《工程流体力学》第四章 流体运动学基础

1、第四章第四章 流体运动学基础流体运动学基础 1.研究对象：研究对象：研究流体的运动规律，即速度、加速度等各研究流体的运动规律，即速度、加速度等各 种运动参数的分布规律和变化规律，不涉及导致运动的力学种运动参数的分布规律和变化规律，不涉及导致运动的力学 因素。因素。 2.适用对象：适用对象：可压缩流体、不可压缩流体，理想流体和黏可压缩流体、不可压缩流体，理想流体和黏 性流体。性流体。 4.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 一、拉格朗日法一、拉格朗日法 1.研究方法：研究方法：着眼于流场中每一个运动的流体质点，跟踪着眼于流场中每一个运动的流体质点，跟踪 观察每一质点的运动轨迹（迹线

2、）以及运动参数（速度、压观察每一质点的运动轨迹（迹线）以及运动参数（速度、压 强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有质点的运动，强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有质点的运动， 得到整个流场的运动规律。得到整个流场的运动规律。 2.拉格朗日变数：拉格朗日变数：为了识别运动中的每一个流体质点，在为了识别运动中的每一个流体质点，在 某一初始时刻某一初始时刻t0，以不同的一组数（，以不同的一组数（a、b、c）来标记不同的）来标记不同的 流体质点，这组数（流体质点，这组数（a、 b、c）就叫拉格朗日变数。）就叫拉格朗日变数。于是于是流体质点的物理量可以表示流体质点的物理量可以表示 为拉格朗日变数

3、和时间的函数。例如流体质点的运动速度的为拉格朗日变数和时间的函数。例如流体质点的运动速度的 拉格朗日描述为：拉格朗日描述为： u= =u( (a, ,b, ,c, ,t) ) v= =v( (a, ,b, ,c, ,t) ) （4- -1） w= =w( (a, ,b, ,c, ,t) 它表示初始时刻它表示初始时刻t0、拉格朗日变数为（、拉格朗日变数为（a，b，c）的流体质点）的流体质点 在在t时刻的速度在三个坐标轴上的分量。时刻的速度在三个坐标轴上的分量。 2.压强的表示方法：压强的表示方法：同样，压强同样，压强p的拉格朗日描述为的拉格朗日描述为 p=p( (a, ,b, ,c, ,t) （

4、4- -2） 二、欧拉法二、欧拉法 1.研究方法：研究方法：着眼于运动流体所充满的空间，即流场。以着眼于运动流体所充满的空间，即流场。以 流场中各个固定的空间点为参考对象。设在某一时刻，观察流场中各个固定的空间点为参考对象。设在某一时刻，观察 到流场中各个空间点上流体质点的流速，将这些流速综合到到流场中各个空间点上流体质点的流速，将这些流速综合到 一起，就构成了这个时刻的速度场。如求得各瞬时的速度一起，就构成了这个时刻的速度场。如求得各瞬时的速度 场，就可以得到速度场随时间的变化规律，因场，就可以得到速度场随时间的变化规律，因 此流速场应该是空间点（此流速场应该是空间点（x，y，z）和时间）和

5、时间t的函数，即：的函数，即： u= =u( (x, ,y, ,z, ,t) ) v= =v( (x, ,y, ,z, ,t) ) （4- -3） w= =w( (x, ,y, ,z, ,t) 它可以描述同一时刻不同空间点流体质点的速度，也可以描它可以描述同一时刻不同空间点流体质点的速度，也可以描 述同一空间点上流体质点的速度随时间的变化规律。述同一空间点上流体质点的速度随时间的变化规律。 2.欧拉变数：欧拉变数：固定空间点的坐标（固定空间点的坐标（x，y，z）称为欧拉变）称为欧拉变 数。数。 3.加速度场的表示方法：加速度场的表示方法：加速度场加速度场a可以表示为：可以表示为： a= =a(

6、 (x, ,y, ,z, ,t) （4- -4） 4.压强场的表示方法：压强场的表示方法：压强场压强场p可以表示为：可以表示为： p= =p( (x, ,y, ,z, ,t) （4- -5） 5.流体运动加速度的表示方法：流体运动加速度的表示方法： 根据复合函数的求导法则，流体运动的加速度可以表示根据复合函数的求导法则，流体运动的加速度可以表示 为：为： （4- -6） 若用矢量表示，则有：若用矢量表示，则有： （4- -7） 式中式中 为速度矢量，为速度矢量， 为为 哈密尔顿矢性微分算子，其中的哈密尔顿矢性微分算子，其中的 ， ， 为坐标轴上的单位为坐标轴上的单位 矢量。矢量。 x d, ,

7、d = dd u x y zuuuuu auvw tttxyz = = = y d, ,d = dd v x y zvvvvv auvw tttxyz = = = z d, ,d = dd w x y zwwwww auvw tttxyz = = = kwj vi uv = = z k y j x i = = i j k vv t v a = = 当地（时变）加速度：当地（时变）加速度：上式中的上式中的 表示在某一固定的空表示在某一固定的空 间点上，流体质点速度对时间的变化率，也就是在同一空间间点上，流体质点速度对时间的变化率，也就是在同一空间 点上，由于时间的变化点上，由于时间的变化 所引起

8、的加速度，一般称为当地加速度或时变加速度。所引起的加速度，一般称为当地加速度或时变加速度。 位变（迁移）加速度：位变（迁移）加速度：上式中的上式中的 表示由于流体质表示由于流体质 点经过不同的空间位置时引起的加速度，一般称为位变加速点经过不同的空间位置时引起的加速度，一般称为位变加速 度或迁移加速度。度或迁移加速度。 可见由欧拉法描述流体的运动时，加速度是由当地加速可见由欧拉法描述流体的运动时，加速度是由当地加速 度和迁移加速度两部分组成。度和迁移加速度两部分组成。 6.控制体：控制体：应用欧拉法时，常在流场中选取一固定空间区应用欧拉法时，常在流场中选取一固定空间区 域来观察流体的运动，这个固

9、定空间区域称为控制体，控制域来观察流体的运动，这个固定空间区域称为控制体，控制 体的表面称为控制面。相对于坐标系而言，控制体的位置、体的表面称为控制面。相对于坐标系而言，控制体的位置、 形状和体积均固定不变，而流体则可以流进或流出控制体。形状和体积均固定不变，而流体则可以流进或流出控制体。 t v vv 4.2 流体运动中的基本概念流体运动中的基本概念 一、定常流动与非定常流动一、定常流动与非定常流动 1.定常（恒定）流动：定常（恒定）流动：流场中流体的运动参数（速度、加流场中流体的运动参数（速度、加 速度、压强、密度、温度、动能、动量等）不随时间变化，速度、压强、密度、温度、动能、动量等）不

10、随时间变化， 而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常或恒定流动。而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常或恒定流动。 这时对于速度、压强等参数有：这时对于速度、压强等参数有： u= =u( (x, ,y, ,z) ) v= =v( (x, ,y, ,z) ) （4- -8） w= =w( (x, ,y, ,z) p= =p( (x, ,y, ,z) （4- -9） 而而 （4- -10） 2.非定常（非恒定）流动：非定常（非恒定）流动：流场中流体的运动参数不仅是流场中流体的运动参数不仅是 位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常

11、 或非恒定流动。或非恒定流动。 0= = = = = = = = t p t w t v t u 3.均匀流场：均匀流场：流场中流体的运动参数既不随时间变化，也流场中流体的运动参数既不随时间变化，也 不随空间位置变化，则称这种流场为均匀流场。不随空间位置变化，则称这种流场为均匀流场。 如图所示如图所示 容器中液位高度容器中液位高度H保持不变时：保持不变时：液体在液体在AB段内的流动为段内的流动为 均匀流动，既无时变加速度也无迁移加速度；在均匀流动，既无时变加速度也无迁移加速度；在BC段内的流段内的流 动为定常流动，只有迁移加速度而无时变加速度。动为定常流动，只有迁移加速度而无时变加速度。 容器

12、中液位高度容器中液位高度H随液体的出流而不断降低时：随液体的出流而不断降低时：液体在液体在 AB、BC段内均为非定常流动，在段内均为非定常流动，在AB段内只有时变加速度而段内只有时变加速度而 无迁移加速度，在无迁移加速度，在BC段内既有时变加速度又有迁移加速度。段内既有时变加速度又有迁移加速度。 二、一维流动、二维流动、三维流动二、一维流动、二维流动、三维流动 1.一维流动：一维流动：流场中流体的运动参数仅是一个坐标的函数流场中流体的运动参数仅是一个坐标的函数 的流动。真正的一维流动并不存在，但是当采用断面的平均的流动。真正的一维流动并不存在，但是当采用断面的平均 参数时，就可以近似地按一维流

13、动来处理，例如流体在圆管参数时，就可以近似地按一维流动来处理，例如流体在圆管 内的流动等。内的流动等。 2.二维流动：二维流动：运动参数是两个坐标的函数的流动。例如流运动参数是两个坐标的函数的流动。例如流 体在无限宽倾斜缝隙内的流动等。体在无限宽倾斜缝隙内的流动等。 3.三维流动（空间流动）：三维流动（空间流动）：运动参数依赖于三个坐标时的运动参数依赖于三个坐标时的 流动。流动。 三、迹线与流线三、迹线与流线 1.迹线：迹线：流场中流体质点的运动轨迹。它是拉格朗日法描流场中流体质点的运动轨迹。它是拉格朗日法描 述流体运动的几何基础。述流体运动的几何基础。 2.流线流线 流线的定义：流线的定义：

14、流场中的瞬时光滑曲线，且曲线上流体质流场中的瞬时光滑曲线，且曲线上流体质 点的速度方向与该点的切线方向重合。它是欧拉法描述流体点的速度方向与该点的切线方向重合。它是欧拉法描述流体 运动的几何基础。运动的几何基础。 如图所示，在某一固定时刻如图所示，在某一固定时刻t0，取流场中的某一点，取流场中的某一点1，作，作 出其速度向量出其速度向量v1。在。在v1上靠近上靠近1点取点点取点2，经过点，经过点2作同一时刻作同一时刻 的速度向量的速度向量v2。在。在v2上靠近上靠近2点取点点取点3，再过，再过3点作出同一时刻点作出同一时刻 的速度向量的速度向量v3如此继续下去，便可得到如此继续下去，便可得到t

15、0时刻的一条折线时刻的一条折线 1234567。当各点都无限靠近时，折线便成为光滑曲线，这条。当各点都无限靠近时，折线便成为光滑曲线，这条 曲线就是时刻曲线就是时刻t0经过点经过点1的流线。在流场中，在同一时刻可以的流线。在流场中，在同一时刻可以 作出无数条流线。作出无数条流线。 流线的特性流线的特性 在定常流动中，因各点速度不随时间变化，故流线形状在定常流动中，因各点速度不随时间变化，故流线形状 不随时间而变，流线质点必须沿某一确定的流线运动，此时不随时间而变，流线质点必须沿某一确定的流线运动，此时 流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的位置和形状随时流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的位

16、置和形状随时 间而变，因此流线与迹线不重合。间而变，因此流线与迹线不重合。 一般来讲，在某一时刻，通过流场中的某一点只能作出一般来讲，在某一时刻，通过流场中的某一点只能作出 一条流线。流线不能转折，也不能相交，否则在转折点和相一条流线。流线不能转折，也不能相交，否则在转折点和相 交点速度不唯一，这是不可能的。只有在速度为零的驻点，交点速度不唯一，这是不可能的。只有在速度为零的驻点， 或速度为无穷大的奇点才有这种可能。如图所示。或速度为无穷大的奇点才有这种可能。如图所示。 某时刻某时刻t0，过流线上任意一点，取一微小线，过流线上任意一点，取一微小线 段段 。dx、dy、dz是线段是线段 在在x、

17、y、z坐标坐标 轴上的分量，过该点的速度向量为轴上的分量，过该点的速度向量为 ，u、v、w是速度的坐标分量。根据流线的定是速度的坐标分量。根据流线的定 义有：义有： 在直角坐标系中，上式变为：在直角坐标系中，上式变为： （4- -11） 这就是这就是t0时刻的流线微分方程式。时刻的流线微分方程式。 四、流管与流束四、流管与流束 1.流管：流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线在流场中任取一条不是流线的封闭曲线L， 过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表 面称为流管，如图所示。由于流管表面是由流线组面称为流管，如图所示。由于流管表面是由流线

18、组 成，所以流体质点不能穿出或穿入流管表面，这样流成，所以流体质点不能穿出或穿入流管表面，这样流 管就好像刚体壁面一样，把流体的运动限制在流管内或流管管就好像刚体壁面一样，把流体的运动限制在流管内或流管 外。外。 k zj yi xl dddd = = l d kwj vi uv = = 0d= = vl w z v y u xddd = = = 2.流束：流束：流管内部的全部流体。流管内部的全部流体。 总流：总流：如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是 充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。

19、微小流束：微小流束：如果封闭曲线取得极小，甚至缩为一点，则如果封闭曲线取得极小，甚至缩为一点，则 极限近于一条流线的流束，称为微小流束。极限近于一条流线的流束，称为微小流束。 五、过流断面、流量和平均流速五、过流断面、流量和平均流速 1.过流断面：过流断面：流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为 该流束的过流断面。过流断面可能是平面该流束的过流断面。过流断面可能是平面A- -A，C- -C，如下右，如下右 图所示，也可能是曲面图所示，也可能是曲面B- -B。 2.流量：流量：单位时间内通过某一过流断面的流体量。单位时间内通过某一过流断面的流体量。 体积流量

20、（体积流量（qV）：）：用体积来度量的流体量。用体积来度量的流体量。 质量流量（质量流量（qm）：）：用质量来度量的流体量。用质量来度量的流体量。 在流束的某一过流断面在流束的某一过流断面A上，任取一微元面积上，任取一微元面积dA，如图所，如图所 示。示。dA上各点的速度上各点的速度u可以认为相同。且可以认为相同。且u与与dA垂直，则单位垂直，则单位 时间内通过时间内通过dA的流体体积，即微小流量为：的流体体积，即微小流量为： dqV= =udA （4- -12） 将上式在整个过流断面将上式在整个过流断面A上积分可得总的过流断面流量：上积分可得总的过流断面流量： （4- -13） 相应的质量流

21、量为：相应的质量流量为： （4- -14） = = = A Auqqdd VV = = = A Auqqd Vm 3.平均速度：平均速度：工程计算中，为了简化问题，常将通过某一工程计算中，为了简化问题，常将通过某一 过流断面的流量过流断面的流量qV与该过流断面面积与该过流断面面积A相除，得到一个均匀分相除，得到一个均匀分 布的速度布的速度V，称为平均速度：，称为平均速度： （4- -15） 或或 qV=VA （4- -16） A Au A q V A = = = d V 4.3 连续性方程式连续性方程式 将质量守恒定律应用于运动的流体上，得到的就是连续将质量守恒定律应用于运动的流体上，得到的就

22、是连续 性方程，它是流体力学中最重要、最基本的方程之一。性方程，它是流体力学中最重要、最基本的方程之一。 一、一维流动的连续性方程一、一维流动的连续性方程 设有一如图所示的过流断面设有一如图所示的过流断面1- -1、2- -2及管壁所围成的体及管壁所围成的体 积，称为控制体，以积，称为控制体，以Vc表示。因为流体不能穿过流管表面流表示。因为流体不能穿过流管表面流 动，只能通过过流断面动，只能通过过流断面1- -1、2- -2流进和流出。根据质量守恒流进和流出。根据质量守恒 定律，定律，t时刻控制体时刻控制体Vc内流体质量为内流体质量为mt，那么，那么t dt时刻控制体时刻控制体Vc 中流体质量

23、为：中流体质量为： （4- -17） 式中式中 是是dt时间时间内从内从2- -2断面流出的流体质断面流出的流体质 量，量， 是是dt时间内从时间内从1- -1流进的流体质流进的流体质量。量。 - -= = 12 dddd 1122tdt AA t AutAutmm 2 dd 22 A Aut 1 dd 11 A Aut 另外，控制体另外，控制体Vc内流体在内流体在t+dt时刻的质量也可以表示为：时刻的质量也可以表示为： （4- -18） 式中式中 是流体密度对时间的变化率。是流体密度对时间的变化率。 由式（由式（4- -17）和式）和式（4- -18）两式得：）两式得： （4- -19） 这

24、就是连续性方程的基本形式，它表明控制体内流体质量的这就是连续性方程的基本形式，它表明控制体内流体质量的 时间变化率等于流入与流出控制体流体质量的差值。从这一时间变化率等于流入与流出控制体流体质量的差值。从这一 方程可以得到更为有用的形式。方程可以得到更为有用的形式。 当流体在管道内做定常流动时，当流体在管道内做定常流动时， ，于是，于是 （4- -20） ctdtt ddmmV t t V = = t = = - - VAA V t AuAu0ddd c1122 12 0= = t = = 21 dd 2211 AA AuAu 或或 1A1V1= = 2A2V2 （4- -21） 如果流体不可

25、压缩，如果流体不可压缩， = =C，于是：，于是： （4- -22） 或或 A1V1= =A2V2= =qV （4- -23） 这就是一维流动的连续性方程，它适用于恒定或非恒定流动这就是一维流动的连续性方程，它适用于恒定或非恒定流动 的不可压缩流体。的不可压缩流体。 = = 21 dd 21 AA AuAu 二、微分形式的连续性方程二、微分形式的连续性方程 在流场中任取一微小平行六面体，其边长分别为在流场中任取一微小平行六面体，其边长分别为dx、 dy、dz，坐标按如图所示选取。设顶点，坐标按如图所示选取。设顶点A的流体速度为的流体速度为 ，它，它 在坐标轴上的分量为在坐标轴上的分量为u、v、

26、w。则单位时间内沿。则单位时间内沿x方向从后表方向从后表 面流入六面体的流体质量为：面流入六面体的流体质量为： udydz 从前表面流出六面体的流体质量为：从前表面流出六面体的流体质量为： dd dd u x ux y z xx v 如以流出为正，流入为负，则在如以流出为正，流入为负，则在dt时间内，沿时间内，沿x轴流出、轴流出、 流入六面体流体的质量的差值为：流入六面体流体的质量的差值为： 同理，同理，则在则在dt时间内，沿时间内，沿y轴和轴和z z轴流出、流入六面体流体的质轴流出、流入六面体流体的质 量的差值为：量的差值为： x ddd ddddd ddd uu Mx ux y zu y

27、zx y z t xxx = = - -= = y dd ddd v Mx y z t y = = z dd ddd w Mx y z t z = = 于是，于是，dt时间内通过六面体表面净流出质量为：时间内通过六面体表面净流出质量为： （4- -24） xyz d =dddd ddd uvw M MMMx y z t xyz = = 根据质量守恒定律，单位时间内流出、流入六面体表面根据质量守恒定律，单位时间内流出、流入六面体表面 的质量差值，必会引起六面体密度的变化。假设的质量差值，必会引起六面体密度的变化。假设t时刻流体的时刻流体的 密度为密度为 ，则，则t dt时时 刻流体的密度为刻流体

28、的密度为 。那么。那么dt时间内，六面体内流体时间内，六面体内流体 的质量将由的质量将由 udxdydz变为变为 ，即六面体内流，即六面体内流 体质量的改变量为：体质量的改变量为： （4- -25） dt t d d ddtx y z t d= d ddd d ddMx y ztx y z t - - d dddx y z t t = =- - 由连续性原理可得：由连续性原理可得： dM=dM （4- -26） 将式（将式（4- -24）和式（）和式（4- -25）代入上式并简化得：）代入上式并简化得： （4- -27） 这就是微分形式的连续性方程式。这就是微分形式的连续性方程式。 对于不可压

29、缩流体（恒定或非恒定流动），对于不可压缩流体（恒定或非恒定流动）， = =C，上式简化为：，上式简化为： （4- -28） 对于二维流动，上式变为：对于二维流动，上式变为： （4- -29） 0 uvw txyz = = 0 uvw xyz = = 0 uv xy = = 4.4 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 流体的运动较刚体更为复杂。流体微团除平移和转动流体的运动较刚体更为复杂。流体微团除平移和转动 外，还有变形运动（角变形和线变形）。外，还有变形运动（角变形和线变形）。 取一流体微团，设它在取一流体微团，设它在yoz平面上为矩形平面上为矩形abcd。 1.平移：平移：只考虑流体微团

30、做平移运动时，经只考虑流体微团做平移运动时，经dt时间后流体微时间后流体微 团由实线位置运动至虚线位置，其方位与形状均不变，如图团由实线位置运动至虚线位置，其方位与形状均不变，如图 所示。所示。 2.线变形：线变形：只考虑微团发生线变形时，如图所示，由于只考虑微团发生线变形时，如图所示，由于a、 b两点与两点与c、 d两点在两点在y方向的速度差同为方向的速度差同为 ，因此经，因此经dt时间后，时间后，ab、cd 伸长了伸长了 ，定义单位时间内单位长度的线变形为线变形速率，定义单位时间内单位长度的线变形为线变形速率， 所以微团在所以微团在y方向的线变形速率为：方向的线变形速率为： 同理，同理，x

31、、z方向的线变形速率为：方向的线变形速率为： （4- -30） y y v d ty y v dd y v = = y x u = = x z w = = z 3.角变形与转动：角变形与转动：只考虑微团发生角变形与转动时，如图只考虑微团发生角变形与转动时，如图 所示，由于所示，由于b、d两点相对于两点相对于a点分别在点分别在z方向和方向和y方向也存在速方向也存在速 度差，因此必须使度差，因此必须使ab、ad边的相对位置发生变化，促使流体边的相对位置发生变化，促使流体 微团发生角变形和旋转。因微团发生角变形和旋转。因b点相对点相对 于于a点在点在z方向速度差为方向速度差为 ，经，经dt时间后时间

32、后b点在点在z方向比方向比a点多点多 移动移动 的距离，的距离，ab边沿逆时针方向转过的微小角度为：边沿逆时针方向转过的微小角度为： （4- -31） 即即 （4- -32） 同样，由于同样，由于a、d两点在两点在y方向的速度方向的速度 差，引起差，引起ad边沿顺时针方向转过微边沿顺时针方向转过微 小角度：小角度： （4- -33） y y wd ty y w dd t y w y tyyw d d dd/ tan 1 = = = = t y wd d 1 t z v dd 2 我们可以将以上运动看成是先发生角变形，即我们可以将以上运动看成是先发生角变形，即ab、ad彼此相彼此相 向各转动一个

33、相等的角度向各转动一个相等的角度dj j（图中虚线），然后再发生转（图中虚线），然后再发生转 动，即动，即ab、ad朝相同的方向各转动相等的角度朝相同的方向各转动相等的角度dy y，于是有：，于是有： d 1 1= =dj j dy y （4- -34） d 2= =dj j- -dy y （4- -35） 联立解以上两式得：联立解以上两式得： （4- -36） （4- -37） 定义单位时间内角变形量的两倍为定义单位时间内角变形量的两倍为 角变形速度或角变形速率，以角变形速度或角变形速率，以2e e表表 示。利用以上各式可得绕示。利用以上各式可得绕x轴的角变轴的角变 形率为：形率为： 21

34、dd 2 1 d j j = = 21 dd 2 1 d y y- -= = 即即 （4- -38a） 同理得：同理得： （4- -38b） （4- -38c） 单位时间内的转角称为旋转角速度单位时间内的转角称为旋转角速度 w w，绕，绕x轴的旋转角速度为：轴的旋转角速度为： y w z v tt x = = = = = d dd d d 22 21 j j e e = = y w z v 2 1 x e e = = z u x w 2 1 y e e = = x v y u 2 1 z e e （4- -39a） 同理可得：同理可得： （4- -39b） （4- -39c） = = - - = = = z v y w tt2 1 d dd 2 1 d d