专题03三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版

1、03三角函数与平面向量综合问题(答题指导)【题型解读】题型特点命题趋势从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分 解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角 函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考 查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题主要是在三角恒等变换的基础上 融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点 ?题型一：三角函数的图象和性质1 .注意对基本三角函数y = sin x, y= cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解

2、，通常先将给出的函数转化为y=Asin( ex + 0 )的形式，然后利用整体代换的方法求解.2 .解决三角函数图象与性质综合问题的步骤将f (x)化为asinx + bcos x的形式.(2)构造 f( x) =a2 + b2ab22 sin x+ 22 cos xa + ba + bf (x) = a2 + b2sin( x + 0 )(其中 0 为辅助角).(4) 利用f( x) = , a2 + b2sin( x + 0 )研究三角函数的性质.(5) 反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.和角公式逆用，得n【例1】(2017 山东卷)设函数f (x) = sin x 石+ sinn3

3、X ，其中n00)，且 y= f (x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为(1) 求3的值；3 n(2) 求f(x)在区间 冗，一厂 上的最大值和最小值.【答案】见解析 3- 1 cos2 cox 1 .31 .【解析】(1) f(x) = 2 J3 2 ?sin2 cox = ? cos2 cox ?sin2 cox =nnsin 2ox 3 .因为y = f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期T=n2 n4X =n .又 co 0,所以 =n,因此 co = 1.42 on3 n 5 nn 8 nj35 nn 由(1)知 f (x) = sin 2x

4、3 .当 nW x ?时，3 W2x 3 3，所以一？ = sin 3 b, a = 5, c= 6, sin B=二.5(1)求b和sin A的值；n求sin 2A+的值.4【答案】见解析.-34222【解析】 在厶ABC中,因为ab,故由sin B=可得cosB=.由已知和余弦定理， 有b2= a2+ c2 2accosB55=13，所以 b =、13.由正弦定理得 sin A= as? B= 31.13 (2)由(1)及ac,得cosA=岂1所以 sin2 A= 2sin1225AC0SA= 13, C0S2A= 1-2Sin A一 13.故sinn2A+ 4 = sin2 Acosn

5、7羽卜cos 2 Asin=4 26?题型三 三角函数与平面向量的综合1 三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面： 以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.2 . (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.【例3】(2019 佛山调考)已知函数f(x) = a b,其中a= (2cos x, 3sin2 x),b =

6、 (cos x, 1) , x R.(1)求函数y= f (x)的单调递减区间；在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,f(A)= 1,a=, 7,且向量m= (3 ,sin B)与n= (2 ,sin C)共线，求边长b和c的值.【答案】见解析【解析】(1) f(x) = a b = 2cos2x 萌sin2 x = 1 + cos2x羽sin2 x = 1 + 2cos 2x + 才，由 2kn2 x+nW2k n + n( k Z),nn解得 k n 0)的图象与直线y = 2相邻两个交点间的最短距离为2，且f石=1 ,求厶ABC的面积S;求S+ 3 3 cos Bcos

7、C的最大值.【答案】见解析【解析】设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,因为 ab AC= S,所以 fbccos A= Ibcsin A,解得 tan A=寸3，所以 A= 3 .由 I AC AB| = 3 得| BC| = a= 3.2 n(1)因为f(x) = 2cos( 3X + B( 3 0)的图象与直线y= 2相邻两个交点间的最短距离T= 2，即=2,解得3故 f (x) = 2cos( n x+ B).又 f 6 = 2cos 6 + B = 1,即n因为B ABC的内角，所以b=6，从而BO直角三角形,所以b=j3,所以 &abc= |ab=弓3%由题意知A= 3 , a= 3,设厶ABC的外接圆半径为 R,则2R=ncos 6 + Ba 3sin A=32=2寸3，解得R= y 3,所