二次函数知识点总结材料

1、标准实用 二次函数知识点 一、二次函数概念： 2cbx?axy?0a?，ab，c（1二次函数的概念：一般地，形如）的函数，叫做二次函数。是常数， 这里需要强调：和一0a?，bc，而元二次方程类似，二次项系数可以为零二次函数的定义域是全体实数 2c?ax?bxy 二次函数的结构特征：2. xx 的二次式，的最高次数是 等号左边是函数，右边是关于自变量2acbab，c， 是一次项系数，是常数，是常数项是二次项系数， 二、二次函数的基本形式 2axy? 的性质：1. 二次函数基本形式： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0?a 向上?，00 y 轴yyx

2、x0xx?0?的的增大而增大；时，随随时，y0?x0 增大而减小；有最小值时，0a? 向下?，00 y 轴yyxx0x?0x?的时，随随时，的增大而减小；y0x?0 有最大值增大而增大；时， 2c?ax?y 2. 的性质： 上加下减。 a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0?a 向上?，0c y 轴yyxx0?0xx的随时，随时，的增大而增大；yc0?x 有最小值时，增大而减小；0a? 向下?，c0 y 轴yyxx0x?x0的随时，的增大而减小；时，随yc0x? 时，增大而增大；有最大值 2?hxa?y? 3. 的性质： 左加右减。a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a? 向上

3、?，0h X=h yyxxhx?hx?的时，随的增大而增大；时，随yhx?0 有最小值增大而减小；时，0a? 向下 ?，0h X=h yyxxh?hxx的随时，时，随的增大而减小；yhx?0 时，增大而增大；有最大值 4. 2?kx?hy?a? 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a? 向上 ?kh， X=h yyxxh?hxx?的时，随随的增大而增大；时，yh?xk增大而减小； 有最小值时，0a? 向下?k，h X=h yyxxhx?x?h的随随的增大而减小；时，时，yh?xk增大而增大； 时，有最大值数图二次函象的三、 平移 步骤： 1. 平移将方法一： 析式转化抛物线解成

4、顶点式 文案大全标准实用 2?，hkk?y?ahx，确定其顶点坐标； ?2k，hax?y 处，具体平移方法如下：的形状不变，将其顶点平移到 保持抛物线向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)】h0)【或左(向右(个单位 |k|平移平移|k|个单位个单位k|平移】k0)【或下(个单位|k|平移2)(x-hy=a2+kx-h)y=a(个单位|0)【或下(k0)】平移|k向上(k 2. 平移规律 hk值正上移，负下移”在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 22m?bx?ax?bx?ccyy?axy变成:向上（下）平移 沿个单位，轴平移

5、22?bx?c?mc?my?y?axax?bx?）（或 222m?b(x?m)m)?c?bx?cy?a(xy?ax?bx?cy?ax（或个单位，沿轴平移：向左（右）平移变成2?b(x?)m)?cy?a(x?m） 2?2cbx?y?ax?k?x?y?ah 四、二次函数与的比较2?2cbx?y?ax?k?y?ahx是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即与从解析式上看，222b?b4acbac?b4?x?ay?，kh? ，其中? a2a4aa42?2c?ax?bxy 图象的画法五、二次函数22k)?y?a(x?hy?ax?bx?c，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在五点绘图法：利用

6、配方法将二次函数化为顶点式?y，00，chc，c2轴的交点关于对称轴对称的点、对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与以及?00，xx，xx. 轴的交点，与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）（若与21yx轴的交点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与. 轴的交点，与 2caxy?bx? 六、二次函数的性质2?b?b4acb，?0a?x? 1. 当，顶点坐标为时，抛物线开口向上，对称轴为 ? 2a4a2a?2bbbb?4acyyyxx?x?xx?有最小值的增大而减小；当的增大而增大；当时，随 当随时，时， 2a2a2a4a2?b4ac?bbbyx?，0?a

7、x?x当时，时，抛物线开口向下，对称轴为随，顶点坐标为的增大而增大；当 2. 当? 2a4a2a2a? 文案大全标准实用 2bbbac?4yyx?x?x?有最大值时，的增大而减小；当随时， aa22a4 七、二次函数解析式的表示方法2cac?bx?y?ax0?ab ，；，为常数，1. 一般式：）（2akh)?y?a(x?0?akh ，；，为常数，（）2. 顶点式：x0a?xx?x)xy?a(x?x)(. 是抛物线与，3. 两根式：轴两交点的横坐标）（，2112x轴有交点，即注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与20?4bac?.

8、时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系a 1. 二次项系数2ac?y?ax?bx0a? 二次函数中，作为二次项系数，显然aa0a? 时，抛物线开口向上， 当的值越小，开口越大；的值越大，开口越小，反之aa0a? 时，抛物线开口向下， 当的值越大，开口越大的值越小，开口越小，反之 aaa 总结起来，的正负决定开口方向，决定了抛物线开口的大小和方向，的大小决定开口的大小b 2. 一次项系数ab 确定的前提下，在二次项系数决定了抛物线的对称轴 0?a 在的前提下， by0?b0? 当轴左侧；，即抛物线的对称轴在时， a2by0b

9、?0? 时，当，即抛物线的对称轴就是轴； a2by0b?0? 时，当，即抛物线对称轴在轴的右侧 a20?a 在的前提下，结论刚好与上述相反，即by0?b?0时， ，即抛物线的对称轴在当轴右侧； a2by0?b?0时，轴；，即抛物线的对称轴就是 当 a2by0b?0时，即抛物线对称轴在当轴的左侧 a2ab 总结起来，在决定了抛物线对称轴的位置确定的前提下，b?x0?ababab?0yy ，在的符号的判定：对称轴轴左边则，概括的说就是“左同右异”在轴的右侧则 a2 总结：c 3. 常数项yyx0?c时，抛物线与 轴交点的纵坐标为正； 轴的交点在轴上方，即抛物线与当yy0c?0 时，抛物线与轴交点的

10、纵坐标为轴的交点为坐标原点，即抛物线与当 ；yyx0c? 当轴交点的纵坐标为负轴下方，即抛物线与时，抛物线与轴的交点在yc 总结起来， 轴交点的位置决定了抛物线与，c，ab总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：选择适当的形式，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法 才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；1. 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；x 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，

11、常选用顶点式4. 文案大全标准实用 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 x轴对称关于 1. 22xc?ax?bx?cbxy?y?ax 轴对称后，得到的解析式是关于； 22?xk?hy?ay?a?x?hx?k 轴对称后，得到的解析式是；关于y轴对称 2. 关于 22y?bx?ax?bx?ccyy?ax；关于 轴对称后，得到的解析式是22?y?kxk?y?ay?ax?hh?；关于 轴对称后，得到的解析式是 3. 关于原点对称 22c?bx?cy?axy?ax?bx 关于原点对称后，得到的解析式是； 22?kx?hx?h?ky?ay?a 关于原点对称后

12、，得到的解析式是 ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2b22cbx?y?ax?c?ax?bxy 关于顶点对称后，得到的解析式是； a222?k?x?hh?ky?y?aax 关于顶点对称后，得到的解析式是?nm， 5. 关于点对称22?，mnkx?ah?a?x?h?2my?2n?k?y关于点 对称后，得到的解析式是 a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开

13、口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：x 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：220c?ax?bx?cbx?y?ax?0y?. 是二次函数时的特殊情况当函数值一元二次方程x轴的交点个数： 图象与?20?4ac?bx0x，B，A，x0xx，x(x?)是一元二次方程轴交于两点时，图象与，其中的 当221121 2ac?b4?2 0bx?c?0?aax?x?x?AB的两根这两点间的距离. 12ax0?轴只有一个交点； 当时，图象与x0?轴没有交点 当. 时，图象与xx0?ay?01；为任何实数，都有轴的上方，无论时，图象落在 当 xx0a?y?0

14、2 时，图象落在 轴的下方，无论当为任何实数，都有2yc?ax?bxy(0c) 的图象与；，抛物线2. 轴一定相交，交点坐标为 3. 二次函数常用解题方法总结：x 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 文案大全标准实用 2caacc?ax?bxy?bb的符号判断图象的位置，要数形的符号，或由二次函数中中， 根据图象的位置判断二次函数， 结合；x轴的一个交点坐标，可由对称性求出二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 . 另一个交点坐标2x0)?c(abxax?0a

15、?时为例，揭示 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式的二次函数；下面以本身就是所含字母二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 0? 2y=2x2y=x2y=-2(x+3)x轴有抛物线与两个交点 2y=-2x二次三项式的值可正、可 零、可负一元二次方程有两个不相等实根 ?0 x有轴抛物线与只一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 ?0 x交轴无抛物线与 点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图像参考： 2xy=22xy= -22y= -x2y=-2x 2+2y=2x2y=3(x+4) 2y=3x2y=3(x-2)2y=2x 2-4y=2x 22

16、y=2xy=2(x-4)2-3y=2(x-4) 文案大全标准实用 2y=-2(x-3) 十一、函数的应用 刹车距离?何时获得最大利润? 二次函数应用?最大面积是多少? 二次函数考查重点与常见题型 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：122mx2?2)xm?my?(m 的值是已知以的图像经过原点，为自变量的二次函数 则 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为 2 选择题，如：21?bxy?kxbkx?y? ）的图像大致是（的图像在第一、二、三象限内，那么函数如图，如果函数 y y y y 1 1 0 x

17、o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 35?x (0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。已知一条抛物线经过 3 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 432c?bxy?ax y轴交点的纵坐标是1、3，与（a已知抛物线0）与x轴的两个交点的横坐标是 2. 2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标1）确定抛物线的解析式；（ 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的

18、符号c)(b,M2c?bx?y?ax ）在（1）二次函数的图像如图1，则点 1 例（ a D第三象限第四象限第一象限 B第二象限 C A2；4a+b=0x=1和x=3时，函数值相等；同号；2y=ax已知二次函数+bx+c（a0）的图象如图所示，?则下列结论：a、b当）（ 2 其中正确的个数是（0. ）时，当y=-2x的值只能取 4 D3 C2 B1A个个个个 文案大全标准实用 (1) (2) ，c之间的关系，是解决问题的关键【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b2的下方下列结论：(O，2)，且1xO，其中正确结论的个数为abO；4a+c 存在，请你说明理由 ，A(x0)，B(x2，O)，x(1)

19、解：如图抛物线交轴于点 1 x，又x，x则x=3O，O，x=-3x121222=1. =-3xx=-3xx 1211 x=3=-10 x，x211a=2 b=3 ，点 A(-1，O)P(4，10)代入解析式得解得 2 y-2x 二次函数的解析式为-4x-6 ACOMC0(2)存在点M使 ，A(1，O)轴的对称点关于(2)解：点Ay 与抛物线交点为直线，直线AC解析式为y=6x-6AC(0，(524)，-6) 或的范围为符合题意的x-1x0Ox5 时，或的横坐标满足当点M-1xOOxACO 12c?y?xbx c，“已知函数，、7例 2）（的图象经过点A 2 。求证：这个二次函数图象的对称轴是x

20、=3”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，1（ 文案大全 标准实用 请说明理由。 ）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。（2”当x=3点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函”A（c，2）作已知来用，再结合条件“图象经过点）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可1数解析式。对于

21、第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。12c?x?bxy?，得，图象的对称轴是c，2）x=3的图象经过点A解答 （1）根据（ 21?2,?c?2c?bc? 2 ?b? ,3? 1?2? 2?,3?b? 解得.2c?12.?y?2xx?3 所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 2120x?x2?3.?3?5x?3?5,x （2）在解析式中令y=0，解得，得 212).,03?5,0)5( 3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（x轴的一个交点的坐标是所以可以填“抛物线与5,?y 令x=3代入解析式，得 2512?y,?),3x?2(3x? 所以抛物线的顶点坐标为 225)?(3, 等等。所以也可以填抛物线的顶点坐标为 2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之 间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 有最大面积，使矩形PNDM试在AB上求一点P的正方形截去一个角后成为五边形1已知边长为4ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1例 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在