用GARCH模型预测股票指数波动率

1、用GARCI模型预测股票指数波动率目录Abstract1. 引言2. 数据3. 方法3.1.模型的条件平均 32模型的条件方差3.3预测方法3.4业绩预测评价 4. 实证结果和讨论5. 结论ReferencesAbstractThis paper is designed to makea comparison between the daily conditional varianee through seven GRAChhodels. Through this comparison, to test whether advaneed GARCH models are outperform

2、ing the sta ndard GARCH models in predict ing the varia nee of stock in dex. The database of this paper is the statistics of 21 stock in dices around the world from 1 January to 30 November 2013. By forecast ing one step-aheadcon diti onal varia nee within differe nt models, the n compare the result

3、s within multiple statistical tests. Throughout the tests, it is found that the sta ndardGARCH model outperforms the more adva need GARCH models, and recomme nds the best one-step-ahead method to forecast of the daily conditional variance. The results are to strengthen the performance evaluation cri

4、teria choices; differentiate the market condition and the data-snooping bias.This study impact the data-snooping problem by using an extensive cross-sectional data establish and the advanced predictive ability test. Furthermore, it includes a 13 years period sample set, which is relatively long for

5、the unpredictabilit y forecasting studies. It is part of the earliest attempts to inspect the impact of the market condition on the forecasting performance of GARCHmodels. This study allows for a great choice of parameterization in the GARCH models, and it uses a broad range of performance evaluatio

6、n criteria, including statistical loss function and the Mince-Zarnowitz regressions. Thus, the results are more robust and diffusely applicable as compared to the earliest studies.KEY WORDS:GARCHmodels; volatility, conditional variance, forecast, stock indices.1.引言波动性预测可以运用到投资组合选择， 期权定价，风险管理和以波动性为基础

7、的交易策略。 garcH模型族被广泛的运用在模拟预测金融资产的波动性。另一个普遍运用的模式为简单 的时间序列模型，例如指数加权移动平均(EWMA模型和复杂随机波动性模型(Poon and Granger,2003)。对不同金融市场波动性的预测，Ederington在2005年发现GARC模型通 常的表现优异于EWMA模型。同样的，关于随机过程的波动率建模，有强有力的证据证明 随机波动模型的样品性能堪比 GARC模型(Fleming and Kirby,2003 ).标准GARC模型于1986年被Bollerslev 提出后，为了规范条件方差，更多复杂的GRACH模型参数被提出。这些先进的 GA

8、RCH模型试图去更好的捕捉经验主义观察到条件方差的过 程。例如，EGARCI型，GJR模型，TGARC模型和NGARC模型获得的负返回流的非对称性 效应。更为广义的参数化，像 APARC模型和HGARC模型，包含大量较为简单的 GARC模 型(Zakoian, 1994 )。尽管如此，用复杂的GARC模型族来预测成绩并未让人留下深刻印 象。Bali 和 Demirtas (2008)利用 GARCI模型，EGARC模型和 TGARC模型预测 S&P500 的未来指数。他们发现EGARC模型最精准的预测了未来实际的波动性。Cao和Tsay在1992 年提出EGARCH模型对小型股票提供了最好的长

9、期预测，但是对于大型股票来说，其他时 间序列模型会更为适合。Alberg( 2008)发现 EGARC模型为 Tel Aviv Stock Exchange(TASE) 的股票指数提供了最好的方差预测。然而，Ederington和Guan却指出在对大量资产种类 波动性进行预测的过程中，GARCI模型和EGARC模型是没有显着差别的。Lee在1991年 提出，GARC模型对样本外预测成绩取决于损失评估标准。2004年，Taylor比较了五种不同的GARC模型，发现GJR和IGARCH莫型是最好的。利用均方根误差，平均绝对误差和 平均绝对百分比误差的 GJR模型被Brailsford 认为是最好的

10、(1996)。但是，Franses和 Van在同年利用方差中值作为损失标准，发现QGARC和 GARC莫型在样本外预测上的表现 优于GJR模型。预测汇率的波动性，Brooks和Bruke (1998)发现GARC模型倾向于均方 误差，但不建立在平均绝对误差的标准上。 2004年， Balaban 发现在预测汇率波动性上， EGARC模型为最优，GJR莫型为最差。但是，预测的优异取决于所选的损失标准。 因为严重参数化的模型更有利于获得多维度的波动性数据，因此一个好的实例在转变为样 本外预测时可能并不重要。 在样本外预测能力方面， 简单的模型往往比复杂模型更有优势。通过比较330中ARCHfe型的

11、预测模型，Hansen和Lunde(2005)发现并没有证据证明 GARCH 模型优异于其他复杂的模型。但是，建立在对 IBM股票市场的研究基础上，发现非对称的GARC模型比GARC模型表现更好。同时，非对称 GARC模型在美国国债收益率一周前预 测上表现最为突出。大量的研究结果表明，在样本外预测成绩上，简化的GARC模型优于严重参数化的模型（Hwang 2005）。可是，另一组研究数据表明较为复杂的 GARC模型对 波动性提供更好的预测。Ulu在2005年提出QGARC模型在样本外预测上表现的更好。 Hansen和Lunde通过比较一系列 GARCH模型，发现APARCH模型在预测上比过于简

12、单的 GARC模型更为准确（2006）。对马德里股市指数（IBEX-35）波动性的预测，Niguez提出 分整APARC模型提供了最为准确的预测（2008）。Antonakakis和Darby则提出FIGARCH 模型对工业化国家的汇率波动性预测提供了最好的依据，然后IGARCH模型则是服务于发展中国家（ 2013）。最终，一定量的研究提供了不同的结果，并且建议预测时间段和市场 状况可能决定了预测最佳模型的选择。 模型化和预测汇率的波动性，Akgul和Sayyan发现 在GARCH模型族中没有明显的优胜者（2008）。通常最佳的预测时间段为10-30天，非对 称GARC模型和线性GARC模型的

13、预测结果在数据上是一致的（Kisinbay,2010 ）。但是， 对于时间段较短的预测，非对称性模型会更有优势。Chia ng和Hua ng提出GARCI模型中在牛市表现突出，然而在熊市中则应选择 EGARC模型（2011）。综上所述，对于哪个GARC模型能够提供最为精准的预测并没有共识。不同的研究，不同 的时间段，不同的资产组合和不同的评价标准会导致不同的GARC模型参数。但是，通常在非对称模型和对称模型中选择前者。通过对全球21个股票指数用7种不同的GARC模型进行分析,并且选用适当的基准,损失 标准和对数据偏误的预防。数据探测法的问题在于GARC模型相关预测文献的相互渗透。当在单一数据库

14、的基础上比较不同 GARC模型时，某个模型可能比基准模型表现的更为出 色，因为偶然性代替了优越的预测能力。根据出样品的性能，用不同的数据去支持不同的 GARCH型这一方式是被普遍接受的。因此，现有的文献充斥着大量相矛盾的实证证据。主观上的结果证明GARC模型的预测成绩对数据的设置是很敏感的，同时没有一个GARCH模型可以为所有的股票指数提供最好的预测。因此，一个宽泛的分类排列数据设置对用GARC模型评估预测近期数据是重要的。例如，Hansen和Lunde在2005年的研究中指出，可争辩的为在目前最为全面的文献为330种ARCH类别模型预测能力的比较仅仅建立在 2个数据集的基础上，即每日邮报外汇

15、汇率和 IBM日收益。本文将通过两种方式尽量避免数 据偏误问题。首先，利用全球 21个国际股票指数超过13年的数据来比较GARC模型族的 预测成绩。其次，将引用 Hansen在2005年提出的高级预测能力测试（SPA与GARC模 型进行比较。SPA模型为比较多样的预测模型提供了数据结构，这可以保证本文的实证结 果不会受到数据集的影响，同时可以反映出 GARC模型真正的预测能力。此研究的另一个贡献为检验不同 GARC模型在不同市场条件下的预测能力。市场情况对利 益产生过程和投资者行为有很大的影响。但是，这方面并没有吸引到足够多对波动性学术 研究的认识。我们分别在牛市和熊市两种市场条件下比较GAR

16、C模型的预测结果。这种调查研究会产生一些有价值的论断。例如，GRACK型的相对预测表现对现行的市场状况是 敏感的，而且这种差别在牛市中更为显着。在方法论取向上，允许有更多参数化的设置， 从而保证有充分弹性模拟复杂的波动动态。为了缓解GARC模型滚动估计的计算负担，一些研究会对所有GRAC模型运算过程假设最简单的设定滞后期（p=q=1）。但是，这种假设 是有约束性的。因此，利用赤迟信息（AIC ）准则来决定优化滞后期。此外，许多的成绩 评价标准用来比较预测模型。 为了证明本文的发现是有根据的， 将运用四种统计损失函数， 扎诺维茨回归和SPA检测来比较预测结果。发现先进的 GARCH模型与标准GA

17、RC模型相比 并未提供更好的样本外预测。大量令人迷惑的 GARC模型在文献中被提出，试图把条件方 差步骤与程式化事实相混合。然而那些先进的 GARCH模型可能有利于理解条件方差多方面 的特征。我们的结论指出这些并没有在预测应用中提供任何额外的价值。先进的GARC模型参数很有可能带有历史数据的特质，与条件方差过程的未来实现没有联系，这对于未来 成绩的预测有着负面影响。从实用性出发，此文会解决模型选择问题，标准的GARC模型对于未来的预测已经足够。对于以后的研究，主要的应用为可能需要额外的调查来检测参 数的持续性。例如，如果杠杆效应的参数长期高度不稳定，剔除这个因素可能会提高模型 样本外预测的表现

18、。本文将会第二部分将会讨论在分析中运用到的数据集；第三部分将会描述比较GRAC模型族预测成绩时所用到的方法；第四部分将会讨论实证结果；第五部分将做出总结。2.数据利用全球21个主要股票市场从2001年1月1日到2013年11月30的每日结算价作为数 据集。8个样本来自欧洲，9个来自于亚太地区和4个来自于美洲。数据来自于彭博金融 数据库，用GARC模型族预测了每个股票市场的日波动率。出于可比性的考虑，所有股票 市场取样的时间阶段和样本外预测的数量都是一致的。为了确保一致性，我把所有样本数 据截为3395交易日数据。部分数据从雅加达证券交易所综合指数取得。3方法3.1 .模型的条件平均表1 ：日收

19、益序列的描述性数据In dexMea nSDSkew nessExcess-KurtosisMaximumMi nimum|AEX-3.70024.017-0.0533.37810.028-9.590AORD3.76515.780-0.6083.4055.360-8.554ATX5.71323.749-0.3044.09010.021-10.253BEL20-1.00320.9340.0462.8479.334-8.319SENSENX9.82325.725-0.1823.39215.990-11.809IBOV8.21529.583-0.0900.76713.677-12.096CAC-2.

20、25324.3180.0271.65410.595-9.472UKX-0.01320.017-0.1242.9159.384-9.265GD-10.97027.907-0.0181.14913.431-10.214DAX2.33525.0140.0241.13910.797-7.433SPX1.54320.839-0.1744.66110.957-9.470SPTSX3.51318.942-0.6405.7279.370-9.788HIS2.29025.045-0.0684.77413.407-13.582JCI13.40823.401-0.6782.9027.623-10.954KOSPI4

21、.79326.927-0.5302.27711.284-12.805MERVAL17.09333.647-0.1211.78816.117-12.952NKY-1.41524.966-0.4193.24613.235-12.111SHCOMP3.40825.456-0.0871.1729.401-9.256SMI0.91019.3850.0153.15110.788-8.108STI1.47319.416-0.4233.1277.531-9.216TWSE-0.29723.827-0.236-0.2696.525-9.936Awatani和Corradi在2005年用6个不同的条件平均等式为依

22、据比较了不同的 GRAC类模 型。他们发现在不同条件平均等式下，预测表现排行保持一致。例如选用最早由 Engle 在 1987 年提出的一般等式：其中rt和s t2时间t的条件均值和条件方差，& t代表时间t的新制度发明。值得注意的是这些技 术参数是简单模型的结合，如恒定的平均模型（山=0）和零均值模型（uo=ui=O）。3.2. 模型的条件方差关于GARCH模型族的文献记录是广泛的.但是，本文只选用七个更为普遍的 GARCI模型,即GARCH, EGARCH, GJR-GARCH,TGARCH,AVGARCH,APARGARCH 等式如下。这些等式由 Han sen 和 Lunde 在 20

23、05 年提出。这里 t2为时间t的方差。& t制度创新等市场外界因素，并且 et= & t t-1为时间t的标准化创新。 当 & t0 时， t+= t；当& 芒 0 时，& t+=0。同样地，当 & 芒 0 时，& t = t；当 e t0 时， t =0。 其余的参数则代表最大似然估计方式下的参数估计。3.3 预测方法对每一个指数，产生了 1394个一期预测数据，利用 2000个固定滚动窗口大小的观测值， 重新估计每个时间段的参量。这些参数由最大似然率方法估量。因为对评估窗口的最佳规 模没有具体的理论性描述，因此估计的选择通常是主观的。一般来说，选择大型的评估窗 口是满足统计需要的，会提高

24、参数估计的效率。一个实用的考虑为，利用一个足够大的评 估窗口可以避免基于似然估计的控制弊端，特别是估量参数较多的GARC模型时。可是，利用长估计窗可能在相等的权重方案下是有反作用的。例如移动平均模型，可能会被过去 信息所影响以后不再相关。可是，这种考虑可能不适用于GARC以指数方式缩减权重，会限制数据的作用。对估计窗长度的选择（N=2000天）是建立在之前用GARC模型预测应用的基础上。之前的 预测研究表明利用相似的估计方式包括：Ferula no在2009年提出N=2000天，75个金融资产属于混合资产组合；Vinga在2012年提出N=2000天，利用标准普尔500指数；Hansen 和L

25、unde在2005年提出N=200Q利用IBM股票数据；Alberg在2008年指出N=1911天， 利用TA100股票指数；最后，Karmakar和Shukla在2015年提出，N是在2210天和2272天之间浮动，建立在 6 个国际股票指数基础上。接下来，将引进一些符合注释。N 代表估计窗的规模。M为样本外预测的数量（本文为 1394个）。s t2为时间t的真实方差。s t2的样 本回归函数形式为其一期预测值，建立在 阳门-2,rt-n的信息基础上。t=N+1,N+M为预测模型 估计参数的向量。最佳模型的选择建立在 AIC 的基础上。3.4 业绩预测评价业绩预测的评价是一个意义重大的任务因

26、为以下 2个原因。首先，真正的条件方差不是可 以直观观测到的。其次，对于选择一个最好的预测模型没有固定的衡量标准。为了解决第 一个问题，高频率的数据库通常把方差看作为真实条件方差的近似值（Anderson， 2003）。但是这对获得所有股票指数高频率的数据是不实际的，我们把基于范围的估计量作为真实 条件方差的代用品，看作是可供选择的。进一步说，由于观测值的数据量太大，高频数据 的处理过程在计算上是复杂的，同时受不定期间隔时间段和微观结构噪音影响。基于范围 估计的因素，效率通常为历史方差数据的 5到14倍（Ya ng and Zha ng，2000）。Alizadeh 发现基于范围波动的代替品是

27、高度有效率的，并且强化微观结构的影响。实证证据也证实 了基于范围估计量可以规范模型潜在的波动。Shu和Zhang在2006年发现基于范围估计量 为日波动性整合提供了非常精确的估计。 最近， Todorova 对法兰克福股票指数的研究表明 所有基于范围的估计量要优异于传统以日收益为基础的估计量（2012）。目前有 4种较为重要的基于范围波动率估计量分别为帕金森估计量，德国克拉斯估计量， 罗杰和萨切尔估计和杨张估计。本文将选用杨和张日波动率估计，等式如下： 这里， Oi， Hi， Li 和 Ci 分别代表在时间 t 时的开盘价，最高价，最低价和收盘价。对数收 益率为 O=ln Oi-ln C-1，

28、 hi=lnH-In 0，l i=ln L-ln Oi，Ci=lnC-ln Oi。在收益均值中，n 为 杨张估计日方差时所选用的样本数。在 2000年，杨张估计证实了 n=2 时可达到峰值效率。 因此我们在本文中选用 2天数据。第二个问题是为选择出的最佳预测模型选择适合的业绩评价标准。普遍的途径为在多重损 失函数的基础上评价预测竞争。我们选用由Koopman在 2005年提出的关于损失函数的四这里s t2的样本回归函数为t的方差预测， t2则为时间t的真实方差。样张估计量作为 t2真实方差估计量的代表。 Patton 在 2011 年证实，在错综负责的代理量前，一些损失函数可能会选择一 些对于

29、真实方差数据来说并不完美的预测。在这些所选的损失函数中， MSE 是唯一一个强有力的 代替量。尽管如此， 在已存在的学术研究角度从竞争性和比较性的角度考虑， 我们从所有损失标准 中评价预测结果。同样， 也可利用扎诺维茨回归模型。 作为一个长期运用在预测分析中的模型，在此过程中，真实的方差系列s t2回归函数基础上退化。在此回归中，R2用来分析评价预测的准确度。最后，我们利用Hansen 在 2005 年提出的“卓越预测能力测试” （SPA ）来比较各个预测模型。这种方式的争论点 在于， 对于不同的数据样本， 一个简单的模型在反对其余模型时仅可提供少量的信息。 在一个具体 的样本中，一个预测模型

30、可能因为信息偏误造成的机遇而优异于其他模型， 并不是卓越的预测能力。 SPA 检测为多种预测模型相比较提供了统计框架。文章剩余部分，GARCH 模型将被选做为基准模型，其余的六种模型则被看作为竞争模型。4.实证结果和讨论图2比较了不同GARC模型在不同损失标准下预测的精确度，并且提供了模型排名数据。 数列A为在MSES准下7种GARC模型的比较。对任何一个股票指数，都由一（最佳）至V 七（最差）排列。GARCH模型以2.952的平均值胜出于其他所有模型。TGARC以 3.667的 数据排名第二。APARC预测成绩最差，数据为5.095。有意思的是，APARC模型与GARCH 的规格最为相似，他

31、是GARCJH TGARCHAVGARCH, GJ和 NGARC模型的综合。为了检测数据是否比预期机会更为重要，我们在零假设下观察累计二次概率，通常零假设 为每个模型成为最佳模型的概率是均等的。结果中 p 的数值代表最好排名指标中统计的显 着性（数列A）。相似的，最差排名指标同样与 p数值相联系。GARC和EGARC模型股票指 数最多的 2 个最佳模型， 二项相关测试建议这些数据在 10%水平统计性显着。 但是， EGARCH 模型在九个股票指数预测中表现为最差模型， 然后GARC模型从未被评为最差模型。最终， 我们选择GARC模型作为基准并以MSE衡量为标准与其他模型相比较。我们发现在5%勺

32、置 信区间内，GRAC的 MSE中位数明显低于NGARCH,APAR和HGJR模型。数列B是以HMS标准为基础的比较结果。在均值排名中，GARC模型仍以最低的均值3.333 从其他所有模型中脱颖而出。TGARC模型以3.476的均值位列第二位。AVGARC模型预测 成绩最差，均值为4.476。众多的指数中，GARC，TGARC和 NGARC模型经常作为最佳模 型；而AVGARCft NGARC模型总是排名最后。威氏符号秩次检验表明在10%勺置信区间内， GARC模型的HMS中值明显低于NGARCH,APAR和HGJR模型。数列C是以MAE标准为衡量基础比较各种模型。在这里，GARC模型为最佳模

33、型，APARCH模型为最差模型，均值分别为2.762和4.905。TGARC模型排名第二，均值为3.524。GARCH 模型在 9个股票指数中都排名最佳且从未出现在最差的位置。 威市符号秩次检验表明在 5% 的置信区间内，GARCHI型中值明显低于NGARCH,APARCH,G模型中值。最终，数列 D在 HMA标准基础上比较各模型，各个模型的成绩是很相似的。GARC模型的均值仍未最低，尽管与别的模型数值相比差别是微小的。NGARC模型的表现在不同的股票指数中波动比较 大。他在7个股票指数中表现为最佳模型，但在 8个指数中表现为最差模型。GARCHI型 在 4 个指数中为最佳模型在一个指数中表现

34、最差。图二：在不同损失标准的基础上比较各 GRAC模型预测的精准度注： 对任一个指数把各模型从一（最好）至七（最差）排列。统计性显着 1%和 5%的水平分别由 * 和 * 显示。为了检测此结论是否适用于不同的市场环境，把整体样本时间段分为五个连续的子时间段：四个子时间段为 279 天，剩余一个子时间段为 278 天。对任何一个股票指数来说， 根据他们真正的收益将其分类。把子时间段分为最高收益和最低收益，作为上升趋势和 下降趋势时间段。性能评估的运用是把市场上升趋势和下降趋势分开分析，图三为分析 结果。简单的说，我们只描述了不同 GARCK模型的均值排行。与之前结果一致，GARCH 模型在所有损

35、失标准比较中都有着出色表现。这种 GARC的优异表现在上升趋势的市场 条件下表现的更为显着。在上升的市场环境下，GARC和 NGARC模型表现最好；在下降趋势市场环境下，GARC和 APARC模型表现最好，AVGARCft NGARC模型表现最差。 图四为建立在扎诺维茨回归基础上 GARCI模型预测精确度的比较。R2的数值高代表模式 的预测结果越接近于真实情况。这个分析确定了我们早期的结论，GARC腆型的均值最低，为1.81，因此仍为最优秀模型。在假设 GARC模型的中值与其他所有模型的中值相 等的情况下进行威市符号秩次检验，发现这个假设是毫无意义的。注： 对任一个指数把各模型从一（最好）到七

36、（最差）排列。统计性显着1%和 5%的水平分别由 * 和 * 显示。接下来，以GARC模型为基准模型进行SPA检测。SPA检测的假设为，对于所选的损失 标准，没有比GARC模型更为优异的。因此，若P值低于0.05，则证明GARC模型至少 比其余一个模型优异。表 5为SPA检测结果，在MSE,MAE, H MS和 H MA战失标准下， GARC模型分别被12，13，10和12个股票指数所青睐。平均下来，对大部分的股票样 本指数来说，不管损失标准选择，GARC模型优异于其他6个竞争模型。为了检测各个 指数选择基准模型-GARCH模型的次数是不是明显高于所期望的机会值，假设所有模型成 为最佳模型的机

37、会是均等的，得出在此假设下的累积二项概率。对于所有的损失函数来 说，这个零假设拒绝哪怕是为 0.1%水平的显着性。因此，结果是令人侧目的，不管损失 标准函数选择如何，基准模型的预测结果都明显优异于其他竞争模型。5.结论我们把 GARCH模型与其他六个先进的GARCH模型相比较，分别为EGARCH,GJR-GAARCH,TGARCH,AVGARCH,APARGCAHRC模型。选取21个全球主要股票市场13年的指数为样本，发现 GARCH模型为日条件方差的一期预测最佳模型。这个结论不管成绩评价标准如何选择和市场情况如何都是有依据的。广泛的数据库选择和 SPA检测的应用使结论避免了偏误问题。这个结论

38、与Han sen和Lunde在2005年的发现相一致。先进的GARC模型参数可能在复杂模式中实时检测方差的变化过程。但是，这些模 型更青睐于以研究历史数据的性质，这与条件方差未来的发展趋势是没有联系的，这会 对它们的预测业绩产生副作用影响。本文的实证证据表明以后者作用为主，并且基础的 GARCH模型经常给股票指数方差的一期预测提供最佳结果。我们的结果符合简约原则， 这与样本外成绩预测相一致，简约模型通常比复杂模型更受欢迎。我们相信不管被哪种 理论性质所吸引，过度参数化的 GARC模型都不是预测应用的首选模型。例如，普遍认 为线性的GARC模型对非对称性模型和收益率分布偏斜的模型分析预测是不充分

39、的。可是，Gokcan在2000年提出GARC模型提供了最好的样本外预测，甚至当回归属于偏态 分布。我们的结论与之前大部分的学术研究相一致，认为非线性分析的GARC模型，例如EGARCH和GJR-GARCH模型与GARCH模型相比，没有提供更好的预测结果 (Balaban,2004 )。ReferencesAkgul,I. and Sayyan, H. (2008),“ Modelling and forecasting long memory inexchange rate volatility vs. stable and integrated GARCH models” , Applie

40、dFinancial Economics, Vol.18 No.6,pp.463-483.Alberg, D., Shalit, H. and Yosef, R. (2008), “Estimating stock market volatility using asymmetric Garch models ”, Applied Finance Economics, Vol. 18 No.15, pp. 1201-1208.Alizadeh, S., Brandt, M.W. and Diebold, F.X. (2002),“ Range-based estimationof stocha

41、stic volatility models” , The Journal of Finance, Vol. 57 No.3, pp.1047-1091.Andersen, T.G., Bollerslev, T., Diebold, F.X. and Labys, P. (2003),“Modelingand forecasting realized volatility ”, Econometrica, Vol. 71 No.2, pp.1675-1691.“Predicting the volatility of the S&P-500 stock index via GRACH mod

42、els: therole of asymmetries ”, International Journal of Forecasting,Vol. 21 No.1, pp.167-183.Bali, T.G. and Demirtas, K.O. (2008), “Testing meanvariance in financial market volatility: evidence from S&P 500 index futures”, Journal of Futures Markets,Vol. 28 No. 1, pp.1-33.Brailsford, T.J. and Faff,

43、R.W. (1996), “ An evaluation of volatility forecasting techniques ”, Journal of Banking & Finance, Vol.20 No. 3. pp. 419-488.“A long memory property of stock market returns and a new model”, Journal ofEmpirical Finance, Vol.1 No.1, pp.83-106.Ederington, L.H. and Guan, W. (2005),“Forecasting volatili

44、ty” , Journal ofFutures Market, Vol.25 No.5, pp.465-490.Ferulano,R. (2009),“ A mixed historical formula to forecast volatility”,Journal of Asset Management, Vol. 10 No.2, pp.124-136.Fleming, J. and Kirby, C. (2003), “ A closer look at the relation between GARCH and stochastic autoregressive volatili

45、ty ” , Journal of Financial Econometrics, Vol.1 No.3, pp.365-419.Gokcan, S. (2000), “Forecasting volatility of emerging shock markets: linear versus non-linear GARCH models ”, Journal of Forecasting , Vol.19 No.6, pp. 873-889.Hansen, P.R. (2005),“A test for superior predictive ability” , Journal ofB

46、usiness & Economics Statistics, Vol. 23 No.4, pp365-380.Hansen, P.R. and Lunde, A. (2005), “A forecast comparison of volatilitymodels:does anything beat a GARCH (1 ：1)?”, Journal of Applied Econometrics,Vol.20No.7, pp873-889.Hansen, P.R. and Lunde, A. (2006), “Consistent ranking of volatilitymodels”,Journal of Econometrics,Vol. 131 Nos 1/2, pp. 97-122.Hwang, S. and Satchel