高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、第二节第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础梳理基础梳理 1. 同角三角函数基本关系式 （1）平方关系： ; (2)商数关系： 即同一个角的正弦、余弦的 等于1， 等于角的正切. 2. 商数关系 成立的角的取值范围是 tan cos sin cos sin tan .zk, 2 k| 平方和 商 sin2+cos2=1 3. 诱导公式 (1)公式一 sin(+k2)= sin , cos(+k2)= cos , tan(+k2)= tan , 其中kz. (2)公式二 sin(-)= -sin , cos(-)= cos , tan(-)= -tan .

2、 (3)公式三 sin(-)= sin , cos(-)= -cos , tan(-)= -tan . (4)公式四 sin(+)= -sin , cos(+)= -cos , tan(+)= tan . (5)公式五 sin- 2 cos ,cos- 2 sin (6)公式六 sin- 2 cos ,cos- 2 sin 即+k2(kz),-,的三角函数值，等于的 函数值，前面 加上一个把看成 时原函数值的符号； 的正弦（余弦） 函数值，分别等于的 函数值，前面加上一个把看成 锐角时原函数值的符号. 2 4. 必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知 角”. 角0304560

3、90120150180270 角的 弧度数 0 sin 010-1 cos 10-10 tan 01不存在0不存在 6 4 2 3 2 6 5 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3 33 3 3 同名 锐角 余弦（正弦） 题型一题型一 三角函数式的求值三角函数式的求值 【例1】已知 分析 由cos 求sin ,可利用公式sin2+cos2=1,同时要注意象限的划分. 典例分析典例分析 ._tan,_sin, 17 8 -cos则 解 0,是第二或第三象限角. 若是第二象限角，则sin 0,tan 0, 若是第三象限角，则sin 0,

4、tan 0, 17 8 -cos ; 8 15 - cos sin tan 17 15 ) 17 8 (-1 cos-1sin 22 学后反思 (1)掌握常用的勾股数组：“3,4,5”;“5,12,13”;“8,15,17”. (2)要根据问题的需要对公式sin2+cos2=1进行变形及1的代换，即 sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2. (3)根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(可简称为 “知一求二”)时,要注意由于这个角所在象限的情况不同,从而可能出现 一组或两组结果:如果已知三者之中其一的具体值且角所在的象限也 已指定,那么只有一组结果;

5、如果已知三者之中其一的具体值但未指定 角所在的象限,那么要按角所在的象限进行讨论,这时一般有两组结果. 举一反三举一反三 1. 已知sin(-)-cos(+)= ,求下列各式的值： （1）sin -cos ; (2) . 2 32 33 22 sincos 解析: 由sin(-)-cos(+)= , 得sin+cos= . 将两边平方，得1+2sincos= ,2sincos=- . 又 , sin0,cos0. (1) =1-2sincos= , sin-cos= . (2) 2 3 2 3 2 9 7 9 2 2 sincos 716 1 99 4 3 3333 22 22 cossinc

6、ossin 4722 1 31827 sincoscossin cossin 题型二题型二 三角函数式的化简三角函数式的化简 【例2】化简： 分析 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注 意诱导公式的合理选用. )-)sin(-cos(- ) 2 3 )sin(-)cos(2-tan( 解 方法一： -1. sin cos cos sin - sin costan- sincos- )(-coscostan- sin)(-cos )- 2 sin()-cos()(-tan )sin()cos( )- 2 sin()-(cos)(-tan 原式 方法二： 1 cos cos cos

7、tan sincos- ) 2 sin(costan )-sin()-cos( ) 2 -sin(-)cos(-tan- 原式 学后反思 当角中含有 , ,2加减某个角时，要考虑用诱导公 式进行化简. （1）诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了. （2）2-可以化为+(-),也可以化为2+(-),-可以化为- (+),也可以化为-2+(-). 2 2 3 举一反三举一反三 2. 化简 32 2 2sin3 2 22cos 2cossin cos 题型三题型三 三角函数恒等变形中的分类讨论思想三角函数恒等变形中的分类讨论思想 【例3】 化简： 分析 化简时注意观察题设中的角出现了k

8、,需讨论k是奇数还是偶数. z).(k )cos(k1)-sin(k -1)-)cos(k- sin(k 解析： 原式 32 2 32 2 32 2 2 2 2 2 cos3 22cos cos2 cos2 2cos cos2 2 cos1cos1coscos1 cos2 cos12cos2cos cos2 cos1 2cossin cos 2coscos 2cos 2coscos 2cos cos 2cos 2cos 2cos 解 当k=2n(nz)时， 当k=2n+1(nz)时， 综上，原式=-1. -1; )cossin( )-cos(-)sin(- )cos(2n1)sin(2n -1

9、)-)cos(2n-sin(2n 原式 1 )cos(sin )cos-sin( 1)cos(2n1)1sin(2n -1)-1cos(2n-1)sin(2n 原式 学后反思 对角中含有k的三角函数化简时，要对k分为偶数和奇数 进行讨论：k为偶数时，参照2进行化简;k为奇数时，去掉偶数倍 的后，参照进行化简. 3. 求证： ,kz. 举一反三举一反三 sincos 1 sin1cos1 kk kk 证明： 若k是偶数，即k=2n(nz)，则 左边= ; 若k是奇数，即k=2n+1(nz)，则 左边= . 原式成立. sin 2cos 2sincos 1 sincossin 2cos 2 nn

10、nn sin 2cos 2sincos 1 sincossin 21cos 21 nn nn 题型四题型四 三角函数公式在解三角形中的应用三角函数公式在解三角形中的应用 【例4】(14分) 在abc中，若 求abc的三个内角. 分析 由诱导公式可化简得sin a= sin b, cos a= cos b,进而 由sin2a+cos2a=1可求出角a，进一步即可求出角b和角c. 322 解 由已知得 sin a= sin b, cos a= cos b，2 两式平方相加,得 ，6 10 322 2 2 a cos1,a2cos2 4 a , 2 2 a cosba 2 3 -b cos, 2 2

11、 -a cos 均为钝角不可能，此时则若 sin(2 - )- 2sin( -b), 3cos a- 2cos( -b),a 12 7 b)(a-c 6 b 2 3 a cos 2 3 b cos 学后反思 在abc中， a+b+c=,2a+2b+2c=2, sin(a+b)=sin(-c)=sin c, cos(a+b)=cos(-c)=-cos c, tan(a+b)=tan(-c)=-tan c. 以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用. 2 2 c 2 b 2 a 举一反三举一反三 4. 在锐角三角形abc中，求证： sin a+sin b+sin ccos a+cos

12、 b+cos c. 12 14 证明 :abc是锐角三角形， a+b ,即 a -b0, sin asin( -b),即sin acos b;同理sin bcos c, sin ccos a,sin a+sin b+sin ccos a+cos b+cos c. 2 2 2 2 易错警示易错警示 【例】(2008曲阜月考)已知直线l的倾斜角是，且 ,则直线l 的斜率k=_ 13 5 sin 错解 因为直线l的倾斜角是,所以0,),又因为 ,sin2+cos2=1, 所以 .于是l的斜率 13 5 sin 13 12 ) 13 5 ( -1sin-1cos 22 12 5 cos sin k 错

13、解分析 在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范 围，不注意对进行分类讨论，而只得到 的错误结果. 因此在解决此类问题中，一定要养成全面考虑、分析问题的习 惯. 正解 因为直线l的倾斜角是，所以0,),又因为 sin = ,sin2+cos2=1,所以 于是l的斜率 12 5 k 13 12 cos sin k 13 5 , 13 12 ) 13 5 (-1cos 2 考点演练考点演练 10. 已知sin(3+)= ,求 的值. 1 3 coscos2 33coscos1 sincossin 22 解析: sin(3+)= ,sin =- , 原式 1 3 1 3 2 coscos cos

14、cos1coscoscos 112 18 1 cos1 cos sin 11. (2009扬州模拟)已知sin +cos = ,(0,),求tan 的值. 解析： 方法一：sin +cos = ,两边平方,得 (sin +cos )2=1+2sin cos = 2sin cos = 又(0,),sin 0,又sin cos 0,cos 0, ,且sin -cos 0, 5 1 5 1 25 1 25 24 , 2 由解得sin = ,cos = ,tan =sin cos = 5 1 cossin 5 7 25 24 1cos2sin-1cos-sin 3 4 5 4 5 3 方法二：联立方程

15、, 由得cos = -sin ,代入,得 整理,得25sin2-5sin -12=0,解得sin = 或sin = (0,),sin 0,sin = 1cos2sin2 5 1 cossin 5 1 1,)sin- 5 1 (sin 22 5 3 5 4 5 4 3 4 -tan, 5 3 - 5 4 - 5 1 cos 12 . 在abc中，角a,b,c的对边分别为a，b，c，tan c= (1)求cos c; (2)若cbca= ,且a+b=9,求c. 73 2 5 解析：(1)tan c= , 又sin2c+cos2c=1,cos c= tan c0,c是锐角,cos c= (2)cbc

16、a= abcos c= ab=20. 又a+b=9, a2+2ab+b2=81,a2+b2=41, c2=a2+b2-2abcos c=36,c=6. 2 5 2 5 7 3 c cos csin 7 3 8 1 8 1 第六节第六节 几个三角恒等式几个三角恒等式 基础梳理基础梳理 1. 两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos +sin sin ;两角和的余弦 公式为cos(+)=cos cos -sin sin ;两角差的正弦公式为sin(- )=sin cos -cos sin ;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos +cos sin .上述公式对任意的、都成立. 2.

17、 公式t(-)是 ,公式t (+) 是 ，它们成立的条件是 tantan1 tan-tan )-tan( tantan-1 tantan )tan( zk 2 k, 2 k, 2 k 3. 二倍角公式 在s (+)中，令 =,可得到sin 2= 2sin cos ,简记为s2. 在c (+)中，令 =,可得到cos 2= cos2-sin2,简记为c2. 在t (+)中，令 =,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为t2. 4. 在c2中考虑sin2+cos2=1可将c2变形为cos 2=cos2-sin2= 2cos2-1 = 1-2sin2，它简记为c2. 5. 半角公式 在c2

18、中,用 代替得 ,将 公式变形可得 2 1 2 2sin-11- 2 2coscos 22 . 2 cos1 s; 2 cos1 c 22 的推导方法是 与 两式相除，其公式为 2 t 2 c 2 s sin cos-1 cos1 sin cos1 cos-1 2 tan 6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式： 1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式： cos1 cos-1 2 tan2 ; 2 2 cos-1 sin2; 2 cos21 cos2 7. 派生公式 (1)(sin cos )2= 1sin 2; (2)1+cos = (3)1-

19、cos = (4)tan +tan = tan(+)(1-tan tan ); 2 2cos2 2 2sin 2 典例分析典例分析 题型一题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题三者之间的转换问题 【例1】 已知- x0,sin x+cos x= 求sin x-cos x的值. 分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可. 2 5 1 解 方法一：由sin x+cos x= 平方,得 sin2x+2sin xcos x+cos2x= ,即2sin xcos

20、x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 又- x0, sin x0,cos x0,sin x-cos x0, sin x-cos x= 5 1 25 24 25 1 25 49 2 5 7 - 方法二：联立方程 sin x+cos x= , sin2x+cos2x=1. 由得sin x= -cos x,将其代入,整理,得 25cos2x-5cos x-12=0, 学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为 (sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三 者知其一，可求其二，

21、但须注意角x的范围对结果的影响. 5 1 5 1 . 5 4 xcos, 5 3 - xcos 5 7 - xcos-sin x 5 4 xcos , 5 3 -sin x 0,x 2 - 即 举一反三举一反三 1. （2009梅州月考）已知 ,求sin 及 解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式,得 即sin -cos = . 由题设条件，应用二倍角余弦公式,得 25 7 2 cos, 10 27 ) 4 -sin( 3 tan ),cos-(sin 2 2 ) 4 -sin( 10 27 5 7 ),sin(cos 5 7 - )sin)(cossin-(cossin-coscos2 5

22、 27 22 故cos +sin = . 由和得sin = ,cos =- , 因此tan =- ,由两角和的正切公式,得 5 1 - 5 3 5 4 4 3 . 11 325-48 334 3-34 4 33 1 4 3 -3 tan3-1 3tan 3 tan 题型二题型二 三角函数公式的灵活应用三角函数公式的灵活应用 【例2】化简下列各式. . 28 2cos18sin (2)2 40)sin 3-10(1)(tan 分析 （1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式; （2）注意1sin ,1cos 形式的转化. 解 (1) -1. 80sin 80sin - 10 cos 40 cos

23、402sin - 10 cos 40sin 502sin - 10 cos 40sin )60sin 10 cos-60 cos102(sin 40sin 10 cos 10 cos3-10sin 原式 (2) , 2 3 4 . |4 cos|2|4 cos4sin |2 44cos4 4cossin 2 2 原式 sin 4+cos 40,cos 40, 原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4. 学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对 于一些固定形式套用相应的公式. 举一反三举一反三 2. 化简（cos +sin ）（ cos

24、 -sin ）（ 1+tantan ）. 2 2 2 2 2 解析： 原式=cos（1+tan tan ）=cos +sin tan =cos +2sin cos =cos + =cos +1-cos =1. 2 2 sin 2 cos 2 2 2 2sin 2 2 题型三题型三 三角恒等变换中角的拆、拼三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】已知 且 分析 抓住条件中的角“ ”、“ ”与结论中的角 的关系： , 3 2 )- 2 sin(, 9 1 -) 2 -cos( 2 cos, 2 , 2 求 - 22 - 2 2 )- 2 (2- ) 2 -( 解 . 27 57 3 2 9 54 3 5

25、 9 1 - )- 2 (sin) 2 -sin()- 2 (cos) 2 -cos( )- 2 () 2 -(cos 2 cos 3 5 )- 2 sin(-1)- 2 cos( 9 54 ) 2 -cos(-1) 2 -sin( 2 - 24 ,- 2 - 4 42 ,0 224 , 2 ,0 2 2 2 学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如： ).- 2 ( - ) 2 -( 2 )( , )()( 2 1 ),-( - )( 举一反三举一反三 3. 已知 ,且02. (1)求 的值； (2)求. 14 13 )-cos(, 7 1 cos tan2 解析 . 47 38 - )3(4

26、-1 342 tan-1 2tan tan2 , 34 7 7 34 cos sin tan , 7 34 7 1 -1cos-1sin , 2 ,0 7 1 (1)cos 2 2 22 ）（ 得 (2)由0 ,得0- ,cos(-)= 由=-(-),得 cos =cos -(-) =cos cos(-)+sin sin(-) 2 14 13 2 , 14 33 14 13 -1)-(cos-1)-sin( 22 ）（ 3 , 2 0 2 1 14 33 7 34 14 13 7 1 题型四题型四 三角恒等式证明三角恒等式证明 【例4】(14分)已知tan(+)=2tan . 求证 ：3sin

27、 =sin(+2). 分析 观察条件与结论间的差异可知: (1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同. (2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系 为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同. 证明 由已知tan(+)=2tan ,可得 sin(+)cos =2cos(+)sin 4 而sin(+2)=sin (+)+ =sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,.8 cos 2sin )cos( )sin( 又sin =sin (+)- =sin(+)cos -cos(+)sin =

28、2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin .12 故sin(+2)=3sin 14 学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利 用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明， 实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更 论证. 举一反三举一反三 4. 已知a、b为锐角，求证： 的充要条件是 （1+tan a）(1+tan b)=2. 4 ba 证明：（充分性）(1+tan a)(1+tan b)=2, 1+(tan a+tan b)+tan atan b=2,且tan atan b1, tan(a+b)（1-

29、tan atan b）=1-tan atan b, tan(a+b)=1. 0a ,0b ,0a+b,a+b= (必要性)a+b= ,tan(a+b)=tan ， 即 ,整理得（1+tan a）(1+tan b)=2. 综上，若a、b为锐角，则a+b= 的充要条件是(1+tan a)（1+tan b）=2. 4 2 2 4 4 1 batan tan -1 btan atan 4 易错警示易错警示 【例例】若sin = ,sin = ,且、为锐角，求+的值. 5 5 10 10 错解 因为为锐角, 所以cos = . 又因为为锐角，所以cos = , 且sin(+)=sin cos +cos sin = . 由于090,090,则0+180, 所以+=45或135 22 5 1 5 sin 23 10 1 10 sin 2 2 错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)= ,0+ 180,而得到+=45或135是正确的，但题设中 sin = 12,sin = .使得0+60,故上 述结论是错误的. 实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制 而致错.我们若取+的余弦则易求得cos(+)= ,又由于0 +,故+= .这样就避免了上述角的范围的探求.因 此在求角时一定要结合条件选择角的合适的