2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷

1、2020 年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10 小题，共 40.0 分）1.已知集合 ?= 1, 3， 5 ， ?= ?|(?- 1)(? - 4) ?于 ?若. ?= 4， ?= 60 ，则抛物线 C 的方程为 ()A.2B.2C.22? = 8? = 4? = 2?D.?=?6.现有甲、乙、丙、丁、戊5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3 种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 ( )A.22393B. 5C. 5D. 107.在? ?= ? ?= 120 . AB为焦点的双曲线经过点C，则该中，若以，双曲线的离心率为 ( )A

2、. 5B.7C.3+1D. 32228.已知函数 ?(?)=3sin(?- ?)?(? 0) 的图象上相邻两个最高点的距离为?，则“?)?=”是“ ?(?)的图象关于直线?=对称”的 (63A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数 ?(?)=2? - 2?+ 2?,? 1,若关于 x 的不等式 ?(?) 在 R 上恒成立，2?- ?,1.2则实数 a 的取值范围为 ()A. (- ,2 ?3C.D. 0,2 ?B. 0, 20,210.如图，在正方体 ?-?1?11 ?1中， M， N 分别是棱 AB ，?的中点，点 P 在对角线 ?

3、上运动当11?的面积取得最小值时，点P的位置是 ( )A.线段1的三等分点，且靠近点?1?B. 线段 ?1的中点第1页，共 16页C. 线段 ?1的三等分点，且靠近点CD. 线段 ?的四等分点，且靠近点C1二、填空题（本大题共5 小题，共25.0 分）11. 复数 ?=2 ，则 |?|= _ 1+?12. 已知某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的最长棱的长为 _，它的体积为_13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品规则如下： ( )摇号的初始中签率为 0.19 ；( )当中签率不超过 1 时，可借助“好友助力”活动增加

4、中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05. 为了使中签率超过 0.9，则至少需要邀请 _位好友参与到“好友助力”活动?14.已知函数?(?)= ?.2 数列 ?满足 ? = ?(?)+ ?(?+ 1)(? ? ) ，则数列 ?的前 100项和是 _15.223=数学中有许多寓意美好的曲线， 曲线 C：(? + ?)2 2 被称为“四叶玫瑰线” ( 如图所示 ). 给出下列三4?个结论： 曲线 C 关于直线 ?= ?对称； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过1； 存在一个以原点为中心、边长为 2的正方形， 使得曲线 C 在此正方形区域内( 含边界 ) 其中，正确结

5、论的序号是_三、解答题（本大题共6 小题，共85.0 分）?16. 在 ?中， ?= ?(?-6)() 求 B；( ) 若?= 5，求 a?从 ?= 7 ，? =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答4第2页，共 16页17. 如图，在三棱柱 ?-?中，平面 ? 平面 ABC，四边形 ?是正方1111111形，点 D， E 分别是棱 BC， ?的中点， ?=4 ， ?11 = 2， ?= 25；( ) 求证： ?1( ) 求二面角 ?- ?1-?的余弦值；( ) 若点 F 在棱 ?1 ?1上，且 ?1 ?1 =4?1 ?，判断平面 ?1与平面 ?1?是否平行，并说明理由18.某科研团队研

6、发了一款快速检测某种疾病的试剂盒 为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区 (人数众多 ) 随机选取了 80 位患者和 100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99( ) 从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；( ) 从该地区患者中随机选取3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用( ) 中所得概率，求X 的分布列和数学期望；第3页，共 16页( ) 假设该地区有10 万人，患病率为0.01. 从该地区随机选取一人，用该试剂

7、盒对其检测一次若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由2222219. 已知椭圆 ?：?+?22= 1(? ? 0) ，圆 O：? + ? = ?(?为坐标原点 ). 过点 (0, ?)?且斜率为 1 的直线与圆 O 交于点 (1,2) ，与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 -85( ) 求椭圆 C 的方程和圆 O 的方程；( ) 过圆 O 上的动点 P 作两条互相垂直的直线，?，若直线 ?的斜率为 ?(? 0) 且?211与椭圆 C 相切，试判断直线?与椭圆 C 的位置关系，并说明理由?12? ?+120. 已知函数 ?(?)= ? - ?-1( ) 求曲线 ?=

8、?(?)在点 (0, ?(0)处的切线方程；( ) 判断函数 ?(?)的零点的个数，并说明理由；( ) 设?0是 ?(?)的一个零点，证明曲线?= ?在点 (?0, ?0 ) 处的切线也是曲线 ?=?的切线21. 设数列 A：?1，?， ， ?的各项均为正整数，且?1 ?2 ? ?.若对任2?(? 3)意 ?3,4， ， ?，存在正整数 i， ?(1 ? ? ?)使得 ? = ?+ ?，则称数列 A? ?具有性质 T124，7123，6是否具有性质T( ) 判断数列 ?1： ，与数列 ?：，； ( 只需写出2结论 )( ) 若数列 A 具有性质 T，且 ? = 1，? =2，? =200 ，求

9、 n 的最小值；2312?，且?= ?( ) 若集合 ?= 1,2019， ，2020= ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6?任意 i ，?1, 2， ，6 ，? ?)求.证：存在?，使得从?中可以选取若干元素(可重?复选取 ) 组成一个具有性质T 的数列第4页，共 16页第5页，共 16页答案和解析1.【答案】 C【解析】 解：集合 ?= ?|(?- 1)(?- 4) 0 时， ?= 2 ?是增函数，故D 对故选： D根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用属于基础题3.【答案】 A【解析】解：设公比为

10、q，由? =1，? =-8 可得 ?= -2 ，前 6 项和1-(-2)6，?6= -21141+2故选： A先由 ?1= 1，?4 = -8求出公比 q，再代入前 n 项和公式求和本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题4.【答案】 B【解析】 解： ?中，点D，E满足?，?= 2 ?= 3 ? ?1? 1?1?1 ?1? 1?，?=+?= 2+ 3?=2 (?-) -3?= -2+ 6?又?，? ?+ ?= ?(?,?)?=1-?=1 2，6111?+ ?= -2 +6 = -3 故选： B? ? ? ? ?用在 ?中，?，因为，?通过转化的思想， 将= 2 ?= ?+ ?= 3 ?.

11、和 ?表示，求出 x 和 y 的值，计算即可本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性5.【答案】 B第6页，共 16页【解析】 解：如图所示，由抛物线的定义可知，?= ?= 4， ?= 60 ， ?为等边三角形，?= 4， ?= 60 ，?， ?/?轴， ?= ?= 60 ，?1?60= 即2=，?= 2，?4抛物线的方程为2? = 4?，故选： B由抛物线的定义可知，?= ?= 4 ，从而确定 ?为等边三角形， 于是得到 ?= 4， ?= 60 ，再结合平行关系和三角函数即可求得p 的值，进而得解本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线

12、的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题6.【答案】 D【解析】 解：甲、乙、丙、丁、戊5 种在线教学软件，某学校要从中随机选取3 种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数3?= ?= 10，533甲、乙、丙至多有 2 种被选取包含的基本事件个数，?= ?-?=9532 种被选取的概率?=?9则其中甲、乙、丙至多有?= 10 故选： D基本事件总数3= 10，甲、乙、丙至多有2 种被选取包含的基本事件个数3?= ?= ? -3552种被选取的概率?3 = 9 ，由此能求出其中甲、乙、丙至多有本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是

13、基础题7.【答案】 C【解析】 解：设 ?= ?= 2 ，取 AB 的中点为 O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线 OC，在三角形 OBC 中，1?= - 2，?=2+ 2213，- 222(- ) = 22所以23- 2=， 2?= 2，2?第7页，共 16页?13+1所以双曲线的离心率为：?= 3-1 =2故选： C设 ?= ?= 2 ，取 AB 的中点为 O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题8.【答案】 A【解析】 解：函数 ?(?)= 3sin(?- ?)?(? 0) 的图象上相邻两个最

14、高点的距离为?，2? ? = ?，解得 ?= 2?2?(?)的图象关于直线?=对称，sin(2? - ?)= 1，解得-?= ?+ (?)332，?解得 ?= -?+ 6 (?)?则“ ?= 6 ”是“ ?(?)的图象关于直线?= 3 对称”的充分不必要条件故选： A?，可得2?函数 ?(?)= 3sin(?-?)?(? 0) 的图象上相邻两个最高点的距离为? = ?，?解得 ?= 2.根据 ?(?)的图象关于直线?=对称，可得 sin(2? -?)= 1，解得 ?，即可3判断出结论本题考查了三角函数的图象与性质、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题9.【答案】 C2【

15、解析】 解： (1) 当? 1 时， ?(?)= ? - 2?+ 2?，?(?)的对称轴为 ?= ?，开口向上 当 ? 1时， ?(?)在 (- ,?)递减， (?,1) 递增，当 ?= ?时， ?(?)有最小值，即 ?(?)= -?2? ?1 时， ?(?)=2?-?，? (?)=2- ?=? ，当 ? 0 时， ? (?)0 ， ?(?)在 (1, +)上递增，?(?)?(1) = 2 ， ? 4， 此时 ? 0；2?当0 2 1，即 0 ? 2时， ?(?)在 (1, +)上递增，同理可得0 1(1,?(?当2，即 ? 2时， ?(?)在2)递减，2,+)递增，第8页，共 16页?(?)

16、 ?( ) = ?- ?，222ln ? 1 ，解得 2 1时， ? 2 ?；关于 x 的不等式?(?)?2在 R 上恒成立，0 ? 2，故选： C22?+ 2?，分? 1当 ? 1时，?(?)= ? -时， ?(?)= 2?-?，分? 0、 0 2三类讨论，可求得；取其? 2?公共部分即可得到答案本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题10.【答案】 B【解析】 解：以 A 为原点，ABxADy为为为轴，?1轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ?-? ?1111中棱长为1， P 为?上的动1点

17、，设 ?(?,?,1 - ?)，其中 0 ?111 ， ?(2 , 0,0) ， ?(1,0， 2) ，|?|= (?-12+222)?+ (1 -?) =25， 3?3?+4-| (?-1)22?-12=+?+(1-2)253?+， 3?-4|?|= |?|， ?为等腰三角形，底边|?|=2 ，2设底边MN 上的高为 h，则有2(|?|221? = |?| -2)= |?|-82512+1， ?=1时?的面积取得最小值，3? -3?+ 4 = 3(?-2)22此时 P 为?的中点1故选： B以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， ?为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

18、1能求出 ?的面积取得最小值时，P 为 ?的中点1本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】 2第9页，共 16页【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题【解答】解： 复数?=22(1-?)=2(1-?)=1-?=1+?(1+?)(1-?)222|?|= 1 + (-1)= 2故答案为： 212.【答案】 5 4【解析】 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥?- ?，底面三角形ABC 为等腰直角三角形，?= ?= 22 ，高 ?= 3 最长棱为

19、?= 32 + 4 2 = 5 ，体积 ?= 13 12 22 2 2 3 = 4故答案为： 5； 4由三视图还原原几何体， 可知该几何体为三棱锥 ?- ?，底面三角形 ABC 为等腰直角三角形， ?= ?= 22，高 ?= 3.再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13.【答案】 15【解析】 解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品规则如下：( )摇号的初始中签率为0.19 ；( )当中签率不超过1 时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一

20、位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05 为了使中签率超过0.9，设至少需要邀请n 位好友参与到“好友助力”活动，则 0.19 + 0.05? 0.9 ，解得 ? 14.2 为了使中签率超过0.9 ，则至少需要邀请15 位好友参与到“好友助力”活动故答案为： 15为了使中签率超过0.9，设至少需要邀请n 位好友参与到“好友助力”活动，则0.19 +0.05? 0.9，由此能求出结果本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】 100【解析】 解：由题意，当?= 4?- 3， ?时，?(?)+ ?(?+ 1) + ?(?+ 2) + ?

21、(?+ 3)第10 页，共 16页= ?(4?-3) + ?(4?-2) + ?(4?- 1) + ?(4?)= (4?-(4?-3)?2) ?cos(4?- 2)?(4?- 1)?3) ?cos2+ (4?-+ (4?- 1) ?cos+ 4?224?cos2= (4?-3) ?0 + (4?-2) ?(-1)+(4?-1) ?0 + 4?1= 2设数列 ? 的前 n 项和为 ?，则?= ?+ ?+ ?+ ? + ?+ ?10012399100=?(1) + ?(2) + ?(2) + ?(3) + ?(3) +?(4) + ? + ?(99) + ?(100) + ?(100)+?(101

22、)=2 ?(1) + ?(2) +? + ?(99) + ?(100) + ?(101) - ?(1)=2(2+2+?+2)+0- 0= 2225= 100故答案为：100本题先根据余弦函数的周期性可计算出当?= 4?- 3，?时，?(?)，?(?+ 1) ，?(?+2) ，?(?+3) 连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列 ? 的前 n 项和为 ?，?然后 ?= ?1 + ?2 + ?3 + ? + ?99 + ?100代入 ?100?= ?(?)+ ?(?+ 1) 进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果本题主要考查数列的三角函数的综合问题考查转化与化归思想，整体思想，余弦

23、函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题15.【答案】 【解析】 解：对 ，用 (-?, -?) 替换方程中的 (?,?)，方程形式不变，所以曲线C 关于直线 ?= ?对称，正确；223=22对 ，设点 ?(?,?)是曲线上任意一点，则 (?+ ?)4? ?，则点 P 到原点的距离为22 ，+ ? ?2222322? +?222(由 (?+ ?)= 4? 42)，解得 ? + ? 1，正确；对 ，由 可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为： 根据曲线的方程以及图象逐个判断

24、3个结论即可得出本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题16.【答案】 解： ( )在 ?中，由正弦定理得?=?=?，得，?又 ?=?(?-6).?=?cos(?-?3?(?-)，即 ?=6) =?+?=?+666212 ?，?= 3 ，又 ?(0, ?)，第11 页，共 16页?= 3 ( )若选 ?= 72222，则在 ?中，由余弦定理 ?= ? + ? - 2?，可得? - 5?-24 = 0 ，解得 ?=8 ，或 ?= -3(舍去 ) ，可得 ?=8若选 ? =?=6+ 2，则 ?= sin(? + ?)=sincos4+ cos3sin4443?52 =5 3+5由正弦定理=6+2，解得?=，可得 ?422?= ?(?-B【解析】 ( )由正弦定理得 ?