矩阵的各种运算详解

1、二一和丄:.,矩阵与月的和记作上+ B，规定为 才能进行矩阵的加法运算.两个同型矩阵的和，即为两定义1 ?设有两个.矩阵 注：只有两个矩阵是同型矩阵时, 个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵设矩阵1, 记称一为矩阵上的负矩阵,显然有/+M=o.由此规定矩阵的减法为定义2 ?数!,与矩阵 数与矩阵的乘积运算称为矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算 都是同型矩阵，是常数，则j4+B=B+4小m - .v刃+（-小0;心伽， （如!）加肋+皿; lc（A+B）=）cA+kSA的乘积记作 数乘运算.J或上!I ,规定为.它满足下列运算规律:（5）?（7）（8）注：在数学中，把满足上述八条规律

2、的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3 ?设矩阵丄与矩阵丄的乘积记作匚,规定为记号L常读作上左乘二或丄右乘.注：只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算.若一 丄，则矩阵的元素；即为矩阵的第.行元素与矩阵 丄的第-列对应元素乘积 的和.即二偽少+闵必打+偽上#(7=450), (虫+聊 jC+BG C(A+B) = CA+CBt k(AB)(kA)B=AkB).矩阵的乘法满足下列运算规律（假定运算都是可行的）:（1）（2）（3）（4）例如,设 11-2丿3 - 6J ?则BA =* 24旷5而?1-31 -VI于是 J丄:一？且从上例还可看岀：两个非零矩阵相乘，可能

3、是零矩阵，故不能从:,|必然推岀或5=0.此外，矩阵乘法一般也不满足消去律，即不能从二必然推岀二例如，设q %卫3;卫0;0 J,oAC贝 U ?但一匸定义4?如果两矩阵相乘，有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵_5,容易证明 或简写成可见单位矩阵 二在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1 ?设扁是一个n阶矩阵，则丄是一个数量矩阵的充分必要条件是口与任何n阶矩阵上可换。命题2?设丄2均为n阶矩阵，则下列命题等价：(1) i-(2) 丄I(3) 丁(4) IA -三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法，线性方程组 可表示为矩阵形式：AX=

4、b ?其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵.方程(2)又称为矩阵方程.如果二-匸 是方程组(1)的解，记列矩阵则丿,；D ,这时也称是矩阵方程的解；反之，如果列矩阵是矩阵方程的解，即有矩阵等式二: 成立，则上-I即 (户1,2严)也是线性方程组(1)的解.这样，对线性方程组(1)的讨论 便等价于对矩阵方程(2)的讨论.特别地，齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵 理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利四、矩阵的转置定义6?把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为的转置矩阵，记作二(或匸).即若则11也1护=旳 2

5、a22 % V V 11 V V%务血.矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）:八厂？二一五、方阵的幕定义5?设方阵；,.,规定J称为的 次幕.方阵的幕满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：则有 :为自然数，反之不成注：一般地为自然数 命题3设i均为n阶矩阵，1 -立。六、方阵的行列式定义7?由阶方阵的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵上的行列式，记 作1或:lL_注：方阵与行列式是两个不同的概念，:阶方阵是r个数按一定方式排成的数表，而口阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）方阵的行列式满足以下运算规律（设为口阶方阵，卜为常数）:jn、；

6、-I进一步二口匚七、对称矩阵定义8设为阶方阵，如果丄即则称上为对称矩阵.显然，对称矩阵 的元素关于主对角线对称 .例如656g0?卜1 ,05丿均为对称矩阵如果 -二则称为反对称矩阵.八、共轭矩阵定义9 ?设1L-为复（数）矩阵，记其中表示二的共轭复数，称二为A的共轭矩阵.共轭矩阵满足以下运算规律（设二-三为复矩阵，卜为复数，且运算都是可行的）:理二巫;AB-AS.例题选讲：注:？ n阶数量矩阵例3 （讲义例3）若q1t30 3、-2 , B =1求苑?矩阵的线性运算C123q31-PA=031,B5-301例1 （讲义例1)已知4D3J2-525-2157PfB=5197例2 （讲义例2)已

7、知3462-19且，求J5B= 1Qxi1x0BA =1(l 0, 4)=1X11x01x4卫Xl0x00x4;&川二砌V例5设，B=I例4设占二（1, 0, 4）, I。丿。A是一个义，BA也有意义；但1矩阵,1 0=1 0o 0B是 3x1 矩阵，因此44八AB有意乞丿（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则缶11+為=勺十為叭+如（3）、弧八例6 （讲义例4）某地区有四个工厂I、n、皿、wh2，生产甲、乙、丙三种产品 ，矩阵A表示 一年中各工厂生产各种产品的数量 ，矩阵B表示各种产品的单位价格 （元）及单位利润（元）,矩阵C 表示各工厂的总收入及总利润 .其中,?1丄十-一二

8、是第.个工厂生产第 匸种产品的数量,订及丨：分别是第 种产品的单位价格及单位利润，及 （心,4） 分别是第.个工厂生产三种产品的总收入及总利润.则矩阵 AtB,C 的元素之间有下列关系：其中例7 （讲义例例8 （讲义例5)6)求与矩阵勺0001000?可交换的一切矩阵.例9 （讲义例7)证明：如果,J： = /!i./ f.L，= 贝U有1-1解矩阵方程V ?x为二阶矩阵-1-1丿（2）设J=(l( 2,，则例11 （讲义例8)已知a00-P2丿0例12（讲义例9)设，则?求 J-、1例10 （1）设r-21-2、-21-2AB =-451-4519-690又=241 0-1-2 1 01*2 10=-2 0| =03 13 2-1