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文档简介
1、反比例函数专题讲座思维基础知识是思维的基础,通过下述练习,要掌握下述基础知识.1.(1)函数 叫做反比例函数;它的图象是 .(2)反比例函数的性质:当k0,图象的两个分支分别在 象限,在每一个象限内y随x的增大而 ,k0,图象的两个分支分别在 象限,在每一个象限内,y随x的增大而 .(3)k为何值时,是反比例函数,即k= .(4)反比例函数图象在 象限.2.(1)下列函数中,反比例函数是 . A. B. C. D.(2)已知:(x1,y1)和(x2,y2)是双曲线上两点,当x1x20时,y1与y2的大小关系是 . A.y1=y2 B.y1y2 D.y1与y2的大小关系不确定(3)若函数的图象过
2、点(3,-7),那么它一定还经过点 . A.(3,7) B.(-3,-7) C.(-3,7) D.(2,-7)(4)若反比例函数的图象位于第二、四象限,则k的值是 . A.0 B.0或1 C.0或2 D.4学法指要【例】 如图,在等腰梯形ABCD中,CDAB,CD=6,AD=10,A=60,以CD为弦的弓形弧与AD相切于D,P是AB上一动点,可以与B重合但不与A重合,DP交弓形弧于Q. (1) 求证:CDQDPA;(2) 设DP=x,CQ=y,试写出y关于自变量x的解析式,并求出x的取值范围;(3) 当DP之长是方程的一根时,求四边形PBCQ的面积.【思路分析】 根据题设找两个三角形相似的条件
3、,第一问迎刃而解,要求y与x之间关系,当然要借助几何知识建立关系,观察图形可知,y和x与三角形相似息息相关,三角形相似已证,由此又使思路沟通.第三问首先解一元二次方程,求出DP,进一步可求出四边形PBCQ的面积.【思考】(1)判定两个三角形相似的条件是什么?本例中有没有这样的条件?解:由梯形的性质,DCAB,可知CDQ=DPA.由弦切角的性质可知,DCQ=PDA;故CDQDPA.【思考】(2)函数关系怎么建立?首先从图上看DP=x与CQ=y有什么关系?给定的已知条件与DP,CQ有什么关系?解:从图形中不难分析出CQ,DP,DA,CD可转化为两相似三角形的对应边.即CQDA=CDDP,y10=6
4、x, .这里要求的是DP=x的取值范围,DP的长短决定于什么?P点在什么范围运动?观察P点的运动过程,P点到什么位置时,DP最长?P点运动到什么位置时,DP最短?动点P可与B重合,也可与D在AB上的射影H重合,且D与线段AB上的点的连线中,以DB最长,DH最短.DHDPDB,即DHxDB.在RtAHD中,可得,. . 5x14.【思考】 (3)四边形PBCQ在图形中占有什么位置?给定的一元二次方程与求四边形PBCQ的面积有什么关系?解:用图形分割法,从图上不难看出,四边形PBCQ=梯形ABCD-DPA-CDQ.现在看梯形ABCD的面积、DPA的面积、CDQ的面积能否求.SDPA=APDH.由给
5、定的中,求得DP=10.又AD=10,A=60,DPA是等边三角形.即 . .,由条件可知,DCQ是等边三角形,DC=DQ=CQ=6,DQC=60, .,由已知条件可知,DC=6,AB=AP+PB=10+6=16,.这就不难求出 .小结:从全题分析,由动到静,P点的移动是关键.研究动点要用静态去分析,本例第3问的关键是由把P点定下来,才能有ADP是等边三角形DCQ是等边三角形四边形PBCD是平行四边形.反比例函数与相似三角形、四边形、圆相结合为一体,又与一元二次方程水乳交融,这就给反比例蒙上神秘的色彩,给求反比例函数关系式设置了不少障碍.遇到这样复杂的问题时,一要认真剖析,把复杂化为简单;二要
6、发挥数形结合的威力;三要集中“兵力”(即用所学基础知识,联想,类比,找到突破口),各个击破,这样便可把难题攻破,走出低谷.思维体操【扩散1】【例】 如图,A,B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,ACy轴,BCx轴,ABC的面积S,则 . A.S=1 B.1S2【思考】 1.关于x轴、y轴、原点对称的坐标有何特点?2.平行于x轴、y轴坐标有什么特点?3.如何用坐标表示线段的长?【思路分析】 在坐标平面上怎样求三角形的面积?解:应用对称点坐标的特点分别找A,B,C各点坐标.设(x0,y0),则B(-x0,-y0). ACy轴,BCx轴,C(x0,-y0).SABC 点A(x0,y0)在函数的
7、图象上.,即x0y0=1.SABC=2,即S=2.应选C.【扩散2】 如图,RtAOB的顶点A在双曲线,且SAOB=3,求m的值. 【思路分析】 给定条件说明什么?如何利用SAOB=3这一条件?设A(x,y),则,求m,即求xy.则由,求得:.点A(x,y)在双曲线上,m0,m=6.【扩散3】 反比例函数(k0)在第一象限内的图象如图所示,P为该图象上任一点,PQx轴,设POQ的面积为S,则S与k之间的关系是( ). A. B. C.S=k D.Sk与扩散2思路相仿,请读者完成(答案B).【扩散4】 已知点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)都在反比例函数(k0)的图象上,试比较矩形P1AO
8、B和矩形P2COD的面积大小. 【思路分析】 在坐标平面上怎样求矩形的面积?应用坐标的特点找到矩形各顶点坐标,再利用矩形面积公式,求得面积值进行比较.,.点P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在反比例函数(k0,x0(k61.48.即矩形OQ2P2R2的周长大于矩形OQ1P1R1的周长.【扩散6】 如图,面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上,另3个点在坐标轴上,则k= . 【思路分析】 解本例的关键是什么?怎样求B点坐标?从图象和已知条件可知解本例关键是求出B点坐标.求B点坐标要利用矩形面积等于3这一条件.设B(x,y),则.点B在反比例函数的图象上,(k0).(k0).
9、k=-3.小结:从扩散16可知,对称点坐标的特点,点与图象之间一一对应关系,是解决问题的关键,无论求面积或用面积求系数k,变化求周长等,都利用了这些基础知识,抓住它,再结合面积公式、周长公式等,问题迎刃而解.本例命题改变的思维扩散,目的就是灵活运用基础知识去解决问题.错例剖析有m部同样的机器一齐工作,需要m小时完成一项任务.(1) 设由x部机器(x为不大于m的正整数)完成同一任务,求所需时间y(小时)与机器的总数x的函数关系式.(2) 画出所求函数当m=4时的图象.解:(1)一部机器一小时能完成这项任务的,则x部机器一个小时能完成这项任务的,x部机器完成这项任务所需时间(小时),即(x为不大于
10、m的正整数).(2)当m=4时,即(x为不大于4的正整数).X1234y1685.34错因剖析本例在求解过程中,思路清晰、准确地求出解析式,并严格按照画图象的步骤进行(列表、描点、连线).由于知识学得死,又不能考虑实际情况,因此在画图象时三次出现错误:(1) 列表不能用省略号.因x是小于等于4的正整数.(2)不能用平滑的曲线连线.因为机器必须是完整的,即用正整数表示,所以图象是正整数点.(3)图象向两方无限延伸也是错误的,即使能延伸,只是点延伸,也不能曲线延伸,何况自变量x是不大于4的正整数,根本不能延伸.可见,在学好书本知识,把它应用于具体实践中时,必须打破原来的思维定势的桎梏(列表用省略号
11、,描点连线,向两方无限延伸),“列表、描点、连线”那是最基础的,一定要熟练掌握,但在具体应用所学知识时,千万要打破“框框”,要根据具体情况,决定策略,否则会出现各种各样错误.本例再次提醒我们,只有理论联系实际,才能学到真正知识.原解答在列表、画图、连线时出现三处错误,其他均正确,现纠错如下:x1234y1684智 能 显 示心中有数反比例函数常与一次函数、二次函数等配伍出现,它也与几何、代数互相渗透又与生活贴近.因此,必须认真掌握好这部分内容,对概念、性质、画图象每一个环节都不容忽视,同时对待定系数法、数形结合法等重要的思维方法也应在实际应用中熟练掌握.动脑动手1. 已知与x成反比例,y2与(
12、x-2)成正比例,并且当x=3时,y=5,当x=1时,y=-1.求y与x之间的函数关系式.2. 如图,矩形ABCD,AB=3,AD=4,以AD为直径作半圆,M为BC上一动点,可与B,C重合,AM交半圆于N,设AM=x,DN=y.求出y关于自变量x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.3. 要加工200个零件,已知一个工人每小时加工10个,用解析式表示加工零件的工人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系,并指出自变量的取值范围(本车间共有工人5名).4. 如图,反比例函数与一次函数的图象交于A,B两点.求:(1)A,B两点坐标;(2)AOB的面积. 已知一次函数和反比例函数(k0).(1) k满足什么条件时这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点.(2) 设(1)中的两个
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