概率论复习题与答案

1、C22觥(1) PC1015 ；(2) PC0从0 9十个数字中任意选出三个不同的数字，7.解：PC；CC0112概率论与数理统计复习题事件及其概率1.设A, B, C为三个事件，试写出下列事件的表达式: A, B, C都不发生；(2) A, B, C不都发生；(3) A, B, C至少有一个发生；(4) A, B, C至多有一个发生。解： ABC ABC(2) ABC ABC(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B为两相互独立的随机事件 ，P(A) 0.4, P(B) 06 求P(A B), P(A B), P(A| B)。解：P(A B) P(A) P(B) P(AB)

2、 P(A) P(B) P(A)P(B) 0.76 ；P(A B) P(AB) P(A)P(B) 0.16, P(A|B) P(A) 0.4。3. 设 A, B互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9，求 P(B), P(A B)。解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P(A) 0.5。4. 设 P(A) 0.5, P(B) 0.6, P(A| B) 0.5，求 P(A B), P(AB)。解：P(AB) P(B)P(A| B) 0.3, P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.8,P(AB) P(A B) P(A) P(AB) 0.2。5. 设 A, B,

3、 C 独立且 P(A) 0.9, P(B) 0.8, P(C) 0.7,求 P(A B C)。解：p(a b C) 1 P(A_B_ ) 1 P(ABC) 1 P(A)P(B)P(C) 0.994。6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。_8。15求三个数字中最大数为5的概率。1-0.8 0.8解：P 20.32。19.甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有 4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少?解：设A “从甲袋中取出的是红球”，B“从乙袋中取出的是

4、红球”，则:1-31-P(A) -, P(A) -, P(B| A) -,P(B|A)442由全概率公式得：17 P(B) P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)石。4010.某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50% 40% 10%而三厂产品的合格率分别为95%85% 80% 求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大?解：(1)设A1, A2,A3分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则P(A) 0.5, P(A2) 0.4, P(A3) 0.1,P(B|A) 0.95, P(B|A) 0.8

5、5, P(B|As) 0.8,3由全概率公式得 P(B) P(A)P(B|A) 0.895 ；i 1(2) P(A|B)P(AB)P(B)P(AJP(B | A)0.475 95P(B)0.895 179。1.已知X的概率密度函数 f(x)kx0,2k解：f (x)dx2o(kx 1)dx121P X -1-x 1dx222 一维随机变量及其数字特征2.设 X B(3,0.1)，求 P X 2 , PX1,0x2 +1，求 k, P X-,EX。else221k1J2_92 12EXxx 1 dxo160 231。解：PX 2 C；(0.1)2(0.9)0.027, P X 11 PX010.

6、930.271。3.设三次独立随机试验中事件验中出现的概率 p。A出现的概率相同,已知事件A至少出现一次的概率为,求A在一次试64解：三次试验中 A出现的次数X B(3, p)，由题意:0 033 371PX 1 IPX 01 C3 p (1 p) 1 (1 p)p6444.某种灯管的寿命 X (单位：小时)的概率密度函数为f(x)10002，X0,x 1000else(1)求 PX 1500; 任取5只灯管，求其中至少有 2只寿命大于1500的概率。解： PX 15001000 dx 2 ；1500 x232 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则YB 5,上，故354、 12 1232

7、PY 21PY 0PY1 15 -3332435.设 X B(n, p), EX1.6, DX1.28,求 n, p o解：EX np 1.6,DX n p(1p)1.28 n 8,p0.2 o3)。6.设 X (2)，求 PX 2, E(X2 2X7.8.9.解：PX2E(X设 X U解：f (x)设X服从(解：f (x)221 3e ,22X 3) E(X )1,6，求 P 41J70,else2EXEXDX2EX24f(x)dx10dx21dx171,5)上的均匀分布，求方程16,0,else，Pt20Xt 1PX20有实根的概率。051一 dx 6设 X U1,3，求EX , DX ,

8、解：EX 2, DX(3 1)21213,f(x)120,3,Eelse31 1 dx1 x2ln 3 o210.设某机器生产的螺丝长度X N （10.05,0.0036）。规定长度在范围10.05 0.12内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为P 10.050.12 X10.050.12 P0.12X 10.050.060.06(2)(2) 2(2) 10.95440.120.06故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456。11.设 X N(0,4)，Y2X3000，求 EY、DY及Y的分布。解：EY2EX 30003000, DY 4DX16,Y N(3000,16)

9、。12.设 X 与Y 独立，且 X N(1,1), Y N(1,3),求 E(2X Y), D(2XY)。解：E(2X Y) 2EXEY 1,D(2X Y) 4DX DY 7。5113.设 X (4), Y B 4,2XY 0.6,求 D(3X 2Y)。解: D(3X 2Y) 9DX4DY 12 x DX / DY 25.6。14.设 X U 1,2，求 YX的概率密度函数。解:FyW) PY yPX|y(1)0 时，Fy(y)y 1 时，FY(y)y 2时，FY（y）y 1 .dxy 310dxy2-y ；3y 1 .dx13故 FyW)0,2畀y 131,fY(y)FyW)23130,el

10、sey二维随机变量及其数字特征1.已知（X,Y）的联合分布律为:50.10.4050.2a0.2求a ;求 P X 0,Y 1 ,PY 1|X5；求X,Y的边缘分布律；(5)判断X,Y是否独立。解：a 0.1; 0.3, 0.2 ; X :0.5,0.5;Y: 0.3,0.5,0.2 ;EX0, EY 0.6, E(XY) 0 cov(X,Y) 0, XY 0 ；0 10.4,，不独立。0.20.12.已知(X,Y)的联合分布律为:且X与Y相互独立，求：(1) a,b 的值； PXY 0；(3) X, Y的边缘分布律; EX, EY, DX, DY ；Z XY的分布律。11解:(1) a9a丄

11、b251b118993PXY01P XY 01 -599EX1 1 1 2 _ _； y ：； j j - j?3 23 3EX13DX1 PZ 1 ,PZ 0922 5322EX (EX) , EY ,EY 363515, PZ 2 1。933，dyEY2 (EY)2-;93.已知(X ,Y)的概率密度函数为f (x, y)c(x y),0 x 2,0 y 1，求0,else(1)常数c ； 关于变量X的边缘概率密度函数fX(x)；解:(1)2f (x, y)dxdy 0 dx1c(x0 11fx(X)(xy)dyf (x,y)dy030,E(X Y)(x y)f (x,y)dxdy(3)

12、E(X Y)。4.设(X,Y)的概率密度函数为：f (x,y)211y)dyc xdx2c c 3c 1 c02311x10 x2 ；32else211 ,、216dx-(xy) dy。00390 x 1,0 y xAxy,0,else(1) 求 A ;(2) 求 fx (x), fY(y);(3)判断X,Y是否独立;1求 P Y , P X Y 1 ；2求 cov(X ,Y)。解：1dxx0 Axydy fx(X)f (x,y)dyx0 8xydy4x3,0,0 x 1elsefY(y)f(x,y)dx1y8xydx 4y(10,2、y ), 0 y 1 ；else f(x, y) fx(x

13、)fY(y)X, Y 不独立;1 4x3dx215，P X Y 1161/20 dy1 y18xydxy64 EX , EY5四中心极限定理,E(XY)-,cov(X,Y)9E(XY)4e（x）e（y）辰。1.某种电器元件的寿命服从指数分布E（0.01）（单位：小时），现随机抽取16只，求其寿命之和大于 1920小时的概率。2.解：设第i只电器元件的寿命为则 EX 1600, DXP X 1920 P生产灯泡的合格率为(1)E(X)与 D(X)160000。X 1600、160000Xi (i 1,2,L ,16),则 E(Xi)100, D(Xi)10000。令 X由中心极限定理得4001(

14、0.8) 0.2119。0.8，记10000个灯泡中合格灯泡数为 X，求16Xi，i 1合格灯泡数在7960 8040之间的概率。解:(1) X B(10000,0,8), E(X) 100000.8 8000, D(X) 10000 0.8 0.2 1600由中心极限定理得P 7960 X 80407960 8000P 40X 8000408040 800040(1) ( 1)2 (1) 10.6826。3.现从这批木柱中随机地取 100根，问至少有304.X B(100,0.2), EX 100 0.220, DXX EX由中心极限定理得 P X 30 P - 一VDX100 0.20.8

15、 16 ；30_202.51(2.5)0.0062。某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。每个分机有0.05的概率要使用外线通话。 问总机至少需要多少外线才能以不低于 机要使用外线时可供使用 ？设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻0.9的概率保证每个分解：设至少需要k条外线。使用外线的分机数X B（200,0.05），EX 200 0.0510, DX 200 0.05 0.959.5。由中心极限定理得:X EX.DXk 10950.99.5k 10丽1.28 k13.9452。五.抽样分布1.从一批零件中抽取6个样本,测得其直径为1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8，

16、求 x, s2。2.3.4.5.解: x 1 6 Xj6 i 11.9667,621 /s (Xi5 i 12x)0.1427。设X1,X2是来自正态总体解：X1 X2N(0,18)总体 X N(72,100)，(1)解:对容量n 50的样本,N(0,9)的简单随机样本，已知 Y歸0歸求样本均值 X大于70的概率;为使X大于70的概率不小于0.95，(1) X N 72,2 , P(X 70)样本容量至少应为多少?70 72a(X1 X2)2服从2分布，求a。2(1)1a18(、2) 0.92 ；72,100 , P(X 70)n1.645 n 67.65 。70 72100 /nT 0.95

17、设X1,X2,L ,X10取自正态总体N(0,0.09)n(Xi)2解：由于1J2设X1, X2,K , Xn来自总体，求P10Xi2i 11.44102(n)，故 PXj2i 11.442P (10)160.1。X N(,2)，S2为样本方差，求 ES2, DS2。解：(n )S 2(n 1),E(S2) E2 22 22(n 1) (n 1)2n 1n 1D(S2)2(n 1)E(n 1)六参数估计1.设随机变量X B(n, p),其中n已知。X为样本均值,求p的矩估计量。2.3.解：EX 叩设总体X的概率密度函数为：f (x)1 -解: EXX2设总体X的分布律为2X 1。10,else

18、1，其中是未知参数，求的矩估计量。X123P1 2现有样本：1,1,1,3,1, 2, 3, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1,2，求的矩估计值与最大似然估计值。解:(1) EX23(1 2 )3 3X?3 X，将x代入得4? a123似然函数LP*1,X21,L ,X162PW1PX21L PX1627 6(12 )3对数似然函数ln L13ln3ln(12 )，令ln L1360，得？13。1 2234.设总体X的概率密度函数为f(x)x 1, 0 x 10, else现测得X的8个数据：0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6，求的矩估计值和最大

19、似然估计值。解: (1) E(X)xf (x)dx1dx10-，令 E(X) X，得10.63751 0.63751.76 ；似然函数Ln1 f (幻i1 Xii1xi1，对数似然函数ln L nlnn(1) ln Xi ,令i 1In L nIn xi 10，得In xii 183.76262.13。. 25. 设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布N( ,0.4 )。现在从中抽取20只内环，其平均高度x 32.3毫米，求内环平均高度的置信度为95%的置信区间。解:已知，置信区间为=z , X n2。将x32.3,0.4, n 20, z0.025匸96 代入，得所求置信区间为(32.

20、125, 32.475)。6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了 10个样品作实验，由实验所得数据算得：x 6720, s 220，设钢索所能承受的张应力服从正态分布，试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。解：$未知，置信区间为X t(n 1), X t (n 1) Jn空Jn空将 x 6720, s 220, n 10, t0.025(9) 2.2622 代入，得所求置信区间为(6562.6, 6877.4) 7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数据为(2) 未知，置信区间为(n 1)s

21、22(n 1)(n 1)s22 (n 1)1 29 75.73 9 75.7319.0228 , 2.7004(35.83, 252.40) 求:578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 596, 584, 572(1)样本均值和样本方差；(2)方差的置信区间(0.05)解:1 10 2 1 10 2(1) xXi 575.2, s2(x x)2 75.73;10 i 19 i 1七.假设检验1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位：千克)服从正态总体分布 N( ,4)，今随机地抽查了 9袋，称出它们的重量如下:50, 48, 49, 52, 51, 47, 49, 50, 50问在显著性水平0.05下能否认为袋装糖的平均重量为50千克?解：由题意需检验H 0:50, H1 :50 2已知，拒绝域为z 1.96，将2x 49.5556, 0 50,2, n 9代入，得U0.6667。未落入拒绝域中，故接受 H。，即可以认为袋装糖的平均重量为 50千克。2. 某批矿砂的5个样本的含金量为:3.25,