§4功能关系动量能量综合

1、 4功能关系动量能量综合教学目标：理解功和能的关系，能够应用动量观点和能量观点解决有关动量和能量的综合问题。教学重点：动量能量综合问题的解决方法教学难点：应用动量观点和能量观点解决动量能量综合问题教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、功能关系做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着 重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻 相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功

2、就是能，也不能说功变成了能”。复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一基本概念。物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外= Ek,这就是动能定理。物体重力势能的增量由重力做的功来量度：Wg= - Ep,这就是势能定理。物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其它 = E机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。当W其它=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系 统增加的内能。f d=Q （ d为这两个物体间相

3、对移动的路程）。【例1】 质量为m的物体在竖直向上的恒力 F作用下减速上升了 H,在这个过程中，下列说法中正确的有A.物体的重力势能增加了 mgHB. 物体的动能减少了 FHC. 物体的机械能增加了 FHD. 物体重力势能的增加小于动能的减少解析：由以上三个定理不难得出正确答案是A位置有一只小球。小球从静止【例2】 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在 C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。 小 球下降阶段下列说法中正确的是A .在B位置小球动能最大.AB .在C位置小球动能最大C.从AtC位置小球重力势能的减少大于小球

4、动能的增加D .从AtD位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，AtC小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；CtD小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从AtC小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。、动量能量综合问题我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、 力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。在比较复杂的题目中，这三种手段

5、往往是交替使用的。下面举几个例题说明这一点。【例3】 如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有A. 它们同时到达同一水平面B. 重力对它们的冲量相同C .它们的末动能相同D .它们动量变化的大小相同2h解析：b、c 时间相同（都是忖）；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此 a、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能 也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量

6、变化大小也相同，故 D正确。点评：这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b为中介：a、b、c飞行时间相同（都等于自由落体时间）b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同;但初动能不同。本题如果去掉 b球可能更难做一些。【例4】 质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为 P。若司机突然减小油门使实际功率减为 p并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运2动？解：由公式F- f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv , F将减半，合力第2页共13页FPP一

7、变为一-一，方向和速度方向相反，加速度大小为；以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，2 2v2mv当增大到F=f时，a=0,速度减到最小为 v/2,再以后一直做匀速运动。点评：这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。【例5】 质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度vo冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大 弹性势能EP和全过程系统摩擦生热 Q各多少？简述 B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。Aq b x m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，2可

8、求得摩擦生热是 Q =2Mmv ；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M 4 m/s则作用后A、B、C动能之和1 2 1 2 1 2E =mAVA+(mB+mc) Vb (mB+mc) Vb =48 J2 2 2实际上系统的机械能1 泛E=Ep+(mA+mB+mc) vA =12+36=48 J2根据能量守恒定律，E E是不可能的【例11】 如图所示，滑块 A的质量m= 0.01 kg,与水平地面间的动摩擦因数卩=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01 kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2 m ,线长分别为L1 L2、L3(图中只画出三只小球，且小球可视为质点)，

9、开始时，滑块以速度 V0= 10 m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，g取10 m/s2,求：(1) 滑块能与几个小球碰撞 ？(2) 求出碰撞中第 n个小球悬线长Ln的表达式解析：(1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相 碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为. 1 2-mgso = 0 mv02得 So= 25 mn 上=12（个）s(2)滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为对小球，有：1 mv；21 2mvn 2mgLn 2Vn mg = mLn1

10、2 1 2对滑块，有：-mgnsmvnmv02 2解三式：2v0 -2gsn 50-4n255gL n【例12】如图所示，两个小球A和B质量分别是mA=2.0 kg , mB=1.6 kg.球A静止在光滑水平面上的 M点， 球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动.假设两球相距L 18 m时无相互作用力当两球相距最近时，它们间的距离为 d = 2 m，此时球B的速度是4 m/s.求：(1) 球B的初速度；(2) 两球之间的斥力大小；(3) 两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间t。当两球相距最解析：(1)设两球之间的斥力大小是F，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是近时球B的

11、速度是Vb=4 m/s，此时球A的速度与球B的速度大小相等，va= Vb = 4 m/s.由动量守恒定律可得：mBvB0 = mAvA+ mBvB代人数据解得Vbo= 9 m/s (1分)(2) 两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移 s= L-d 由功能关系可得：1 2 1 2 1 2F s= mBVBo - (mAVA + mBVB )2 2 2代人数据解得F=2.25 N(3) 根据动量定理，对 A球有：Ft=mAVA-0t=tiaVaF代入数值解得t=32 s=3.56 sD球的动能，设此时 D【例13】 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反

12、应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似 两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P,右边有一小球 C沿轨道以速度vo射向B球，如图所示C与B发生碰撞并立即结成一个整体 D在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变然后,A球与挡板P发生碰撞，然后 A、D都静止不动，A与P接触但不粘接，过一段时间，突然解除锁定(锁定及 解除锁定均无机械能损失).已知A、B、C三球的质量均为 m。求：(1) 弹簧长度刚被锁定后 A球的速度；(2) 在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。解析：(1)设C球与

13、B球碰撞结成D时,D的速度为V1,由动量守恒定律有mvo=2 mv1当弹簧压至最低时，D与A有共同速度，设此速度为V2,由动量守恒定律有2mv1=3mv2、 1两式联立求得A的速度 V2= V03(2)设弹簧长度被锁定后，储存在弹簧中的弹性势能为Ep,由能量守恒有1 C21c2Ep= 2mv1 - 3mv22 2撞击P后,A、D均静止.解除锁定后，当弹簧刚恢复到原长时，弹性势能全部转为的速度为V3,由能量守恒有1c 2 2mv3 =Ep以后弹簧伸长，A球离开挡板P,当A、D速度相等时，弹簧伸长到最长，设此时A、D速度为V4,由动量守恒定律有2mv3=2mv4当弹簧最长时，弹性势能最大，设其为E

14、p，由能量守恒有1 2 1 2Ep = 2mv3 - 3mv42 2联立以上各式，可得 Ep = = mv。236【例14】如图所示，一轻质弹簧一端固定，一端与质量为m的小物块A相联，原来A静止在光滑水平面上，弹簧没有形变，质量为m的物块B在大小为F的水平恒力作用下由 C处从静止开始沿光滑水平面向右运动，在O点与物块A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短）。运动到D点时，将外力F撤去，已知CO=4s,OD = s,则撤去外力后，根据力学规律和题中提供的信息，你能求得哪些物理量（弹簧的弹性势能等）的最大值？并求出定量的结果。解析：物块B在F的作用下，从C运动到O点的过程中，设 B到达O点的速度为v

15、o,由动能定理得:1 24s= mv02对于A与B在O点的碰撞动量守恒，设碰后的共同速度 为v,由动量守恒定律可得：mvo=2 mvEpm,据能量守恒定律可得:当A、B 一起向右运动停止时，弹簧的弹性势能最大。设弹性势能的最大值为1 2Epm=Fs+ 2mv 3Fs2撤去外力后，系统的机械能守恒。根据机械能守恒定律可求得A、B的最大速度为:三、针对训练1 如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块 m连接，且m、M及M与地面间接触光滑开始时，m和M均静止，现同时对 m、M施加等大反向的水平恒力 F!和F?,从两物体开始运动以后的整 个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，对于m、

16、M和弹簧组成的系统A. 由于Fi、F2等大反向，故系统机械能守恒B. 当弹簧弹力大小与 Fi、F2大小相等时，m、M各自的动能最大C. 由于F2大小不变，所以 m、M各自一直做匀加速运动D. 由于Fi、F2等大反向，故系统的动量始终为零2物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间 ti内动能由0增大到Ei,在时间 t2内动能由Ei增大到E2.设合力在 ti内做的功是 Wi、冲量是I仁在 t2内做的功是 W2、冲量是12.那么A. Ii I2, Wi= W2B.liV I 2, Wi = W2C.liV I2, WiV W2D.Ii = I2, WiV W23.有一种硬气功表演，表演者平卧地面，将

17、一大石板置于他的身体上，另一人将重锤举到高处并砸向石板， 石板被砸碎，而表演者却安然无恙.假设重锤与石板撞击后二者具有相同的速度.表演者在表演时尽量挑选质量较大的石板.对这一现象，下面的说法中正确的是A.重锤在与石板撞击的过程中，重锤与石板的总机械能守恒B. 石板的质量越大，石板获得的动量就越小C. 石板的质量越大，石板所受到的打击力就越小D. 石板的质量越大，石板获得的速度就越小4.如图所示，分别用两个恒力Fi和F2先后两次将质量为 面由底端推到顶端，第一次力 Fi的方向沿斜面向上，第二次力 两个过程中m的物体从静止开始,沿着同一个粗糙的固定斜F2的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这壬曰

18、.一质量.已知碰A.Fi和F2所做功相同B. 物体的机械能变化相同C. Fi和F2对物体的冲量大小相同D.物体的加速度相同5. 轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h,如图所示，让环自由下落，撞击平板后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长A. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒B. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒C. 环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关D. 在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功6.如图所示，木块质量m=0.4 kg，它以速度v=20 m/s水平

19、地滑上一辆静止的平板小车，已知小车质量 M=i.6kg，木块与小车间的动摩擦因数为卩=0.2，木块没有滑离小车，地面光滑，g取10 m/s2，求:(1)木块相对小车静止时小车的速度；(2)从木块滑上小车到木块相对于小车刚静止时，小车移动的距离7如图所示，质量均为 M的木块A、B并排放在光滑水平面上，A上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小钉(质量不计)O上系一长度为L的细线，细线的另一端系一质量为m的小球C，现将C球的细线拉至水平,由静止释放，求：(1) 两木块刚分离时，A、B、C速度各为多大？(2) 两木块分离后，悬挂小球的细线与竖直方向的最大夹角多少？&如图所示，小车的质量为 M，后端放一质量为

20、 m的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，它们一 起以速度v沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向 左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？参考答案:1. BD2. A3. D4. BD5. AC6. 解：(1 )设木块相对小车静止时小车的速度为V,根据动量守恒定律有：mv=( m+M ) Vmv0.4 20 .Vm 4m sm M0.4 1.6(2)对小车，根据动能定理有：1 2Jmg s MV 2 -02 2MV1.6 4“sm 二 16mA、B同时达到最大速度，且:C球摆过最低位置后，悬线2 Jmg2 0.2 0

21、.4 107. 分析：C球下摆过程中，在达到最低位置之前，悬线拉力的水平分量使Pc = Pa Pb , A、B、C三者组成一个系统，满足系统机械能守恒和动量守恒;拉力使A向右做减速运动，致使 A、B分离，分离后，B以原速度做匀速直线运动，Pc Pa，所以，A速度减为零后改为反方向向左运动，当A、C速度相等时，C球摆到最高点，此过程A、C组成的系统动量守恒、机械能守恒。解：(1) A、B、C三者组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，选取最低点Ep =0 , C球到达最低点时A、B共同速度为vA, C速度vc为，规定向左为正方向：0 = mvc 2MvA (1)mg-mv -2MvA (2)2 2解得:MgL2M mm ； MgLvA :M 2M m(2)、从C球在最低点开始,C与A组成一个系统满足动量守恒和机械能守恒，设摆到最高处为hx，此时，A、C共同速度为vx:mvc Mva =(m+M )vx -mv +- MvA2 2解得:Vxm - MgLM , 2M m；hx2M m2(M m)=cosm2(m M )1 2(m M )vx mghx2A、C相对=2M 2v2 lg(M m)2难点：认为球的运动轨迹是完整的圆弧，没有考虑到对地而言是一条曲线，而且到达最