正交试验方差分析通俗易懂

1、正交试验方差分析通俗易懂 笫十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则 试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法. 第一节、正交设计原理和方法 (-) 正交设计的基本概念 正交设计 是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它 从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验 结果的分析了解全而试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设九、

2、A2、A3 3个水平： B因素是磷肥施用量，设B、B“ B3 3个水平： C因素是钾肥施用量，设C】、C2、C3 3个水平. 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有2 7种。 如果进行全而试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全而试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实 施 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全而试验，通过对部分试验结果的分析，了解全而 试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验,它不可能像全面试验那样对各因素效应、

3、交 互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能岀现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表厶9(34)安排，试 验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含2 7个水平组合的全而试验的情况，找岀 最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表111 3彳试验的全面试验方案 B】 AiB1C3 4 A jB?C3 A 2B3C? AjB3C3 人护心 人/心 “2 山店2。2 AjB2C3 A2B3Cj A2B3C3 /弭心 A/心 人弭G 宜3 A3B2C2 人申2。3 A3B3Cj A 3B3G A3B3C3 正交设汁就是从全而试验点(水平组合)中挑

4、选出有代表性的部分试验点(水平组合)来 进行试验图1中标有9 个试验点，就是利用正交表L;.(34)从2 7个试验点中挑选出来的9 个试验点即： (1) AiBiCi (2) A1B2C2(3)AiB36 (4) A?B 1C2(5)A2B2C3(6)A?B3C (7)A3B 1C3(8 ) A3BCi (9A3B3C2 上述选择，保证了 A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配 一次. 从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡的，在立方体的每个平面上 有且仅有 3个试验点；每两个平而的交线上有且仅有1个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性,能够比较全面地

5、反映全面试 验的基本情况。 二、正交表及英特性 (一) 正交表 表11一2是厶8(27)正交表，其中“L代表正交表;L右下角的数字“8“表示有 8行，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组合)：括号内的底数“2表示因素的水 平数,括号内2的指数“ 7 表示有7列,用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。 表1 1-2 L8 (27 )正交表 2水平正交表还有L4 (2)、L16 (2“)等: 3水平正交表有1X34)、L27 (3,3)、等。 (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同 例如L8(27)中不同数字只有1和2,它们各岀现4次；L9(34)中不同数字有1、2和 3

6、,它们各出现3次. 2、任两列中,同一横行所组成的数字对出现的次数相同 例如LM27)的任两列中(1, 1), (1, 2 ), (2, 1), ( 2 , 2)各出现两次(34) 任两列中 (1，1),(1, 2),( 1 ,3), (2, 1), (2,2),(2,3),(3, 1),(3, 2),(3. 3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明 任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。 用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素 水平组合在全部水平组合中的分布是 均衡的。由 图1 1-1可以看出，在立方体中，任

7、一平而内都包含3个试验点，任两 平面的交线上都包含1个试验点。 整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。 因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某 因素不同水平时，苴它因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中,A因素的3个水 平A】、A2、A3 条件下各有B、C的3个不同水平，即： B1C B B1C3 A1 B2C2 | A2 b2c3 A3 B2Ci B3C3 B3C1 B3C2 在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了 B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不 同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时.B因素不同水平的效应相互抵消， C

8、因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性同样,B、C因素3 个水平间亦具有可比性. (三) 正交表的类别 1、相同水平正交表各列中岀现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表. L, (23)、“)、L12(211)等各列中最大数字为2,称为两水平正交表； L. (34)、L27(3 *3)等各列中最大数字为3,称为3水平正交表。 2、混合水平正交表各列中岀现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正 交表。 L8(4*X 2 J表中有一列最大数字为4,有4列最大数字为2.也就是说该表可以安 排1个4水平因素和4个2水平因素. Li6(44X23), L.6(4X212)等

9、都混合水平正交表。 三、正交设计方法 【例1 11】 某水稻栽培试验选择了 3个水稻优良品种(A):二九矮、高二矮、 窄叶青,3 种密度(B ):15、20、25(万苗766 6 .7m2);3 种施氮量(C)：3、5、8 (kg/666。 7m2 ),试采用正交设计安排一个试验方案. (-)确定试验因素及其水平，列出因素水平表 表11-3 因素水平表 因 素 水平 品种 （A） 密度 （B） 施氮量 （C） 1 二九矮（AJ 佃冋） 3(CJ 2 高二矮（AJ 20(B2) 5(CJ 3 窄叶青（AJ 25(BJ 8(CJ （二）选用合适的正交表 根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选

10、择合适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素（包括需要考査的交互作用）, 又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。 一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数;因素的个数（包 括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数;各因素及交互作用的自由度之 和要小于所选 正交表 的总自由度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试 验来估计试验误差. 此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则因素自由度之和为因素个数X （水平数一1） =3 X （31）=6,小于Lg ）总自由度9-1=8,故可以选

11、用L/34）; 若要考察交互作用，则应选用L27（3 3,此时所安排的试验方案实际上是全而试验方 案。 （三）表头设计 表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列 上. 在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上;若考察交互作用，就应按该正交表的 交互作用列表安排各因素与交互作用. 此例不考察交互作用，可将品种（A）、密度（B）和施氮量（C）依次安排在33）的第1、 2、3列上，第4列为空列，见表2-4. 表1 1-4 表头设计 U34）表头设计 因素数 列 号 2 3 | 4 B AXB, Laxb2 3 A BXC, B AXC, c AXB1 axb2 a

12、xc2 bxc2 4 A BXC, BXD, CXD1 B AXC AX0 cxd2 c AXB axd2 bxd2 D axb2 axc2 bxc2 U（27）表头设讣 因素数 列号 1 2 3 4 5 6 7 3 A B AXB C AXC BXC 4 A B AXB CXD C AXC BXD BXC AXD D 4 A B CXD AXB C BXD AXC D BXC AXD 5 A DXE B CXD AXB CXE C BXD AXC BXE D AXE BXC E AXB （四）列岀试验方案 把正交表中安排因素的各列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个数字依次换成该 因素的实际

13、水平，就得到一个正交试验方案。 表115 正交试验方案 因 素 试验号 A B C 2 3 1 1 （二九矮） 1 (15) H3) 2 1 （二九矮） 2(20) 2(5) 3 1 （二九矮） 3(25) 3(8) 4 2（高二矮） 1 (15) 2(5) 5 2（高二矮） 2(20) 3(8) 6 2（高二矮） 3(25) 1 (3) 7 3（窄叶青） 1 (15) 3(8) 8 3 （窄叶青） 2(20) 1 (3) 9 3（窄叶青） 3(25) 2(5) 第二节正交试验资料的方差分析 若号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验； 若各号试验处理都有两个或两个以上观测值,则

14、称之为有重复观测值正交试验。 一、单个观测值正交试验资料的方差分析 对【例1 1】用L9(3)安排试验方案后,各号试验只进行一次，试验结果列于表26。 试对其进行方差分析。 表11-6 正交试验结果计算表 试验号 因素 -产量 A (1) B (2) C 1 1 1 1 3400(Xi) 2 1 2 2 422.5(x2) 3 1 3 3 439.0(X3) 4 2 1 2 360.0(x4) 5 2 2 3 492.5(X5) 6 2 3 1 439.0(心) 7 3 1 3 392.0(x7) 8 3 2 1 363.5( 9 3 3 2 462.5(x0 Ti t2 T3 1201.5

15、1291.5 1218.0 1092.0 1278.5 1340.5 1142.5 1245.0 1323.5 3711.0(T) 百1 00 50 飞 64D0 380?83 屯| 430.50 426.17 415.00 406.00 446.83 441.17 久为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和; x为各因素同一水平试验指标的平均数。 该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而进行 方差分析时平方和与自由度的分解式为： S St = SSa + SS8 + SSc+SS e d fr = U/a + dfn + dfc + clf

16、e 用/?表示试验(处理)数；“、b、C表示力、B、C因素的水平数；也、kb、h表示 A、B、Q因素的各水平重复数。本例，n=9、u=b=c=3、kd= kb=kc=3 o 1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C = T2/n = 37 1 12/9 = 15 30169 .00 总平方和 SST =Sx2 =(3 4 0 o 2+42 2 O 52+-+4 6 2 52)-1 5 3 0 1 6 9。00 =21238。00 A因素平方和 SSA=2T；/Ara-C =(1 2 0 1. 524-1291.52+1218o 0 2) / 315301 6 9.0 0 =1 530. 50 因

17、素平方和 SSb= 2 T； /kb C =2 7 8.52+l 3 4 0 5 2)/3 -153 0 169。0 0 = 11153o 17 c因素平方和 SSCT；/hC =(11 42o 5?+1 2 4 5.0 2+1323.52) / 3 15 3 0 1 69 o 00 =5492. 1 7 误差平方和 S S = S S 1SS.vSSb-S S c =2 123若因素间存在交互作用,则模型 误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。 试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正 交试验的重复，可采用完全随机或随机区组设计。 二、有重复观测

18、值正交试验资料的方差分析 【例1 1 -4为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，进行了药剂种类（A）、浓度（B）、 剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L431）安排试验。试验重复2次,随机区 组设计正交试验方案及试验结果（产量kg/小区，小区面积133.3m2）见表1 110,对试验结 果进行方差分析。 用r表示试验处理的重复数（区组数）； n,a、b、c,ka、kt,、kc的意义同上。 此例 r=2： n = 9 ,a=b=c=3,k a= k b= k c=3o 表11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计算表 輕号 囚克 产舍（kg小区） It A B (

19、2) C 酸I 阵U 1 1加洛 1 （高） 1 (80) 23.0 28.5 56.5 28.25 2 1 （葩淘 2 （中） 2 (100) 35.0 34.8 69.8 34.90 3 1 （硫淘 3（K） 3 (120) 32.2 32.5 64.7 32.35 4 2 （敌锈灵） 1 （高） 2 (100) 33.0 33.2 66.2 33.10 5 2 （敌锈灵） 2 （屮） 3 (120) 27.4 27.0 54.4 27.20 6 2 （敌锈灵） 3假） 1 (80) 31.8 32.0 63.8 31.90 7 3 1 （高） 3 (120) 34.2 34.5 68.7

20、 34.35 8 3 （稣多） 2 （中） 1 (80) 22.5 23.0 45.5 22.75 9 3 （稣多 3 （低） 2 (100) 29.4 30.0 59.4 29.70 Ti 191.0 191.4 165.8 273.5 275.5 549.0 t2 184.4 169.7 195.4 t3 173.6 187.9 187.8 31.83 31.90 27.63 30.73 28.28 32.57 28.93 31.32 31.30 Ti为各因素同一水平试验指标之和.T为9个试验号的试验指标之和； ；为各因素同一水平试验指标的平均数。 对于有重复、且重复采用随机区组设计的正交

21、试验,总变异可以划分为处理间、区组间 和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变异 四部分此时，平方和与自由度分解式为： SSt= SSt+SSr+SSd dfr = dfI + dfr+ d f 而S S,= S Sa+SSB +S S c+ S Sei d f t d f a + d f b + dfc + d el 于是 SSy= SSa+ SSb /SSc+SSrS S (.；+ SSe 2 dfr = dfs + ilfn + d f c + dfr + dfei + dfe? 貝中：SS为区组间平方和；SS为模型误差平方和;SSd为试验误差平方和

22、：SSi为 处理间平方和：、dfci 、dfd 、df,为相应自由度。 注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无SS、d fr项。 1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C =T/r n = 549。O2 / (2X9)= 1 6 744. 50 总平方和 SSeWC =2 8g3 50?+ +30.02 16744。50 =2 4 6 62 区组间平方和 SSr= S T2r ZC =(2 7 3 o 52 275.52 ) /9 16744. 50 =0.22 处理间平方和 SSt = 2 V丫 C =(56. 52+69.8?+-+59, 42)7216 744

23、。50 =24 5。96 A因素平方和 SSa = 2 T2A/k.r 一 C =(191。0 2+ 1 8 4.42 + 173. 6 2)/ ( 3 X 2 ) 16744.5 0 =25. 7 2 B因素平方和 SSb = 2T2 / k 心 C =(19 1. 4+169o 72+187o 92) /(3X 2) 16 744 50 = 45o 24 C因素平方和 s Sc = T?c / kc r - C = (165。8 + 1 95。42+187.82)/ (3X2) 一 16 744 50 =7若F检验显著，说明 存在交互作用，二者不能合并，此时只能以MSp进行F检验与多重比较

24、。 本例MS./MS2=802 0 0* ,模型误差均方 MSel与试验误差均方 MS八 差 异极显著，说明试验因素间交互作用极显著,只能以试验误差均方 MSe2 进行F检验与 多重比较。 F检验结果表明，药剂种类(A)、浓度(B)、剂量(C)3因素对花生产量都有极显著 影响;区组间差异不显著 3、多重比较 (1 )若模型误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可能出现交互作 用的混杂，此时各试验因素水平间的差异已不能貞正反映因素的主效，因而进行并因素水平 间的多重比较无多大实际意义，但应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平 组合。进行各试验处理间多重比较时选用试验误

25、差均方MSc2o模型误差显著，还应进一步试 验,以分析因素间的交互作用. (2)若模型误差不显著，说明试验因素间交互作用不显箸，各因素所在列有可能未出 现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差异能貞正反映因素的主效，因而进行务因素水平 间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合, 得到最优水平组合。 进行各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方 M S e =(S Sei + S Sg?) / ( f刃+ dff?) 此时可不进行试验处理间的多重比较。 本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进 行试验处理间的多重比较，

26、以寻求最处理，即最优水平组合。为了让读者了解多重比较 的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较。 （1 ） A、B. C因素各水平平均数的多重比较 表11-12 A因素各水平平均数的多重比较表（SSR法） A因素 平均数园 駆2893 31.83 X10* 30.73 1.80* 28.93 表11-13 B因素各水平平均数的多重比较表（SS/?法） B因素 平均数凰 Q-28.28 园3佃2 | 31.90 3.62 31.32 3.04 28.28 -I 表11-14 C因素各水平平均数的多重比较表（SSR法） 0素 平均数凰 S 27.63 |-31.30 j 32.57 4.94* 1.27* 1 31.30 3.67* * 27.63 因为 由啖=8和山2,3,查得SSR值并计算出厶SR值列于表ll-15o 表1 1J5 SSR值与值表 df k SSRoos SSRo.oi URo.05 bSRo.oi 8 2 3.26 4.74 0.33 0.47 3 3J9 0.34 00 多重比较结果表明：A因素各水平平均产量间、B因