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文档简介

1、数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到,再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综

2、上有例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明:,所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,求证:.解析:所以 从而例7.已知,求证:证明: ,因为 ,所以, 所以二、函数放缩例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20

3、.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析: 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到,所以 例28. 求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到 例29. 若,求证: 解析: 所以就有九、均值不等式放缩 例32.设求证 解析: 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例33.已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证：解析: 例35.求证解析: 不等式左=，原结论成立.例43.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面:十、二项放缩 , 例44. 已知证明 解析: ，即例47.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证. 十二、部分放

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