仅有一个天体在运动时，

51、则e e为系统的引力势为系统的引力势 能与其动能之和。由于没有其他能与其动能之和。由于没有其他 外力作用，系统内万有引力属于外力作用，系统内万有引力属于 保守力，故机械能守恒，保守力，故机械能守恒，e e为恒为恒 量，如图所示，设量，如图所示，设m m天体不动，天体不动， m m天体绕天体绕m m天体转动，则由机械动天体转动，则由机械动 能守恒，有能守恒，有 m 1 r 2 r 1 v 2 v 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 mv r gmm mv r gmm e 力学力学 力学力学 m 1 r 2 r 1 v 2 v 力学力学 2 2、天体运动的轨道、天体运动的轨道 若若m m天体固

52、定，天体固定，m m天体在万有引力作用下运动，其天体在万有引力作用下运动，其 圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲 线。线。 i i）椭圆轨道）椭圆轨道 如图所示，设椭圆轨道方程为如图所示，设椭圆轨道方程为 m o ax 1 v a 2 v y b b )0 ,( 1 2 2 2 2 b y a x 力学力学 力学力学 ii)ii)抛物线抛物线 2 axy m 1 r 2 r 1 v 2 v 力学力学 iii iii）双曲线）双曲线 1 2 2 2 2 b y a x c d fo a b c x y )0 ,(c 力学力学 力学力学 小结小结

53、力学力学 【例【例1313】质量为质量为m m的宇宙飞船绕地球中心的宇宙飞船绕地球中心0 0作圆周运动，已作圆周运动，已 知地球半径为知地球半径为r r，飞船轨道半径为，飞船轨道半径为2r2r。现要将飞船转移到另。现要将飞船转移到另 一个半径为一个半径为4r4r的新轨道上，如图所示，求的新轨道上，如图所示，求 （1 1）转移所需的最少能量；）转移所需的最少能量； （2 2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的acbacb 所示，则飞船在两条轨道的交接处所示，则飞船在两条轨道的交接处a a和和b b的速度变化各为多的速度变化各为多 少？少？ r

54、r2 r4 ab c o 图4-10-4 力学力学 力学力学 力学力学 力学力学 力学力学 【例【例1414】 力学力学 4-4 力学力学 力学力学 力学力学 力学力学 力学力学 【例【例1515】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射， 返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计，试估算返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计，试估算 火箭飞行时间。地球半径取火箭飞行时间。地球半径取r=6400mr=6400m。 r o 【分析【分析】火箭向上发射又落回地火箭向上发射又落回地 面，它在地心力作用下的运动轨面，它在地心力作用下的运动轨 道是一个椭圆的一部分。其

55、中地道是一个椭圆的一部分。其中地 心为焦点，最高处为远地点。由心为焦点，最高处为远地点。由 于返回点和发射点很近，说明这于返回点和发射点很近，说明这 个椭圆很个椭圆很“扁扁”。其焦点即地心。其焦点即地心 离轨道近地点很近。则可以认为离轨道近地点很近。则可以认为 o o、p p两点为椭圆长轴的两个端点。两点为椭圆长轴的两个端点。 p 力学力学 设椭圆长轴为设椭圆长轴为r r，根据机械能守恒（，根据机械能守恒（ ） )(0)( 2 1 2 1 r gmm r gmm mv gr 1 v rr2 再设火箭在长轴为再设火箭在长轴为2r2r的扁椭圆轨道运动周期为的扁椭圆轨道运动周期为t t0 0, ,椭

56、圆椭圆 面积为面积为s s0 0而在空中运动时间为而在空中运动时间为t t t s t s 0 0 其中，其中， s0是椭圆轨道面积，是椭圆轨道面积， s s是火箭飞行时间是火箭飞行时间t t内，矢径内，矢径 扫过的阴影部分面积。扫过的阴影部分面积。 力学力学 t brb2 2 1 r 2 1 t rb 0 0 2 2 tt 由开普勒第三定律，该半长轴与近地轨道半径相同，故周由开普勒第三定律，该半长轴与近地轨道半径相同，故周 期也相同。期也相同。 g r rg r t 2 2 0 stt4110 2 2 0 力学力学 话题话题5 5 质量均匀球壳（体）内的引力质量均匀球壳（体）内的引力 力学力

57、学 32 3 3 r gmmr r mmg f r r m v m vm 兰色部分：不贡献引力兰色部分：不贡献引力 红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个 质点质点m m（m m是红色部分的总质量）是红色部分的总质量） 质量均匀球壳（体）内的引力质量均匀球壳（体）内的引力 m m r r r r m m rr r gmmr rr r gmm f )( )( 3 2 o o r r f f r r 对处于球体内部的质点对处于球体内部的质点m m而言而言 力学力学 【例【例1616】一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力一质量分布均匀的球壳对球壳内任一

58、质点的万有引力 为零。为零。 a a r r1 1 r r2 2 s s 2 2 s s 1 1 【解析解析】设想在球壳内任一点设想在球壳内任一点a a处置一质量为处置一质量为m m的的 质点，在球面上取一极小的面元质点，在球面上取一极小的面元s s1 1， ，以 以r r1 1表示表示 s s1 1与与a a点的距离。设此均匀球面每单位面积的点的距离。设此均匀球面每单位面积的 质量为质量为，则面元，则面元s s1 1的质量的质量m m1 1= = s s1 1，它，它 对对a a点的吸引力为点的吸引力为 2 1 1 2 1 1 1 r smg r mgm f 又设想将又设想将s s1 1边界

59、上各点与边界上各点与a a点的连线延长分别与点的连线延长分别与s s1 1对面的对面的 球壳相交而围成面元球壳相交而围成面元s s2 2，设，设a a与与s s2 2的距离为的距离为r r2 2，由于，由于s s1 1 和和s s2 2都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然它们都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然它们 是相似图形，因而面元面积比例关系为是相似图形，因而面元面积比例关系为 . . 2 2 2 1 2 1 r r s s 面元面元s s2 2对对a a处质点的吸引力为处质点的吸引力为 2 2 2 2 2 2 2 r smg r mgm f f f1 1= = f f2 2

60、. . 力学力学 【例【例1717】假设地球半径为假设地球半径为r r，质量分布均匀，一隧道沿某条直，质量分布均匀，一隧道沿某条直 径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m m的小球，的小球， 求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。 o o r r m m 设质点设质点m m位于位于r r处，它受到的引力处，它受到的引力 r r mm g r mm r r gf 32 3 3 小球做简谐运动。小球做简谐运动。 f f是小球受到的回复力，是小球受到的回复力，r r为小球离开为小球离开 平衡