高中数学文科之知识讲解_三角函数的图象和性质_提高

1、正弦、余弦的图象和性质编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.2、理解正弦函数、余弦函数在区间0,2p的性质（如单调性、最大和最小值、与x轴交点等）,理解正切函数在区间(-【知识网络】pp,)的单调性.22三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质应用正切函数的图象与性质【考点梳理】考点一、“五点法”作图p在确定正弦函数y=sinx在0,2p上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(,1)，2(p,0)，(3p,-1)，(2p,0)

2、2考点二、三角函数的图象和性质xrxr,kz称义域域象名定值图y=sinxy=cosxy=tanxx|xkp+p2-1,1-1,1(-,+)偶性奇奇函数单调增区间:偶函数单调增区间:奇函数单调增区间：2kp-p,2kp+(kz)单p222kp-p,2kp(kz)(kp-pp,kp+)22(22kp,2kp+p(kz)调2kp+p,2kp+3p2单调减区间:单调减区间:(kz)kz)性kz)期性周t=2pt=2pt=p对称中心:(kp,0),kzp性对称轴:x=kp+,0),kzkp,0),kz对称2，kz对称中对称中p心:(kp+心:(22对称轴:x=kp,kz对称轴：无x=2kp+p2,kz

3、时，x=2kp,kz时，最y=1；y=1；值max3px=2kp+,kz时，2ymaxx=2kp+p,kz时，=-1无y=-1minw；min要点诠释：三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.考点三、周期一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数t,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+t)=f(x)

4、，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的.最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：函数y=asin(wx+j)或y=acos(wx+j)的周期t=2p函数y=atan(wx+j)的周期t=pw函数y=sinx的周期t=p；（1）y=3sinx+cosx,x,（2）y=sin2x-sinx+1,x,6,3)函数y=tanx的周期t=p.【典型例题】类型一、定义域及值域例1.求下列函数的值域：p2pp3p6334（3）y=1+sinxcosx（4）y=cosx+3sinx(xp2p【思路点拨】（1）（4）利

5、用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围.（2）根据角的范围得出sinx的范围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；3sinx+cosx=2sinx+,x,【解析】（1）y=pp2p663，x+pp,5p636，当x+ppp时，y=1；当x+=，即x=时，y=2，6=5p6，即x=2pp3623（2）y=sinx-sinx+1=sinx-+,x,，34y1,2.123p3p224p3p2,42,1令：t=sinx,x3，则t1232y=t-+,t,1为增函数；242y

6、3-2,1.2（3）根据sinxcosx=1113sin2x可知y，2222故函数的值域为yy.12326+x)，（4）y=cosx+3sinx=2sin(p6x由p2ppp5p1p知+x，由正弦函数的单调性可知sin(+x)1，336626故函数的值域为y1y2.【总结升华】形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx,cosx的有界性来求最值；形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c可看成关于sinx,cosx的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中sinx1,cosx1；形如y=asinx+bcosx可化为y=a2+b2sin(x+

7、j)（其中tanj=ba）的形式来确定最值.举一反三：2-x)的值域.【变式1】已知-p4xp4且x0，求函数y=tan(p4x【解析】-pp4,且x0，p4p2-x3ppp且-x，422由正切函数的单调性可知y1或y-1，故函数的值域为yy1或y-1.【变式2】已知f(x)的定义域为0,1，求f(cosx)的定义域.【解析】f(x)中x0,1，f(cosx)中cosx0,1，解得2kp-x2kp+,kz，22f(cosx)的定义域为：x|2kp-x2kp+,kz.22【变式3】求函数y=acosx+b,(a0)的最大值及相应的x的值【解析】若a0，当x=2kp，(kz)时，函数有最大值y=a

8、+b；若a0）的最大值为的最大值和最小值.【解析】y=a-bcos3x（b0）31，最小值为-，求函数y=-4asin3bx22当cos3x=-1时，ymax=a+b=32，当cos3x=1时，ymin1=a-b=-，2b=11a=1由得2，y=-4sin3x=-2sin3x，2所以，当sin3x=-1时，ymax=2，当sin3x=1时，ymin=-22，2x0,p，-1cos2x1，【变式2】已知函数y=2asin2x-acos2x+a+b的定义域是0,【解析】y=2asin2x-acos2x+a+b=a(1-cos2x)-acos2x+a+b=2a-2acos2x+bpx0,p2，值域是

9、-5,1，求常数a,b4a+b=1b=-5b=1a=-a=a=-，解得：2，所以，2或2b=1b=-5b=1若a0，则当cos2x=-1时函数取得最大值1，当cos2x=1时函数取得最小值-5，3a=，解得：2，b=-5若af(1)f【答案】f-35【解析】因为y=xsinx是偶函数，所以f-=f，33为.ppppp5p3x0,时，y=(xsinx)=sinx+xcosx0又p2所以函数y=xsinx在0,pf(1)f.上单调递增.f所以f-pf(1)f35pp235p举一反三：【变式1】(2015崇川区校级一模)已知函数f(x)=sin2x+6若y=f(x-j)0j是偶函数，则j=.p【答案

10、】3pp2f(x)=sin2x+6【解析】py=f(x-j)=sin2(x-j)+=sin2x+-2jpp66y=f(x-j)是偶函数6-2j=kp+pp2,kz解得：j=-p6-kp2,kz2j=0jpp3【变式2】下列函数中是奇函数的为【答案】d【变式3】求下列函数的周期：-sin2；（2）y=sinx+cosx；（3）y=(sinx+cosx)2+2cos2x（1）y=cos2xx22【解析】（1）y=cos2xx-sin2=cosx，周期为t=2p；22p（2）y=cosx+sinx=2sin(x+)，周期为2p；4（3）y=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+p4)，周期

11、为p.【变式4】函数f(x)=sinx-12cosx的最小正周期是【答案】p例4求函数y=sin2x-2sinx+2的单调区间。.【思路点拨】运用换元法，注意定义域，转化为求熟悉的二次函数单调区间的问题【解析】令x=sinx，则y=x2-2x+2=(x-1)2+1，且x12显然函数y=(x1)1在x1始终是单调递减的，所以x2k-,2k+22时，x=sinx单调递增，y=sin2x-2sinx+2单调递减；x2k+2,2k+32时，x=sinx单调递减，y=sin2x-2sinx+2单调递增；故y=sin2x-2sinx+2单调递减区间为2k-,2k+22,kz；单调递增区间为2k+2,2k+

12、32,kz.【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的.举一反三：【变式】求函数y=-sin(x+4)的单调区间.【解析】令x=x+4，则y=-sin(x+4)=-sinx，函数y=-sinx的周期为，且图象如图所示：显然，当kxk+2,kz时，y=-sinx单调递减；当k+2xk+,kz时，y=-sinx单调递增；当kx+4k+2,kz时，y=-sin(x+4)单调递减；当k+2x+4k+,kz时，y=-sin(x+4)单调递增；故y=-sin(x+4)的单调递减区间为k-4,k+4,kz；单调递增区间为(k+4,k+34,kz.类型三、综合x例5（2016天

13、津高考）已知函数f(x)=4tanxsin(x)cos(2()求f(x)的定义域与最小正周期；3)-3.（）讨论f(x)在区间-p,p44上的单调性.【思路点拨】通过诱导公式、两角差的余弦函数、二倍角公式，化简函数的表达式，（1）直接求出f(x)=4sinx函数的定义域和最小正周期（2）根据（）的结论，研究三角函数在区间-p【解析】（）f(x)的定义域为xx2+kp,kz.pcosxcos(x-)-3cosx3p=4sinxcos(x-)-3313=4sinx(cosx+sinx)-322=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3p=sin2x-3cosx=

14、2sin(2x-)32p所以f(x)的最小正周期t=p.2pp4,4上的单调性,函数y=2sinz的单调递增区间-+2kp,+2kp,kz.（）令z=2x-p2pp322+2kp2x-由-pp3p2+2kp,得-p12+kpx5p12+kp,kz.设a=-,b=x-+kpx+kp,kz，易知ab=-,.ppp5ppp124412124,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-，-所以,当x-pppppp44124412上单调递减.【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为y=asin(wx+j)+b或y=acos(wx+j)+b的形式进行.注意三角函数的单调性的求解.举一反三：

15、【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862例4】【变式1】已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx，（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)的单调递增区间.【解析】（1）由题知sinx0，即xkp，所以f(x)的定义域为xxkp,kz，f(x)=(sinx-cosx)sin2xp=sin2x-cos2x-1=2sin(2x-)-1sinx4t=2p2=p.4（2）由-p2+2kp2x-pp2+2kp，即-p8+kpx3p+kp，f(x)单调递增，8p3p故f(x)的单调递增区间区间为kp-,kp+,kz.88【变式2】设函数f(x)asin(x)(其中a0，0，)在x6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为2（2）求函数g(x)的值域f(x+)（1）求f(x)的解析式；6cos4x-sin2x-16【解析】（1）由题设条