(完整版)解三角形单元测试题及答案

1、第一章解三角形正弦定理：1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径,a即 sin Abc2Rsin Bsin Cab c2变形：1）sinsinsin C（其中R是三角形外接圆的半径）a b csinsinsinC .102）化边为角：a :b: csin A:sin B :sin C ；asin Absin Basin Absin B csin CJcsin C ）化边为角：a2Rsin A, b2Rsin B,c 2Rsin Csin Aasin Bb si nA a4）化角为边：sin BJbsin CJJc sin C cabcsin Asin B

2、,sin C -5）化角为边：2R2R2R.三角形面积111S abcabsinC-bcsi nA 一acsin B222三余弦定理1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的2倍，即a2 b2 c2 2bccosA2 2 2b a c 2ac cos B2 2 2cab 2abcosC,2 2 2cos A2变形：cosBb c a2bc2 2 . 2a c b2ac2 , 2 2cosCa b c2ab注意整体代入，如:a2 c2 b2accosB 12利用余弦定理判断三角形形状:设a、b、c是 C的角、C的对边，则:A 4护 n 屮 O cos

3、j4 = “ Z 0 o j4 u 90若,2bc，所以/为锐角若c2 b2 a2 A为直角c1a2匚os-若90.，所以上为钝角，贝卩一上是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180 (A+B);三角形三边关系：两边之和大于第三边:两边之差小于第三边:a c b二-：在同一个三角形中大边对大角:sin Asin B4)三角形内的诱导公式:sin(A B) sinC, cos(AB)cosC, tan (AB)tan C,sm二 intan tan(-2 2cos= cos2c=sin 7)三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线

4、的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）nD.31 .在 ABC中，a = 2, b=3, c= 1,则最小角为（）nnnA.正B.6C.42. A ABC的三内角 A、B、C所对边的长分别是 a、b、c,设向量p= （a+ c, b）, q = （b a, c-a）,若p/ q,则角C的大小为（）nnn2 na.6B3Dp3. 在 ABC中，已知 |AB| = 4,|AC|=1,Ssbc =3,则 AB AC等于（）A. 2B. 2C.

5、4D .戈4. A ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c=J2, b = Q6, B = 120 贝U a 等于（）A. . 6B. 2C. .3D. 25. 在 ABC 中，A = 120 AB= 5, BC= 7,则的值为（）sin Cfl 8m 5B.8C.36. 已知锐角三角形的边长分别为A. 1x , 57. 在 ABC 中，2迈A .d.32,4, x, B. 5x 13 C.a = 15, b= 10, A= 602 2B丁 C则x的取值范围是1x2,5 则cos B等于（3（ ）D . 2 3x2 一 5 ）”叮6DEC. A ABC 中，D. ABC

6、中，9.在 ABC 中，B = 30.3A. 410 .在 ABC 中,A. . 3B. 1nBC = 2 , B= 3 ,若厶ABC的面积为则tan C为（C.D.&下列判断中正确的是 （）A . ABC 中，a= 7, b= 14, A = 30 有两解B. ABC 中，a = 30, b= 25, A= 150 有一解a = 6, b= 9, A= 45 有两解b= 9, c= 10, B= 60 无解 AB = 3, AC = 1,则厶ABC的面积是（）B2C. .3或于D.-或11. 在 ABC 中，如果 sin As in B + sin Acos B + cos Asin B +

7、 cos Acos B = 2,则厶 ABC 是（ ）A .等边三角形B .钝角三角形 C .等腰直角三角形D .直角三角形12. A ABC 中，若 a4+ b4+ c4= 2c2（a2 + b2）,则角 C 的度数是（）A. 60 B . 45。或 135 C. 120 D. 30 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）, 亠 sin A cos B Urt 13. 在 ABC中，若=，则B=14. 在厶ABC中，A = 60 AB= 5, BC= 7,则厶ABC的面积为 .15. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P的南偏西75。距塔64海里的M处，下午2时到达这

8、座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.16 .在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c.若（3b c）cos A = acos C,则 cos A=.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在厶 ABC 中，角 A、B、C 的对边是 a、b、c,已知 3acosA = ccosB + bcosC求cosA的值;(2)若 a= 1,cosB + cosC =求边c的值.c, a= 2bsin A.18. (12分)设锐角三角形 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、(1)求B的大小.若 a = 3：3, c= 5,求 b.119. 已知 ABC的角 A,

9、B,C所对的边分别为 a, b, c,且acosC + c = b.2(1) 求角A的大小；(2) 若a= 1,求厶ABC的周长I的取值范围.20.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是 a, b, c ,已知2aCOSA CCOSB bCOSC. (1 )求cosA的值；(2 )若 a 1,cosB cosCn21. (12分)在厶ABC中，内角 A、B、C对边的边长分别是 a、b、c.已知c= 2, C= 3.(1)若厶ABC的面积等于 3，求a，b.若sin B= 2sin A，求 ABC的面积.5322.如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，AD 33，sin BAD ，cos

10、 ADC -.135(1 )求 sin ABD 的值；(2 )求BD的长.解三角形答案1. B 2. B 3.D4. D 5. D 6. D 7. D 8. B 9. D 10. C 11. C13. 4514. 10 315. 8 6163332 2 217.【答案】(1)由余弦定理b = a + c 2accosB,2 2 2c = a + b 2abcosC1有ccosB + bcos C= a，代入已知条件得 3acosA= a,即卩cos A=-312. B由cosA=sin A= 22,贝y cosB= cos( A+ C) = ；cosC + 22sin C,333代入 cos

11、B+ cos C= 3-得 cosC+2sin C= J3,从而得 sin( C+ $ ) = 1 ,其中sin $ =,cos $ = (0 $ 为则C+ $ =专，于是sin 8身，由正弦定理得332232 as in Csin A1n18.解 (1) va = 2bsin A,.sin A= 2sin B sin A,：sin B = /0b2 ,.B = 30(2) va= 3 .3, c= 5, B = 30 由余弦定理 b2= a2 + c2 2accos B = (3 .3)2+ 52 2X 3.3X 5X cos 30 =7b = .7.19.【答案】（1）由acosC + c

12、 = b和正弦定理得,21sin AcosC +si nC = si nB21，又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC , sinC = cosAsinC ,21 sinC 半 0,cosA =2asinB2(2)由正弦定理得，b= . sinBsinAV32_则 I = a+ b+ c= 1 + (sinB + sinC) = 1 + sinB + sin(A + B)V3V3/ 0 V AVn,.A= .3asinC 2.,c = sinC ,sinAv32y/31=1 + 2(si nB + cosB) = 1 + 2si n(B22v A=

13、, B (0 , B+ (336+ )651,), sin(B +) ( , 1,6 6 6 2 ABC的周长I的取值范围为(2,3 .20【答案】(1)由2acosA ccosB bcosC及正弦定理得2 sin Acos AsinCcosB sin BcosC,即 2sinAcosA sin B C .A,即 2sin AcosA sinA.又 B C A,所以有 2sin AcosA sin 1而sin A 0,所以cosA丄.21(2 )由 cosA及 0VAV ，得 A=.因此 B C23由 cosBcosC -,得 cosB cos2B,32即 cos B1,33即得sinBV3c

14、osBsin B 22 26 2由A -,知B 5.于是B,或B2366 66 363所以B ,或B -.6 2I12 / 3若B ,则C.在直角 ABC中，sin，解得c623 c31J3若B ,在直角 ABC中，tan,解得c .23 c321.解（1）由余弦定理及已知条件得 a2 + b2 ab = 4.又因为 ABC的面积等于.3,1所以 qabsin C= . 3，由此得 ab = 4.a2+ b2 ab = 4，b = 2.联立方程组解得ab= 4，由正弦定理及已知条件得b= 2a.a2+ b2 ab = 4，联立方程组解得b = 2a，3所以ABC 的面积 S= ?absin C=.322.【答案】(1)因为co