怎样利用割补法解立体几何中的问题

1、 执教：执教：李雪峰李雪峰 华东师范大学附属东昌中学 1、用割补法求体积、用割补法求体积 2、用补形法求二面角、用补形法求二面角 3、用补形法求异面直线所成角、用补形法求异面直线所成角 二、用割补法解决立体几何中的几类问题二、用割补法解决立体几何中的几类问题 一、引言一、引言 b c a d e f 如图：如图：abc中，中，ab=8、bc=10、ac=6，db平面平面abc， 且且aefcbd，bd=3，fc=4，ae=5。 求：此几何体的体积？求：此几何体的体积？ 用用“补形法补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。把原几何体补成一个直三棱柱。 b c a d e f 分析：分析： v几何 几

2、何体体= v三棱柱三棱柱 2 1 bc a d e f m n 用用“分割法分割法”把原几何体分割成一个把原几何体分割成一个直三棱柱直三棱柱 和一个和一个四棱锥四棱锥。 如图：取如图：取 cm=an=bd , 连结连结 dm , mn , dn。 分析：分析： v几何体 几何体=v三棱柱三棱柱+v四棱锥四棱锥 如图：如图：abc中，中，ab=8、bc=10、ac=6，db平面平面abc， 且且aefcbd，bd=3，fc=4，ae=5。 求：此几何体的体积？求：此几何体的体积？ 例例1. 如图如图: 斜三棱柱的一个侧面斜三棱柱的一个侧面 abb1a1的面积为的面积为 s， 侧棱侧棱 cc1 到

3、这个侧面的距离为到这个侧面的距离为 h 。 求：斜三棱柱的体积。求：斜三棱柱的体积。 c1 b1 a1 a b c o 如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体） 则则 v四棱柱 四棱柱 sh v三棱柱 三棱柱 sh 2 1 b1 c1 a1 ab c o a d1 c d a1 b c1 b1 例例2.如图：在棱长为如图：在棱长为 a 的正方体的正方体abcd-a1b1c1d1中取中取 点点a1、c1、b、d，依次连结成一个多面体，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积。求：此多面体的体积。 a3 3 2 2 )a2 3 3 ()a2(h

4、 2 解一：解一： 3 2 a 3 1 a3 3 2 )a2( 4 3 3 1 hs 3 1 v 正四面体 a1 b d c1 0 e 正方体的棱长为正方体的棱长为 a ，此多面体为正四面体，其棱长为，此多面体为正四面体，其棱长为2 a 例例2.如图：在棱长为如图：在棱长为 a 的正方体的正方体abcd-a1b1c1d1中取中取 点点a1、c1、b、d，依次连结成一个多面体，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积。求：此多面体的体积。 三棱锥正方体正四面体v4vv 33 a 6 1 4a 3 a 3 1 解二：用分割法解二：用分割法 a d1 c d a1 b c1 b1 例例3. 如图：

5、已知在正方体如图：已知在正方体 abcda1b1c1d1 中中,棱长为棱长为 a , m、n 分别为分别为 cc1 、 aa1的中点的中点, 求：四棱锥求：四棱锥 amb1nd 的体积的体积 va dmn=vm adn 底面积：底面积： 4 a 2 a a 2 1 s 2 adn 高：为点高：为点 m 到平面到平面 adn的距离的距离h=a v四棱锥=2va dmn= 3 a 6 1 3 2 a 12 1 a 4 a 3 1 va dmn 解解(简简): a d1 c d a1 b c1 b1 m n a d1 c d a1 b c1 b1 n m 例例4. 过正方形过正方形 abcd 的顶点

6、的顶点 a 作线段作线段 pa平面平面abcd， 如果如果ab=pa。 求：平面求：平面 abp 与平面与平面 cdp 所成的二面角的大小。所成的二面角的大小。 p d a c b a c d b p b1 如图所示、将左图补成一个正方体。如图所示、将左图补成一个正方体。 平面平面 abp 即为平面即为平面 abb1p 所在平面所在平面 平面平面 pdc 即为平面即为平面 pdcb1 所在平面所在平面 所求二面角即为正方体的所求二面角即为正方体的对角面对角面 pdcb1与与侧面侧面 abb1p所成角所成角 即：即：cb1b= 4 解：解： 例例5. 如图：在直三棱柱如图：在直三棱柱 abca1

7、b1c1中，中，acb=90。 。， ， bc=5，ac=9，cc1=12 求：求：cb1与与 ac1所成的角的大小所成的角的大小 a b c a1 c1 b1 a2 b2 c2 如图如图,补一个相同的直三棱柱补一个相同的直三棱柱, 连结连结c1b2，ab2，则，则cb1c1b2 ac1b2（或其补角）就是（或其补角）就是 ac1和和 cb1所成的角。所成的角。 在在ac1b2中，有余弦定理得：中，有余弦定理得： 0 65 48 bcac2 abbcac baccos 211 2 2 2 21 2 1 21 ac1和和b1c所成的角为所成的角为ac1b2的补角。的补角。 其值为：其值为： 65

8、 48 arccos 可得：可得：ac1=15，c1b2=13，ab2=682 1、在四面体、在四面体 abcd 中，中，ab=ac=db=dc=10，bc=ad=12， 求：四面体求：四面体 abcd 的体积。的体积。 2、如图：正四棱锥的底面边长为、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，侧棱长为3。 求：侧面求：侧面 pab 与与 pcd 所成的二面角的大小。所成的二面角的大小。 3、如图：在正方体、如图：在正方体 ac1 中，中，e 为为 b1c1 的中点，的中点， 求：异面直线求：异面直线 a1c 和和 be 所成的角的大小。所成的角的大小。 a d1 c d a1 b c1 b1

9、e d b a c p a b cd 练习：练习： （第（第1题）题）（第（第3题）题）（第（第2题）题） 1、在四面体、在四面体 abcd 中，中，ab=ac=db=dc=10， bc=ad=12， 求：四面体求：四面体 abcd 的体积。的体积。 取取 bc 的中点的中点 e， 则则 aebc，debc。 ecs 3 1 bes 3 1 adeade 748 a b cd e v四面体四面体 = vbade + vcade bcs 3 1 ade 2、如图：正四棱锥的底面边长为、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为，侧棱长为 3。 求：侧面求：侧面 pab 与与 pcd 所成的二面角。

10、所成的二面角。 d b a c p a c d b p m n d1 a1 b1c1 3、如图：在正方体、如图：在正方体 ac1 中，中，e 为为 b1c1 的中点，的中点， 求：异面直线求：异面直线 a1c 和和 be 所成的角。所成的角。 如图，补一个如图，补一个正方体正方体，取，取 c1f 的中点的中点 e1， ，则 则 bece1 a1ce1（或其补角）为（或其补角）为 a1c与与 be 所成的角。所成的角。 在在a1ce1中，有余弦定理得：中，有余弦定理得： 0 15 15 cace2 eacace ceacos 11 2 11 2 1 2 1 11 a1c和和 be 所成的角即为所

11、成的角即为a1ce1，其值为，其值为 15 15 arccos a d1 c d a1 b c1 b1 fe a3ca1a 2 5 ce1 a 2 13 ea 11可得：可得： e1 解解: 复杂的几何体都是由简单几何体复杂的几何体都是由简单几何体 组成，在求体积时，注意利用组成，在求体积时，注意利用分割分割的的 思想。另外，应注意改变对几何体的思想。另外，应注意改变对几何体的 观察角度，以得到观察角度，以得到最佳求积法最佳求积法。 在立体几何中利用在立体几何中利用补形的方法补形的方法可以既可以既 简单又巧妙地解决很多问题。简单又巧妙地解决很多问题。 割补法是重要的数学方法之一。割补法是重要的

12、数学方法之一。 小结小结 注意！注意！ a d1 c d a1 b c1 b1 n m 例例3. 如图：已知在正方体如图：已知在正方体 abcda1b1c1d1 中中,棱长为棱长为 a , m、n 分别为分别为 aa1、cc1 的中点的中点, 求：四棱锥求：四棱锥 amb1nd 的体积的体积 四棱锥四棱锥 amb1nd的底面为菱形，的底面为菱形， 高：高：a到底面的距离为多少？到底面的距离为多少？ 连接连接 mnmn，把四棱锥分割成两个三棱锥，把四棱锥分割成两个三棱锥 mb1nd为菱形为菱形， sb1mn=sdmn va b1mn= vadmn v四棱锥 四棱锥=2va dmn 分析：分析： 分割：分割： a d1 c d a1 b c1