江苏省盐城市2008-2009高三第一次调研考试数学试题

1、气温（0C）181310-1用电量（度）24343864的用电量与当天气温，并制作了对照表:观测次数i12345678观测数据ai4041434344464748左视图第3题第7题盐城市2008/2009高三第一次调研考试（总分160分，考试时间120分钟）nn送 Kyi nxy 送(人x)(% y)参考公式：线性回归方程的系数公式为b =琲二斤，a = y-bx.2 一2 一 2、xi -nx、 （Xj -X）i 4i4、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上1. 已知角a的终边过点P （ 5,12）,则COS。=_.2. 设（3 +

2、i ）z =10i （ i 为虚数单位）,则 | z |=.3. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为 .x _0, y _0I 74. 设不等式组 x乞2 所表示的区域为 A,现在区域 A中任意丢进一八21个粒子，则该粒子落在直线 y=x上方的概率为 .2 5. 某单位为了了解用电量 y度与气温x0C之间的关系，随机统计了某 4天由表中数据得线性回归方程$二bx a中b = -2，预测当气温为-4C时，用电量的度数约为 .6. 设方程2ln x =7 -2x的解为,则关于x的不等式： x0的最大整数解为.7. 对一个作直线运动的质

3、点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中a是这8个数据的平均数）,则输出的S的值是.8.设P为曲线C : y =x2 - x 1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3,则点P纵坐标的取值范围是 9. 已知aj是等比数列，a2 =2,4 =8,则 aa + a2a3+a3a + ana“=.10. 在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线 xy二k ( k . 0 )上任意一点P ,若点P在x轴、y轴2 2上的射影分别为M、N ,则|PMPN必为定值k ”.类比于此，对于双曲线笃_古=1 (a 0 , b 0)上任意

4、一点 P ,类似的命题为：.11. 现有下列命题：命题“ X- R,x2 x 0 ”的否定是“ x R, x2 x 0 ”；若 Ax|x .0二 B：x|x _-1,则 A|(eRB)=A ；函数 f(x)=sin(xX 0)是偶函数的充丄兀4444444要条件是-( Z)；若非零向量 a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则b与(a-b)的夹角为60 o.其中正确命题的序号有 .(写出所有你认为真命题的序号 )2 212. 设代F分别是椭圆 笃爲=1(a .b 0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点 P,使得线段a bPA的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是 .13.

5、 如图，在三棱锥P - ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA = 3,PB = 2, PC = 1.设M是底面ABC 内一点，定义f (M ) = (m, n, p),其中m、n、p分别是三棱锥 M - PAB、三棱锥M - PBC、三棱锥M - PCA的体积.若f(M (2,x, y),且21 a-+-色8恒成立，则正实数a的最小值为 .X yA14. 若关于x的不等式X2 v2-x-t至少有一个负数解，则实数 t的取值范围是.二、解答题：本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)-6已知在.

6、ABC中,cos A , a,b,c分别是角A,B, C所对的边.3(I )求 tan 2 A ；22(n )若 sin( B) = , c = 2 J2 ,求厶ABC 的面积.23第16题16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P - ABCD中，侧面PAD _底面ABCD ,侧棱 PA PD ,底面ABC是直角梯形，其中BC / AD , BAD -900, AD 二 3BC , O 是 AD 上一点.(I )若CD /平面PBO,试指出点O的位置；(n )求证：平面PAB _平面PCD .17. (本小题满分15分)如图，某小区准备在一直角围墙 ABC内的空地上植造一块“绿地:ABD

7、” ,其中AB长为定值a, BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在:ABD的内接正方形 BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S与种花的面积 S的比值 S称为“草花比y ”.S2(I )设.DAB - v ,将y表示成二的函数关系式；(n)当BE为多长时,y有最小值？最小值是多少？A EB第17题18.(本小题满分15分)已知C过点P(1,1),且与M ：(X 2)2 (y 2)2 =r2(r 0)关于直线x y 0对称.(I )求 C的方程；(n )设Q为匚C上的一个动点，求PQ MQ的最小值;(川)过点P作两条相异直线分别与 Zl C相交于A, B ,且直线PA和直线PB的

8、倾斜角互补，0为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由19.(本小题满分16分)已知函数 f (x) =(x2-3x 3) ex定义域为 L2,t(t ,-2),设 f (-2) = m, f (t)工 n.(I )试确定t的取值范围，使得函数f(x)在-2,t 1上为单调函数；(n)求证：n m ；I(川)求证：对于任意的t -2,总存在x0 (-2,t),满足=-(t -1)2,并确定这样的x0的个数.e0320.(本小题满分16分)在正项数列 a; 中，令Sn(i)若是首项为ni T , aii ai 125,公差为2的等差数列，求S100 ；npp为正常数)对正整数 n恒成

9、立，求证:a,为等差数列; ,a . an 1(川)给定正整数k,正实数M ,对于满足a12 - a：1的所有等差数列 曲,求T = ak 1 ak 2 a2k 1的最大值.(n)若 Sn =盐城市2008/2009高三第一次调研考试数学附加题（总分40分，考试时间30分钟）21. 选做题在A、B C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区 域内A. （选修4 1:几何证明选讲）C第21题(A)如图，:ABC是O O的内接三角形，PA是O O的切线,PB交AC于点E ,交O O于点D，若PE = PA ,.ABC =60；, PD =1, BD =8,求

10、BC的长B. （选修4 2:矩阵与变换）二阶矩阵M对应的变换将点（1 , - 1）与（2, 1）分别变换成点（1, 1）与（0，- 2）. （I ）求矩阵M的逆矩阵M丄；（II ）设直线I在变换M作用下得到了直线 m： 2x y=4,求I的方程.C. （选修4 4:坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆匸=3上的点到直线 冷cost 、3si-2的距离为d ,求d的最大值.D. (选修4 5:不等式选讲)设 a,b,c 为正数且 a +b +c =1，求证：(a +1)2 +(b +1)2 +(c +1)2 启100 . abc 3必做题第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸

11、的指定区域内22. （本小题满分10分）第22题如图，ABC是菱形，PA!平面 ABCD PA=AD2,Z BAD=0（I）求点 A到平面PBD的距离；（I）求二面角 A PB- D的余弦值.23. （本小题满分10分）2袋中装有黑球和白球共 7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1球,7甲先取，乙后取，然后甲再取，,取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止 .每个球在每一次 被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.（I ）求袋中原有白球的个数；（I ）求随机变量 的概率分布及数学期望 E;（川）求甲取到白球的概率.盐城市2008/2009高

12、三第一次调研数学参考答案、填空题：1. -A1329.（1-4n）3本大题共14小题，每小题5分，计70分.3.6 二 4.35.6842.1010.若点P在两渐近线上的射影分别为6. 47. 78.N，贝U PM PN必为定值a2b2a2 b211.12.1,1_213.114.（9）116小题，计15. 解：（I ）因为 cosA , 3.丄小 “ 2ta n Ar-tan 2 A22 2 1 -tan A丄兀222,21（ n）由 sin（ B）,得 cosB, sin B 2 33376贝U sinC =sin（A B） =sin AcosB cosAsin Bcsin A12J9由正

13、弦定理，得a二= 2 , AABC的面积为S = 1 acsin B二 “sin C2316. （ I ） 解:因为CD/平面PBO , CD 平面ABCD ,且平面ABCD门平面PBO = BO ,所以 BO/CD 又BC / AD ,所以四边形BCDO为平行四边形，则BC二DO而AD =3BC ,故点O的位置满足AO =2OD （n ）证：因为侧面PAD _底面ABCD , AB 底面ABCD ,且AB _交线AD ,所以AB _平面PAD ,则AB _ PD 又 PA_PD,且 PA 面 PAB,AB 面 PAB, AB “PA二 A,所以 PD _ 平面 PAB 而PD 平面PCD ,

14、所以平面PAB _平面PCD1 oJI17. 解：（I）因为 BD =ata n,所以厶 ABD 的面积为丄 a2 ta n （二（0,）2 2DG /口 t a tan -t=,得一=,DB a a tan二、解答题：本大题共90分.3sin A ,则 tan A32（4分）（7分）（9分）（11 分）（14 分）（4分）（6分）（7分）（10 分）（13 分）（14 分）（2分）设正方形BEFG的边长为t,则由FGAB解得-atanJ则士叱1 +tan 日（1+tan）1 2 1 2所以 S= a2 tan日S2= a2tan日一2 2（6分）a2tan2 ,则 = （1*喻日）2 “ ,

15、 （1 ta n）2S22ta n（n ）因为 tan 二（0,二），所以 y=】（ta n2）-1 二（ta n-） - 12tan 日2tan 日当且仅当tan v -1时取等号，此时BE二旦.所以当BE长为a时，y有最小值1 2 2（9分）（13 分）（15 分）18.解：(I)设圆心C (a,b),则a_2 b-2 c 2=02 2b 2,1a 2(3分)则圆C的方程为x2 y2二r2,将点P的坐标代入得2 2 1 +(n )设 Q(x, y),则 x2 y2 = 2,且 PQ MQ = (x-1,y-1) (x 2,y 2)=x2 y2 x y-4=x y-2,所以PQ MQ的最小值

16、为-4(可由线性规划或三角代换求得 )(10分) (川)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA: y _ 1二k(x _ 1),fy 一1 = k(X -1) f222PB: y -仁k(x-1),由 22，得(1 k2)x2 2k(1 k)x (1 k)22=0x + y =2r2 =2,故圆C的方程为x2 y2(5分)(7分)(11 分)k2 _2k _ 1因为点P的横坐标X =1 一定是该方程的解，故可得xA = _2k/ 1 + k2同理必,所以 kAB= k(XB XA= 2k k(xB Xa)才=如1+k2所以，直线AB和OP 定平行19. ( I)解：因

17、为 f (x)二(x2 -3x 3) ex (2x -3) exx -1) ex由 f (x) 0= x -1或x ：0; 由 f (x) : 0=. 0 ：. x 1,所以 f (x)在(_：,0),(1,：)上递增, 在(0,1)上递减欲f (x)在L 2,t 1上为单调函数，贝y -2 : t 0(n )证:因为f(x)在(_：,0),(1,：)上递增,在(0,1)上递减,所以f (x)在x = 1处取得极小值13又 f(-2)2 : e,所以 f (x)在-2,e从而当 t 亏 -2 时,f( -2) ： f (t),即 m ： nf(X0)2亦“ f(X。)2-X0 ,所以Xb _X

18、aXb _XaXb Xa(13 分)(15 分)(2分)(4分)(5分) e(7 分)上的最小值为f(-2)(9分)(10 分)2 2 2 2 X0r 八0X0(t 一1)即为 X) X0 (t 一1),ee 332 2 2 2 2 2令g(x)二x -x (t -1),从而问题转化为证明方程g(x)二x -x (t -1) =033在(-2,t)上有解，并讨论解的个数2 2 2 2 2 1因为 g(2) =6 -一(t 一1)2 二-(t 2)(t -4), g(t) =t(t -1)一一(t 一1)2 =(t 2)(t -1),所以3333当 t -4或 -2 :：:t ：1 时，g(-2

19、) Q(t) ： 0,所以 g(x) =0 在(-2,t)上有解，且只有一解(川)证：因为eXo(12 分)(13 分) 当 1 :t : 4 时，g(2) 0且g(t) 0,但由于 g(0) - - 2(t-1)2 ： 0,3所以g(x) =0在(_2,t)上有解，且有两解 (14分) 当t N时，g(x) =x2 -x =0 x =0或x =1 ,所以g(x) =0在(-2,t)上有且只有一解； 当 t = 4 时,g(x)二 x2 -X -6 =0二 x = -2或x = 3,所以g(x) =0在(_2,4)上也有且只有一解 (15分)I综上所述,对于任意的t -2,总存在x0 (-2,

20、t),满足丄=Z(t_1)2,ex03且当t -4或 -2 :亡1时，有唯一的X0适合题意；当1 t 4时，有两个X。适合题意 (16分)(说明：第(n )题也可以令(X)= x -x,x，(-2,t),然后分情况证明；(t-1在其值域内，并讨论直32 2线y (t -1)与函数 (x)的图象的交点个数即可得到相应的X0的个数)320. （I）解：由题意得，Jaiai 1（n）证：令 n =1, p1旦虫，所以s100比01耳=52（4分）肩炼一莎皿则P=1.nn： ；1所以 Sn=（1） , Sn -1 =（2）,1 . ai * ai1, a1an 1y,ai：戶.1a1an .2（n D

21、 _ n _1（n 1）p（5分）（2） （ 1）,得-3an2,3?；an1,an1川4；an化简得（n 1）an 1 -nan .2（n 2）an 2 -（n 1总在（3）7（n _1） （3）3 =a（n 1）（4）, （4）（3）得 an1an3 =2an2（n1）中令n =1,得a a2a2,从而an?为等差数列 （7分）（9分）（10 分）（川）记k（k +1）t =ak 1,公差为 d ,则T =ak 1 - ak .2 爲爲a?k -1 = （k - 1）t； d（12 分）kd2222-t , M _a2 a爲二t2 （t -kd）2kd、21则工k 1-4（t 号）2 （4

22、t -3kd）210 2 10-存号）2化）2（14 分）则t Jk “丽,当且仅当4t =3kdW）2kd 2 ,即10时等号成立 d 二（16 分）数学附加题部分21. A.（几何证明选讲选做题）解:因为 PB=PD+BD=1+8=9PA2又 AED L BEC ,所以 BC = 2、7B.（矩阵与变换选做题）解：（I ）设a bc d,则有ac=PD BD=9,PA=3,AE=PA=3连结 AD,在 ADE 中，得 AD = . 7 （5 分）（10 分）所以aZ,且fbF（cd=1l-2c+d=-2所以叫4,从而M丄-23b 1= - , a b-2 = 0,d. l. l c d j

23、 .|L2a =1H L Q,解得 -c =3d =411 2 一x _ 12 x _ x 2y 且制 I? dtJ !x+4y 一所以2（x+2y） - （3x+4y）=4,即x+4 =0,这就是直线I的方程C.（坐标系与参数方程选做题 ）解：将极坐标方程：_ 3转化为普通方程：x2 y2 =9cos 3sin 二=2 可化为 x 、3y = 2（n）因为m 2 xy=4 ,（4分）（7分）（10 分）（2分）（5分）在x2 y2 =9上任取一点A 3cos：，3si n ：,则点A到直线的距离为3cosg +33 si no -26sin +30) -2,它的最大值为4(10 分)2D.(不等式选讲选做题)doo 21212do 11112证：左=(111 )(a)- (b ) (c ) 1 (a )1 (b )1 (c )(5 分)3abc 3abc1 1 1 1 2 1