【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》：第八章 立体几何 第二节 点、线、面的位置关系

1、【数学精品】2013版6年高考4年模拟第二节 点、线、面的位置关系第一部分 六年高考荟萃2012年高考题1.2012陕西卷 (1)如图所示，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真； (2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)解：(1)证法一：如下图，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)，因为ab，所以ab0，又因为a，n，所以an0，故ac 0，从而ac.证法二：如图，记cba，

2、p为直线b上异于点a的任意一点，过p作po，垂足为o，则oc.po，a，直线poa，又ab，b平面pao，pobp，a平面pao，又c平面pao，ac.(2)逆命题为：a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题2.2012全国卷 如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小解：方法一：(1)因为底面abcd为菱形，所以bdac，又pa底面abcd，所以pcbd.设acbdf，连结

3、ef.因为ac2，pa2，pe2ec，故pc2，ec，fc，从而，.因为，fcepca，所以fcepca，fecpac90，由此知pcef.pc与平面bed内两条相交直线bd，ef都垂直，所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb，g为垂足因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbcpb，故ag平面pbc，agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa，ag都垂直，故bc平面pab，于是bcab，所以底面abcd为正方形，ad2，pd2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc，且ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc，a、d两点到平面pbc

4、的距离相等，即dag.设pd与平面pbc所成的角为，则sin.所以pd与平面pbc所成的角为30.方法二：(1)以a为坐标原点，射线ac为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设c(2，0,0)，d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e，b(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bde.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面pab的法向量，则m0，m0，即2z0，且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pbc的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面

5、pab面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.3.2012福建卷 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长解：(1)以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故

6、ad1(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一个法向量，

7、此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos.二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即ab的长为2.4. 2012江苏卷 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点(点d不同于点c)，且adde，f为b1c1的中点求证：(1)平面ade平面bcc1b1；(2)直线a1f平面ade.证明：(1)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc，又ad平面abc，所以cc1ad.又因为adde，cc1，de平面bcc1b1，cc1dee，所以ad平面bcc1b1.又ad平面ade，所以平面ade平面bcc1b1.(2

8、)因为a1b1a1c1，f为b1c1的中点，所以a1fb1c1.因为cc1平面a1b1c1，且a1f平面a1b1c1，所以cc1a1f.又因为cc1，b1c1平面bcc1b1，cc1b1c1c1，所以a1f平面bcc1b1.由(1)知ad平面bcc1b1，所以a1fad.又ad平面ade，a1f平面ade，所以a1f平面ade.5.2012辽宁卷 如图，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，点m，n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc为直二面角，求的值解：(1)(证法一)连结ab，ac，由已知bac90，abac，三棱柱abcabc为直三棱柱所以

9、m为ab中点又因为n为bc的中点所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(证法二)取ab中点p，连结mp，np，m，n分别为ab与bc的中点，所以mpaa，pnac，所以mp平面aacc，pn平面aacc，又mpnpp，因此平面mpn平面aacc，而mn平面mpn，因此mn平面aacc.(2)以a为坐标原点，分别以直线ab，ac，aa为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系oxyz，如图所示设aa1，则abac，于是a(0,0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，b(，0,1)，c(0，1)所以m，n.设m(x1，y1，z1)是平面amn的法向量，由

10、得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面mnc的法向量，由得可取n(3，1，)因为amnc为直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.6.2012重庆卷 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值解：(1)由acbc，d为ab的中点，得cdab.又cdaa1，故cd面a1abb1，所以点c到平面a1abb1的距离为cd.(2)解法一：如图，取d1为a1b1的中点，连结dd1，则dd1aa1cc1.又由(1)知cd面a1abb1，故cda1d，cddd1

11、，所以a1dd1为所求的二面角a1cdc1的平面角因a1d为a1c在面a1abb1上的射影，又已知ab1a1c，由三垂线定理的逆定理得ab1a1d，从而a1ab1、a1da都与b1ab互余，因此a1ab1a1da，所以rta1adrtb1a1a.因此，即aaada1b18，得aa12.从而a1d2.所以，在rta1dd1中，cosa1dd1.解法二：如图，过d作dd1aa1交a1b1于点d1，在直三棱柱中，易知db，dc，dd1两两垂直以d为原点，射线db，dc，dd1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.设直三棱柱的高为h，则a(2,0,0)，a1(2,0，h)，b1(2

12、,0，h)，c(0，0)，c1(0，h)，从而(4,0，h)，(2，h)由，有8h20，h2.故(2,0,2)，(0,0,2)，(0，0)设平面a1cd的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)，设平面c1cd的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角a1cdc1的平面角的余弦值为.7. 2012浙江卷 如图15所示，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角

13、amnq的平面角的余弦值解：(1)因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线，所以mnbd.又因为mn平面abcd，所以mn平面abcd.(2)方法一：连结ac交bd于o.以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示在菱形abcd中，bad120，得acab2，bdab6.又因为pa平面abcd，所以paac.在rtpac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各点坐标如下，a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m，n，q.设m(x，y，z)为平面amn的法向量由，知取z1，得m(2，

14、0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.方法二：在菱形abcd中，bad120，得acabbccdda，bdab.又因为pa平面abcd，所以paab，paac，paad.所以pbpcpd.所以pbcpdc.而m，n分别是pb，pd的中点，所以mqnq，且ampbpdan.取线段mn的中点e，连结ae，eq，则aemn，qemn，所以aeq为二面角amnq的平面角由ab2，pa2，故在amn中，aman3，mnbd3，得ae.在直角pac中，aqpc，得aq2，qc2，pq4.在pbc中，cosbpc

15、，得mq.在等腰mqn中，mqnq，mn3，得qe.在aeq中，ae，qe，aq2，得cosaeq.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.8. 2012天津卷 如图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)证明pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e与棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长解：方法一：如图所示，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b，p(0,0,2)(1)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以pcad.(2)(0,

16、1，2)，(2，1，0)设平面pcd的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面pac的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角apcd的正弦值为.(3)设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2，1,0)，故cos，所以，cos30，解得h，即ae.方法二：(1)由pa平面abcd，可得paad.又由adac，paaca，故ad平面pac，又pc平面pac，所以pcad.(2)如图所示，作ahpc于点h，连接dh.由pcad，pcah，可得pc平面adh，因此dhpc，从而ahd为二面角apcd的平面角.在rtpac中，pa

17、2，ac1，由此得ah.由(1)知adah.故在rtdah中，dh.因此sinahd.所以二面角apcd的正弦值为.(3)如图所示，因为adc45，故过点b作cd的平行线必与线段ad相交，设交点为f，连接be，ef.故ebf或其补角为异面直线be与cd所成的角由bfcd，故afbadc.在rtdac中，cd，sinadc，故sinafb .在afb中，由，ab，sinfabsin135，可得bf.由余弦定理，bf2ab2af22abafcosfab，可得af.设aeh.在rteaf中，ef.在rtbae中，be.在ebf中，因为efbe，从而ebf30，由余弦定理得cos30，可解得h.所以a

18、e.9.2012四川卷 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_答案：90解析 因为abcda1b1c1d1为正方体，故a1在平面cdd1c1上的射影为d1，即a1m在平面cdd1c1上的射影为d1m，而在正方形cdd1c1中，由tandd1mtancdn，可知d1mdn，由三垂线定理可知，a1mdn.10. 2012江苏卷 如图14，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点(点d不同于点c)，且adde，f为b1c1的中点求证：(1)平面ade平面bcc1b1；(2)直线

19、a1f平面ade.证明：(1)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc，又ad平面abc，所以cc1ad.又因为adde，cc1，de平面bcc1b1，cc1dee，所以ad平面bcc1b1.又ad平面ade，所以平面ade平面bcc1b1.(2)因为a1b1a1c1，f为b1c1的中点，所以a1fb1c1.因为cc1平面a1b1c1，且a1f平面a1b1c1，所以cc1a1f.又因为cc1，b1c1平面bcc1b1，cc1b1c1c1，所以a1f平面bcc1b1.由(1)知ad平面bcc1b1，所以a1fad.又ad平面ade，a1f平面ade，所以a1f平面ade.11. 2

20、012湖南卷 如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解：解法1：(1)如下图(1)，连结ac.由ab4，bc3，abc90得ac5.又ad5，e是cd的中点，所以cdae.因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd.而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd，分别与ae、ad相交于点f，g，连结pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线p

21、b与平面pae所成的角，且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角由题意pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc，又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.解法2：如上图(2)，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设pah，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0

22、)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.2011年高考题2.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥s-abcd

23、的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是（ ）(a) acsb (b) ab平面scd (c) sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 (d)ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角3.(2011年高考江西卷理科8)已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】过点作平面的垂线g,交平面，分别于点a、b两点,由两个平面平行的性质可知,所以,故选c.13(2011年高考四川卷理科3)，是空间三条不同的直线，则下列命

24、题正确的是( ) (a)， （b），(c) ，共面 （d），共点，共面15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆m，过圆心m且与成，二面角的平面截该球面得圆n，若该球的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为 (a) (b) (c) (d)【答案】d【解析】：由圆的面积为得，在 故选d 2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。3(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 【答案】【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为

25、1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.6(2011年高考福建卷理科12)三棱锥p-abc中，pa底面abc，pa=3，底面abc是边长为2的正三角形，则三棱锥p-abc的体积等于_。【答案】7(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，平面，ef，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结af,因为ef，ef=f,所以平面efg平面abcd,又易证,所以,即,即,又m为ad

26、的中点,所以,又因为d，所以m,所以四边形amgf是平行四边形,故gmfa,又因为平面,fa平面,所以平面.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本题满分15分）如图，在三棱锥中，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc=8，po=4，ao=3，od=2（）证明：apbc；（）在线段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由。【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分法一：（）证明：如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则

27、，由此可得 ，所以 ，即可取，由得解得 ，故 综上所述，存在点m 符合题意，法二（）证明：又因为所以平面故（）如图，在平面内作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又从而，所以综上所述，存在点m 符合题意，.3.(2011年高考辽宁卷理科18)（本小题满分12分）如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd.（i）证明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角q-bp-c的余弦值. 即，.故平面dcq，又平面pqc，所以平面pqc平面dcq.2010年高考题一、选择题1.（2010浙江理）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命

28、题正确的是（a）若，则 （b）若，则（c）若，则 （d）若，则【答案】 b解析：选b，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2.（2010江西理）10.过正方体的顶点a作直线l，使l与棱,所成的角都相等，这样的直线l可以作a.1条 b.2条 c.3条 d.4条【答案】d【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点a位于三条棱之间的直线有一条体对角线ac1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 3.（2010山东文）(4)

29、在空间，下列命题正确的是a.平行直线的平行投影重合b.平行于同一直线的两个平面平行c.垂直于同一平面的两个平面平行d.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】d4.（2010四川理）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】由已知，ab2r,bcr,故tanbac cosbac连结om，则oam为等腰三角形am2aocosbac，同理an，且mncd 而acr,cdr故mn：cdan:ac mn，连结om、on，有omonr于是cosmon所以m、n两点间的球面距离

30、是 5.（2010全国卷1文）(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(a)30 (b)45(c)60 (d)90【答案】c【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长ca到d，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，6.（2010湖北文）4.用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.a. b. c. d.7.（2010山东理）(3)在空间，下列命题正确的是（a）平行直线的平行投影重合（b）平行于同一直线的两个平面平行（c）垂直于同一平面的两个平面平行（d）垂直于同一平

31、面的两条直线平行【答案】d【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。8.（2010安徽理）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为a、280b、292c、360d、372【答案】c【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。二、填

32、空题1.（2010四川理）（15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .【答案】【解析】过点a作平面的垂线，垂足为c，在内过c作l的垂线.垂足为d连结ad，有三垂线定理可知adl，cd故adc为二面角的平面角，为60又由已知，abd30连结cb，则abc为与平面所成的角设ad2，则ac，cd1ab4sinabc三、解答题1.（2010湖南文）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，ab=ad=1，aa1=2，m是棱cc1的中点（）求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值；（）证明：平面abm平面a1b1m12.（2010浙江理）（20）（本

33、题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段ef的中点h，连结，因为=及h是ef的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系a-xyz则（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面

34、的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。3.（2010全国卷2）（19）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小【命题意图】本试题主要考查空间的

35、线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（i）连接a1b，记a1b与ab1的交点为f.因为面aa1bb1为正方形，故a1bab1，且af=fb1，又ae=3eb1，所以fe=eb1，又d为bb1的中点，故debf，deab1. 3分作cgab，g为垂足，由ac=bc知，g为ab中点.又由底面abc面aa1b1b.连接dg，则dgab1，故dedg，由三垂线定理，得decd.所以de为异面直线ab1与cd的公垂线.（ii）因为dgab1，故cdg为异面直线ab1与cd的夹角，cdg=45设ab=2，则ab1=，dg=，cg=，ac=.作b1ha1c

36、1，h为垂足，因为底面a1b1c1面aa1cc1，故b1h面aa1c1c.又作hkac1，k为垂足，连接b1k，由三垂线定理，得b1kac1，因此b1kh为二面角a1-ac1-b1的平面角.【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.4.（2010北京文）（17）（本小题共13分）如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直。e

37、f/ac，ab=,ce=ef=1（）求证：af/平面bde；（）求证：cf平面bdf;证明：（）设ac于bd交于点g。因为efag,且ef=1，ag=ag=1 所以四边形agef为平行四边形 所以afeg 因为eg平面bde,af平面bde, 所以af平面bde （）连接fg。因为efcg,ef=cg=1,且ce=1,所以平行四边形cefg为菱形。所以cfeg. 因为四边形abcd为正方形，所以bdac.又因为平面acef平面abcd,且平面acef平面abcd=ac,所以bd平面acef.所以cfbd.又bdeg=g,所以cf平面bde.5.（2010天津文）（19）（本小题满分12分）如图

38、，在五面体abcdef中，四边形adef是正方形，fa平面abcd，bcad，cd=1，ad=，badcda45.（）求异面直线ce与af所成角的余弦值； （）证明cd平面abf；（）求二面角b-ef-a的正切值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.(i)解：因为四边形adef是正方形，所以fa/ed.故为异面直线ce与af所成的角.因为fa平面abcd，所以facd.故edcd.在rtcde中，cd=1，ed=，ce=3,故cos=.所以异面直线ce和af所成角的余弦值为.()证明：过点b作bg/cd

39、,交ad于点g，则.由,可得bgab,从而cdab,又cdfa,faab=a,所以cd平面abf.()解：由（）及已知，可得ag=，即g为ad的中点.取ef的中点n，连接gn，则gnef,因为bc/ad,所以bc/ef.过点n作nmef，交bc于m，则为二面角b-ef-a的平面角。连接gm，可得ad平面gnm,故adgm.从而bcgm.由已知，可得gm=.由ng/fa,fagm,得nggm.在rtngm中，tan,所以二面角b-ef-a的正切值为.6.（2010天津理）（19）（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3）

40、 求二面角的正弦值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令x=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设ab=1，可得ad=2,aa1=4,cf=1.ce=链接b1c,bc1，设b1c与bc1交于点m,易知

41、a1db1c，由,可知efbc1.故是异面直线ef与a1d所成的角，易知bm=cm=,所以 ,所以异面直线fe与a1d所成角的余弦值为（2）证明：连接ac，设ac与de交点n 因为，所以，从而，又由于,所以，故acde,又因为cc1de且，所以de平面acf，从而afde.连接bf，同理可证b1c平面abf,从而afb1c,所以afa1d因为，所以af平面a1ed(3)解：连接a1n.fn,由（2）可知de平面acf,又nf平面acf, a1n平面acf，所以denf,dea1n,故为二面角a1-ed-f的平面角易知，所以，又所以，在连接a1c1,a1f 在。所以所以二面角a1-de-f正弦值

42、为7.（2010广东理）18.（本小题满分14分）如图5，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点平面aec外一点f满足，fe=a 图5 （1）证明：ebfd；（2）已知点q,r分别为线段fe,fb上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值（2）设平面与平面rqd的交线为.由bq=fe,fr=fb知, .而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面， 平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，故平面与平面所成二面角的正弦值是8.（2010全国卷1理）（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab/dc，add

43、c，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .（）证明：se=2eb；（）求二面角a-de-c的大小 .9.（2010湖北文）18.（本小题满分12分） 如图，在四面体aboc中，ocoa。ocob，aob=120，且oa=ob=oc=1（）设p为ac的中点，q在ab上且ab=3aq，证明：pqoa；（）求二面角o-ac-b的平面角的余弦值。10.（2010山东理）（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥pabcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc， abc=45，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形（）求证：平面pcd平

44、面pac；（）求直线pb与平面pcd所成角的大小；（）求四棱锥pacde的体积【解析】（）证明：因为abc=45，ab=2，bc=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又pa平面abcde，所以pa，又pa，所以，又abcd，所以，又因为，所以平面pcd平面pac；（）由（）知平面pcd平面pac，所以在平面pac内，过点a作于h，则，又abcd，ab平面内，所以ab平行于平面，所以点a到平面的距离等于点b到平面的距离，过点b作bo平面于点o，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线pb与平面pcd所成角的大小为；（）由（）知，所以，又aced，所以四边形acde是直角梯形，又

45、容易求得，ac=，所以四边形acde的面积为，所以四棱锥pacde的体积为=。（2010湖北理数）18 (本小题满分12分)如图， 在四面体aboc中, , 且（）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。11.（2010福建理）概率为。（i）当点c在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）因为平面

46、abc，平面abc，所以，因为ab是圆o直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）设圆柱的底面半径为，则ab=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以o为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则c（r，0，0），b（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。（2010安徽理数）18、（本小题满分12分） 如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：

47、平面；()求二面角的大小。2009年高考题一、 选择题1. 如图，正方体的棱线长为1，线段有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a） （b） （c）三棱锥的体积为定值 （d）异面直线所成的角为定值2. 给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 a. 和 b. 和 c. 和 d. 和答案 选d.3在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成

48、角的大小是 ( )a b c d 答案：c 【解析】取bc的中点e，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有4设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则 5c 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于a、b、d均可能出现，而对于c是正确的 6.设m，n是平面 内的两条不同直线，是平面 内的两条相交直线，则/ 的一个充分而不必要条件是 a.m / 且l / b. m / l 且n / lc. m / 且n / d. m / 且n / l【答案】：b【解析】若，则可得.若则存在7. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为a. b. c. d. 解：令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选c8若正四棱柱的底面边长为1