平行四边形有关的常用辅助线

1、 PART A知识讲解 六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 E,FACABCDAE?CF,中，点上，且在对角线如左下图1，在平行四边形请例1F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已你以有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） BFBF?DE 连结 DB,DFDB,AC交于点证明：连结设O ,AO?OC,DO?OBABCD 四边形 为平行四边形 AE?FCAO?AE?OC?FCOE?OF 即 EBFDBF?DE 四边形 为平行四边形 D DCC FOOEBEBAA1图2图 第二类：平移对角线，把平

2、行四边形转化为梯形。 ABCDACAC?12BD， 和相交于点O例2如右图2，在平行四边形，中，对角线如果mm?10ABBD?的取值范围是（ ，那么）， 2?m?2210?m?125?m?611?m?1 BD AC DCDB?CEDC?BECDBEDB为平方向平移，使得,解：将线段,沿则有四边形?ACEAC?12CE?BD?10AE?2AB?2m ,中, 行四边形,在2?2m?221?10?m?1112?10?2m?12 ，即 解得故选A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 ABCD为平行四边形 已知：如左下图3，四边形例3222222DA?CD?AC?

3、BD?AB?BC 求证： DA,BCDF?AE?BCEF 的延长线于点证明：过 分别作，于点22222222BCBE?(BC?BE)BE?BC?2?AB?AC?AECE?AB 22222222CF?BFBD?DF?(CDCF)?2BC?CD?BC)?(BCCF 222222BE?2DACDBCABBDAC?BCCF?BC?2 则BC?ABABCDCDCDAD?AB ,且 为平行四边形四边形 090?DFC?AEB?DCF?ABC? CF?DCFBE?ABE? 222222DA?AC?BDAB?BC?CD DEC 1D3A PF2KAFBCEB4图3图 第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边

4、形转化为三角形。 E,FCDABCDDABE与4：已知：如右上图4，在正方形分别是中，的中点，、例CFPAP?AB 点，求证：交于CFBAK 证明：延长的延长线于点交ABCD为正方形 四边形 090?D?BAD?BCDAD?CDAB?CDCDAB ,且,090?DAK?D?CDF?KAF?AFDF?1?K ,又 11CD,DF?ADCE?CE?DFAK?CD?AB 220?BCD?D?90?BCE?CDF?1?2 000090?90?KPB?CPB?1?3?90?2?3?90? 则, ABAP? 第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。CDABCDE上任一点，

5、请你在该图基础例5如左下图5，在平行四边形为边中，点 上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。BCFAE 的延长线相交于，则有解：延长与FEC?FEC?FAB?AED?FABAED , ADA DNEOFCEFCB6图B5图 第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1BCBE?NE?BNABCDAN ,，在平行四边形例6已知：如右上图6,中，3BDBF:FBD ，求交于ONACOBD ,解：连结连结交于点BDOA?OC,OB?OD?ABCD为平行四边形 四边形 2BFBE11?BCONBCONANBN? 且 FOON222BF1?BE?BC32BE:ON?: 33FO2BF5BF:?

6、1BD? 5BO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。 PART B综合演练 一、一般多边行 1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？ ABC边上任意一点，

7、PBC与是3、提出问题：如图所示，在四边形ABCD中，PAD 和DBC的面积之间有什么关系？ 探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：1 AD（1）当：AP=时（如图）211S?S ABP。和AP=ADABD，的高相等，ABD?ABP2211S?S。 ，CDP和CDA的高相等，PD=ADAP=ADCDA?CDP?22S?S?S?S CDP?PBC?ABPABCD四边形11S?SS? CDAABD?ABCD四边形2211?S?SS?SS? ABCDBC?ABCD四边形四边形ABCD四边形ABCD2211S?S ABC?DBC221S与S与S 时，探求之间的关系，写出求

8、解过程；AD（2）当AP=DBC?PBCABC?31SS与S和 之间的关系式为（3）当AP=AD时，_；DBC?ABC?PBC61S和S与Sn之间的关系，探求表示正整数）时，（）一般地，当AP=AD（4DBC?PBC?ABC?n写出求解过程； mm?S与S和S01?AD关问题解决：当AP=系为之间的时，DBC?PBC?ABCnn? 。_ 二、多边形 m是多边形ABCDE的对称轴，其中A=130、如图，如果直线，B=110，1那么BCD的度数等于（ ） A、40 B、50 C、60 D、70 ?329021，检和、C2、一个零件的形状如图所示，按规定A应等于应分别为，B?148 验工人量得BDC

9、=，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？ cm的正方形板子，另一块是上底为、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为360cmcmcm的直角梯形板子（如图）60，下底为120，王师傅想将这两块板30，高为子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。 （1）求BC的长。 xcm）为多少时，矩形的BC边的距离（2（）利用图求出矩形顶点B所对的顶点到y 面积2cm （）最大？最大面积是多少？ ）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大

10、的正方形的边长。（3 三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同） 1、如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。 （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。 1DC且。GH=点G、H在DC边上，F2、如图，在矩形ABCD中，E、分别是AD、BC的中点，2 。若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_ 3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并