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文档简介
1、高中数学概念汇总一集合的概念:1.集合的表示法:(1 )列举法:如 1,2,3,4,5; (2) 描述法:如 x|x 2;2.集合间的关系:( 1)子集: A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 叫做集合 B 的子集,记为 A B;任何一个集合是它本身的子集,空集是任何一个集合的子集。( 2)真子集:如果 A 是 B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记为 A B 。空集是任何一个非空集合的真子集。( 3)两个集合相等:对于两个集合A 与 B,如果 A B,同时 BA ,那么就说这两个集合相等,记作 A=B.3.集合的运算:( 1)交
2、集: AB x| xA, 且 xB ;( 2)并集: AB =x| xA 或 xB ;( 3)补集:若全集为 U,则集合 A 的补集为 CU A =x| xU 但 xA 。4.当集合用描述法表示时,注意弄清元素表示的意义是什么。集合x|f(x)=0x|f(x)0x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意义方程 f(x)=0 的不等式 f(x)0函数 y=f(x)的 函数 y=f(x)的函数 y=f(x)图解集的解集定义域值域像上的点集5.集合中元素的三大属性;(1) 元素的确定性;( 2)元素的无序性;( 3)元素的互异性。对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验
3、集合是否满足元素的互异性。6.常用数集的记号:自然数集 N;整数集 Z;有理数集Q;实数集 R;复数集 C.空集。二命题1.四种命题形式:如果一命题条件为A,结论为 B,那么该命题的原命题形式是:若 A 成立,则 B 成立(即 AB);它的逆命题形式是:若B 成立,则A 成立(即BA);它的否命题形式是:若A 不成立,则B 不成立(即AB );它的逆否命题形式是:若B 不成立,则A 不成立(即BA )。等价命题:若甲,乙两命题满足:甲乙,乙甲,则称甲乙两命题是等价命题,记为甲乙;原命题与逆否命题是等价命题;逆命题与否命题是等价命题。2.充分条件与必要条件:设条件 A 和结论 B,如果 A B
4、,那么 A 是 B 的充分条件,或说 B是 A的必要条件; 如果 B A ,那么 A 是 B 的必要条件, 或说 B 是 A 的充分条件; 如果 A B ,那么 A 是 B 的充分必要条1件,简称充要条件。设 A=a|a 具有性质 , B=b|b 具有性质 ,则 AB 与 等价。3.关于四个命题的真值表原命题:若 p,则 q逆命题:若 q,则 pp ,则 q逆否命题:若 q ,则 p否命题:若真真真真真假假真假真真假假假假假如果两个命题互为逆否命题,那么它们具有相同的真假值。如果两个命题为互逆命题或者是互否命题,那么它们的真假没有必然联系。三不等式1.实数比较大小的基本方法:即等价关系: ab
5、a b0; ab ab0; aba b 02.掌握不等式的 8个基本性质(1 )若 ab,bc, 那么 ac;(2) 若 ab, 那么 a+cb+c;(3) 若 ab.c0. 那么 acbc; 若ab,c0, 那么 acb.cd, 那么 a+cb+d;(5) 若 ab,cb -d;(6)若 ab0, 那么01111;( 7)若 ab0,cd0, 那么 acbd;a;若 0ab, 那么a0bb(8)若 ab0, 那么 anbn ,且 n an b ( nN,n1)3.含有绝对值不等式的性质ab a bab4.基本不等式:(1 )当 a0,b0时, a bab ,当且仅当 a=b 时等号成立;2(
6、2)因为 a+b 2ab ,所以,若积 ab 为定值,则 a+b 有最小值 2ab ;(3)因为 ab ( ab) 2 ,所以,若和a+b 为定值,则 ab 有最大值 ( a b)222(4)当 a0,b0时,有a2b2ab2(两个正数的平方平均数、算术22ab11ab平均数、几何平均数、调和平均数之间的大小关系)。5.解不等式(1 )一元一次不等式:如果a0, 那么 axb的解为 xb;如果 ab 的解为abx ;如果 a=0,b 0时,不等式无解; b 0 时,有xax2a2a .a xx ax2a2x a 或 xa(4) 形如 axb0(或 0 同解;形如axbcxd0 的分式不等式与一
7、元二次不等式 (ax+b)(cx+d)0同解。cxd解分式不等式一般不能去分母。四函数1. 函数的定义域: 当函数是以解析式形式给出时, 其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合。 当函数是以实际问题的形式给出时, 其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要考虑实际意义。2. 函数值域的主要求法:(1)利用函数的单调性;( 2)利用配方法; ( 3)利用函数的有界性;( 4)利用判别式法:形如 yax2bxc ( a,p 至少有一个不为零)的函数,求其值域,可利用判别式px 2qxh法; ( 5)利用换元法;( 6)利用基本不等式;( 7)几何法:利用数形结合的思想3方法,通过函数的曲线
8、图形间的关系,利用平面几何的知识求值域。3. 求函数解析式的四种常用方法:(1)拼凑法: 由已知条件f g xF x ,可将 F(x) 改写成 g(x) 的表达式, 然后用 x 代替g(x),便可得到f(x) 的表达式;( 2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数,二次函数)可用待定系数法;( 3)换元法:已知复合函数 fg(x) 的解析式,可用换元法,此时要注意“新元”的取值范围。(4)解方程组法:已知关于f(x) 与1或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另f (x)外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).4.函数的奇偶性:对于函数定义域内的任意x,恒有 f(-x)=-
9、f(x)或 f(-x)=f(x),那么分别称 f(x) 是奇函数或偶函数。奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称。5.函数的单调性:对于区间 I上的函 数 f(x), 若任 取 x1, x2I , 且 x1x2 , 恒 有fx1f x2 ,则称 f(x)在区间I 上是增函数;恒有 f x1fx2 ,则称 f(x)在区间 I上是减函数,这个区间 I叫做 f(x)的单调区间。判断函数单调性的方法:(1)定义法:利用定义法的关键是对f x1f x2 的整理,化简,变形和符号的判断,其中变形的策略有因式分解,配方法,分子(分母)有理化等。( 2)图像观察法;( 3)利用已知函数的单调性;
10、( 4)利用复合函数单调性法则:(里外函数单调性一致增;里外函数单调性相反减)6. 函数的零点:对于函数y=f(x),我们把使f ( x)=0 的实数 x 叫做函数y=f(x)的零点。(1)方程的根与函数零点的关系:方程f(x)=0有实数根,可得出y=f(x)的图像与x 轴有交点,进而得到:函数y=f(x)有零点。(2)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间 a,b上的图像是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)10a11a10a0,a 1,b 1)log b a(3) 形如: ylog ax (a0且a1)ylog a x与yax 是互为反函 的函数叫做对数函数。数(4) 对数函数的图像和
11、性质:yya10a0. 且 g(x)0. 形如f log a xb 的方程可利用换元法,设y= log a x ,先解 f(y)=0, 再进一步求解; 对数式的底数中含有未知数的方程,可根据具体情况, 利用对数定义或换底公式等, 把原方程化成简单的形式再求解。五三角比1.弧度制:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1 弧度,这种用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制。(1 )弧长 L 和半径 r,及圆心角 的关系是l, 一般规定,正角的弧度为正数,负角的r弧度是负数,零角的弧度是零。(2 )弧度与角度不能混合书写。6(3) 36002 弧度,180001800 57.30弧度,1弧度 0.
12、01745 弧度,1 弧度 = ()1800 = 57018 。(4 )弧长公式与扇形面积公式:lr , S1r 21 lr (其中 为弧度数)。222.任意角: 角的定义: 一条射线绕着它的端点,由初始位置旋转到最终位置就形成了一个角。角可分正角(逆时针旋转),负角(顺时针旋转)和零角(不旋转)。3.与 终边相同的角的集合可表示为: | ?360=k 0 + ,kZ 或 | =2k+, kZ 。4.任意角的三角比:定义:设 是一个任意角, 其终边上任意一点P 的坐标是 ( x,y), 它与原点的距离是r(r0),如图y那么 siny , cosx , tanyPrrxcotx ,secr ,
13、 cscroxyxy注:三角比的值与p 的位置无关。5.三角比在各象限内的符号,如图:YyyOxo x oxSin 与 csc cos 与 sec tan 与 cot 6.同角比间的关系:( 1)倒数关系 sin ?csc =1,cos ?sec =1, tan ?cot =1.(2) 商数关系tansincos。cos, cotsin( 3)平方关系sin 2cos21,1 tan2sec2,1 cot 2csc2。以上关系可用下图表示:Sin cos tan 1cot 7Seccsc 7.诱导公式:诱导公式可用十个字表示为:奇变偶不变,符号看象限。具体有以下公式:公式一: sin( +k?
14、2) =sin ,cos( +k?2) =cos,tan( +k?2) =tan .公式二: sin( +) =-sin , cos( +) =- cos. Tan(+) =tan .公式三: sin( -)=-sin , cos( -)=cos ,tan( -)=-tan .公式四: sin( -) =sin , cos( -) =- cos,tan( -)= -tan .公式五:公式六:sin()cos ,cos()sin22sin()cos , cos()sin。228.两角和与差的三角比:Sin( )=sin cos cos sin , cos( )=cos cos sin sin ,
15、tan()tantan1 tan.tan9.倍角公式:sin2 =2sin cos . Cos2=2sin221 1 2 sin2cos= 2 costan22 tan.1tan210. 半角公式: sin1 cos,cos1cos2,222tan1cossin1cos1cos1 cos.2sin11. 积化和差公式:sincos1sin()sin() , cos sin1 sin() sin() ,22coscos1)cos() ,cos(2sinsin1cos()cos() 。212. 和差化积公式:sinsin2 sincos,sinsin2 cossin,2222coscos2 cos
16、cos,coscos2sinsin。222213. 三角形的面积公式:S ABC111abc12absin Cbc sin Aacsin B4Rr a b c ,(R 为外接圆半径, r2228为内切圆半径)。14.abc正弦定理:sin B2R ( R 为外接圆半径)。sin Asin C15.余弦定理: a2b2c22bc cos A 或 cos Ab2c2a22bcb2c2a22ac cos B 或 cos Bc2a2b22ac2222ab cosC 或 cosCa 2b2c2cab。2ab六三角函数1.三角函数的图像和性质:函数Y=sinxY=cosxY=tanx定义域RRx|x ,
17、kZ k2值域 -1.1 -1,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T=2 T=2 T= 最值当 x2k时, ymin1;当 x=2k +时,没有最小也没有最大值2ymin1 ;当 x=2k当 x2k时,ymax1( k Z )时,2ymax1(k Z )单调性在 2k -,2k 上单在 (k, k)在 2k,2k调增;在 2k ,2k +2上单调增;222 上单调减( k Z )上单调增( kZ )在 2k3上单调减,2,2k2( kZ )9图像Yyy1x2.函数 y=Asin( x)(0, A 0 )型的图像与性质:(1 ) A 称为振幅, 它决定着函数的最值;称为角频率, 它决定着函数的周
18、期, 即 T2,周期 T 的倒数 f= 1 又称为频率;称为相位移,它决定函数y=Asinx 的图像向左还是T向右平移个单位。(2 )由函数y=sinx 的图像变换到y=Asin(x)(A0,0 )的图像的步骤:Y=sinx 的图像y=sin(x+ )0, 向左,11缩短缩短0101纵坐标为伸长原来的 A0A1 时,解集为;当 |a| 1时,解集为 x|x= k(1)karcsin a, kZ ;(2)cosx=a, 当|a|1 时,解集为;当 |a|1时,解集为 x|x= 2karccos a, kZ ;(3)tanx=a 的解集为 x|x=karctan a, kZ .七数列与数学归纳法:
19、1.等差数列:(1)定义: an an1d (d 为常数) ;(2) 通项公式: ana1(n1)d ;( 3)前 n 项和公式: Snn(a12an )na1n(n1) d2(4)性质:当 m+n=p+q时, anama p aq ; Sn , S2nSn , S3nS2n 也成等差数列;( 5 )等差中项: a,A.b 成等差数列,则 2A=a+b;(6)常用公式的变形: danam ; anam (n m)d 。nm2.等比数列:(1)定义: an 1q ( q 为常数);an(2)通项公式: ana1 qn 1 , 变形: anam qn m ;11na1 , (q1)(3 )前 n
20、项和公式: Sna1 (1qn ), (q;1q1)(4 )性质:当 m+n=p+q 时, anamapaq ; Sn , S2 nSn , S3nS2n 也成等比数列;(5 )等比中项: a,G,b 成等比数列,则G 2ab, Gab ;(6 )前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系: anS1,( n 1)SnSn 1(n2)3.数列的极限与运算:(1 )三个基本极限:lim CC, lim10, lim qn0(| q |1) ;nnnn(2 )无穷等比数列各项和的公式:Slim Sna1,0| q | 1;n1qlim anlim bnlim ( anbn ) ; lim anlim
21、 an, ( 分母不为零),(3 )极限的四则运算:nnnnnbnlim bnnlim (an bn )lim anlim bnnnn以上运算仅在有限项的运算中可用。八平面向量:1.向量及有关概念:(1) 向量:既有大小又有方向的量;(2) 向量的模:向量的大小用向量的模来表示,如a , AB ;(3)单位向量:模为1 的向量叫单位向量,对任意向量a ,与它同方向的单位向量叫做向a0 , a01量的单位向量,记为a ;a(4)零向量:模为零的向量叫做零向量,记作0 , 0 的方向不定,注意 0 与 0 的区别;(5) 相等向量:模相等且方向相同的两个向量是相等向量;负向量:模相等但方向相反的两
22、个向量互为负向量;平行向量:两个向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行, 这与几何中两条直线平行是有区别的。(6) 平面向量分解定理:平面上任意一个向量可以表示为同一平面上两个不平行的向量e1,e2 的线性组合,而ae1e2 ,,R,叫做线性组合的系数,2.向量的坐标运算:12(1 )设 a (x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ,则 ab ( x1x2 , y1y2 ) , a( x1, y1 ) ,(2 )设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB(x2x1 , y2 y1 ) , ABx2x12y2y12;(3)定比分点公式:P xyPx2,y2 )
23、,PPPP ( 为实数,且1),1( 1,1 ),2(1P(x,y), 则有 xx1x2 , yy1y2。11(4)向量的数量积:aba b cosx1x2y1 y2(5)向量 aba b0x1 x2y1 y20 ;向量 a / b abx1 y2x2 y1 。(6)向量的夹角公式:cosa bx1x2y1 y2; 为锐角的充要条件是2a bx12y12y22x2a b 0 且 a 与 b 不共线。为钝角的充要条件是a b0, a, b 不共线;3.向量加,减法的几何意义:bab 或abbaababa4.数量积的运算律:(1)交换律: a bba ;( 2)分配律:a bc a c b c ;
24、( 3)对R, a babab 。1) (ab)222a b22) (a b)(a b)225.常用公式:(ab;(ab ;(3) ( a bc) 22222a b2b c22abc2ac ;( 4) aa 。(5) ABC 中重心为 G,则 GAGB GC0;D 为 AB 边中点,则 CD1 (CA CB) ;2(6)当 A ,P,B 三点共线, O 不在这条直线上时有:OP 1oA 2 oB121。, 其中九矩阵与行列式:131.单位矩阵:形如:10axbycab0;2.方程组dxey的系数矩阵为d,增广矩阵为1feabcde。fa1b1a1b2 a2b1 ,3 行列式:b2a2a1b1c
25、1a2b2c2a1b2c3a2b3c1 a3b1c2a3b2 c1a1b3c2 a2b1c3a3b3c3= a1 A1 b1B1 c1C1 ,其中 A11 1 1 b2c2, B11 12 a2c2b3c3a3c3C11 1 3 a2b2a3b34.二元线性方程组a1x b1 yc1 的系数行列式为 D= a1b1, Dxc1b1a2 x b2 y c2a2b2c2b2a1c1Dx, yD yDy.(1)当 D0时,方程组有唯一解: x;( 2)当 D=0, 但 D x , D ya2c2DD中至少有一个不为零时,方程组无解;(3)当 DD xD y0 时,方程组与无穷多解。十直线方程:1.倾
26、斜角和斜率:(1 )倾斜角:设直线 l 向上的方向与 x 轴正方向所夹的最小正角为直线的倾斜角。(2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定0 ;0;(3)斜率:若, tan =k,称为直线 l 的斜率;当2时,直线 l 的斜率不存在;2直线 l 经过两点 P1( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,( x1x2 )则 ky2y1 ;当直线 l的方向向量x2x1d(u,v), 则 kv;, (u 0)u(4)倾斜角与斜率的关系为:k=tan ,(,0);214, k 不存在20)(5 )arctank, (karctank, (k 0)2.直线的方程:(1 )直线的方向向量
27、和法向量:与直线l 平行的非零向量称为直线l 的方向向量,记为 d ,与直线 l 垂直的非零向量称为直线l的法向量,记为 n ,同一直线的方向向量d 与法向量 n 有dn, d n0 ;(2 )方程的几种形式: 点方向式方程:d(u, v), P( x0, y0 ) , xx0y y0 ,特殊情况:当u=0 , v0时,uv方程为: xx0 ;当 u 0,v=0时,方程为: yy0 ; n( v,u) 点法向式方程: n(a,b), P(x0 , y0 ) ,a(xx0 )b( yy0 )0 ,特殊情况: 当 a=0,b 0时,方程为: yy0;当 a 0,b=0时,方程为: xx0 ; d(b, a) 点斜式方程: yy0k (x x0 ) ,k 不存在时,方
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