第3章3.3.2第2课时线性规划的实际应用

1、第2课时线性规划的实际应用 学习目标 核心素养 理解并初步运用线性规划的图解 法解决一些实际问题.（重点、难 点） 借助线性规划的实际应用，培养数学建 模和直观想象素养. 自主预习播新和 一 I新知初探 应用线性规划解决实际问题的类型 思考：一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000元用于企业投资和个人贷 款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%, 从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为 x元，用于个人贷款 的资金为y元那么x和y应满足哪些不等关系？ 提示分析题意，我们可得到以下式子 x + y 3 000 000, x 0， y 0.

2、 口初试身论二 x 4y 3， 1.已知目标函数z= 2x+ y,且变量x,y满足约束条件 3x+ 5y 1， A . Zmax= 12， Zmin = 3 B . Zmax= 12，无最小值 C Zmin= 3, 无最大值 D. z既无最大值又无最小值 D 画出可行域如图所示,z= 2x+y,即y= 2x+ z在平移过程中的纵截 距z既无最大值也无最小值. 2 完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每 人每天40元.现有工人工资预算每天 2 000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是 . x, y N* 答案 50 x+ 40y 900, yx 7， 则

3、 y+x 21， x, y N， 画出可行域（如图中阴影部分内的整点），则目标函数z= 1 600 x+ 2 400y在点 （5，12）处取得最小值zmin = 36 800元 合作探究H 1 线性规划的实际应用问题 探究问题 1.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投 资不小于对项目乙投资的3倍，且对每个项目的投资不能低于5万元.设投资甲、 乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？ x+y 3y， x 5， y 5. 2 若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1 万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么

4、z与x，y有何关 系？ 提示根据公司所获利润二投资项目甲获得的利润+投资项目乙获得的 利润，可得z与x，y的关系为z= 0.4x+ 0.6y. 3. x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？ x+ y 2 提示x，y必须在线性约束条件X-3y，下取值.x，y取不同的值， x 5， y 5 直接影响z的取值. 【例1】 某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2，准备加工成书桌和书 橱出售.已知生产每张书桌需要木料 0.1 m3,五合板2 m2，生产每个书橱需要木 料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润 120元.怎样安排生产可使所获利

5、润最大. 思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题 来求解. 解设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z= 80 x + 120y，根据题意知， 0.1x+ 0.2yW 90， 2x + y0，y0， x N，y N， x+ 2y0，y0， x N，y N， 13 作直线1: 80 x+ 120y= 0,并平移直线I，由图可知，当直线I过点C时，z 得 C（100，400），所以 zmax= 80X 100+ 120X 400 x+ 2y= 900, 取得最大值，解 2x+ y= 600, =56 000,即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利

6、润. 母題探究 (变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安 排生产书橱呢？ 解(1)若只生产书桌，则y= 0,此时目标函数z= 80 x，由图可知zmax= 80 X 300= 24 000,即只生产书桌,可获利润24 000元. (2)若只生产书橱，则x= 0,此时目标函数z= 120y,由图可知zmax= 120X 450 =54 000,即只生产书橱,可获利润54 000元. 解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题一一仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有 哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多， 为了理顺题目中

7、量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺. (2)转化 设兀.与出约束条件和目标函数 1，从而将实际冋题转化为数学 上的线性规划问题. (3)求解 解这个纯数学的线性规划问题. 作答 就应用题提出的问题作出回答. | 类蝦2丿 线性规划中的最优整数解问题 【例2】 某运输公司有7辆载重量为6 吨的A型卡车，4辆载重量为10 吨的B型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了 每天运送360吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型 车6次，每辆卡车每天往返的成本费为： A型车160元，B型车280元.每天派 出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？ 思路

8、探究：本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？根据实际问题 的需要，该题是否为整点问题？ 解设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆， x 7, yw 4, x+y 360, x 0, y o, x N , y N, 作出不等式组的可行域，如图. 7 Q li x(.囂 作直线 1: 160 x+ 280y= 0,即 1: 4x+ 7y= 0. 将I向右上方移至11位置时，直线11经过可行域上的M点，且此时直线与 原点的距离最近，z取得最小值. 48x+ 60y= 360 由方程组， x= 7 x= 7 解得 y= 0.4 但y= 0.4不是整数，故取x= 7, y= 1,此

9、时z取得最小值. 所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低. 寻找整点最优解的三种方法 (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线I,最先经过或最后经过的整 点便是最优整点解，这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图 才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解. (2) 小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目 标函数，直接求出目标函数的最大(小)值. (3) 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出 整点最优解. 某厂有一批长为18 m的条形钢板，可以割成1.8 m和1

10、.5 m长的零件.它们 的加工费分别为每个1元和0.6元售价分别为20元和15元，总加工费要求不 超过8元问如何下料能获得最大利润. 解设割成的1.8 m和1.5 m长的零件分别为x个、y个，利润为z元， 则 z= 20 x+ 15y (x+ 0.6y) 即 z= 19x+ 14.4y 1.8x+ 1.5y 18， 且 x+ 0.6y 8， x, y N， 1.8x+ 1.5y= 18, 作出不等式组表示的平面区域如图，又由 x+ 0.6y= 8， 解出x= 20， 60 尸T， 所以 M 20，60， 因为x, y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3, 8)，此时z= 19X 3 +

11、14.4X 8= 172.2(元). 又可行域的另一顶点是(0, 12), z= 19X 0+ 14.4X 12= 172.8(元): 过顶点(8, 0)的直线使 z= 19X 8+ 14.4X 0= 152(元). 20 60 M y, y 附近的点(1, 10), (2, 9), 直线 z= 19x+ 14.4y 过点(1, 10)时，z= 163;过点(2, 9)时 z= 167.6. 所以当x= 0, y= 12时，z= 172.8元为最大值. 答：只截1.5 m长的零件12个，可获得最大利润. |课堂址g 1. 画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的, 所以作图

12、应尽可能准确，图上操作尽可能规范. 2. 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解 (比如人数、车辆数等)，应 结合可行域与目标函数微 调. 当堂达标固SH基 1. 判断正误 (1) 将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解. () (2) 当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个. () 答案“v 2. 一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为 400公斤；若种花生，则每季每亩产量为 100公斤，但水稻成本较高，每季每亩 240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农 民手头有400元，那么获得最大收

13、益为 . 1 650 设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则 x+ y 2, X+ y 2, 240 x+ 80yW 400,3x+y 0,x 0, y 0,y 0, 作出可行域如图阴影部分所示 将目标函数变形为y= 17x+4,作出直线y= 17x,在可行域内平移直 线y=-哄, 可知当直线过点 B时，z有最大值, x+ y= 2,3 1 由解得B 2, 2 ,故当x= 1.5, y= 0.5时，zmax= 1 650元，故该 3x+ y= 5, 农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润,最大利润为1 650元. 3某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要

14、在A, B, C, D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上 需要加工的台时数如下： 设备 产品 A B C D 甲 2 1 4 0 乙 2 2 0 4 已知各设备在计划期内有效台时数分别为12, 8, 16, 12（1台设备工作1小 时称为1台时），该厂每生产一件甲产品可得到利润 2元，每生产一件乙产品可 得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为 4, 2 设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件 J -4 x+工冋丁 r=3 =2 -2 0 -2 .2 %. 2x+ 4 2x+ 2yW 12, x+ 2y 8, 4x 16, 4y 0, y 0, x N , y N, x+ y 6, x+ 2y 8, x 0, y 0, x N , y N, 作出可行域如图阴影部分所示,目标函数为z= 2x+ 3y,由图可知当直线z x+ y= 6,x= 4, =2x+ 3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品 x+ 2y= 8,y=2, 4件，乙产品2件时，利润最大. 4 某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器 配一个外壳.已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2,每张可作A 种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面