2020年北京市房山区高考数学二模试卷

1、2020 年北京市房山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10 小题，共 40.0分）1.2? 0 ，那么集合 ?= ()已知全集 ?= ?，集合 ?= ?|?-A. (- ,01, +)B. (- ,0) (1, +)C. (0,1)D. 0,12.在 ?中，若?=?23，则?= ( )，?=， ?=43A. 23B. 32C. 26D. 333.函数 ?= ?的最小正周期是 ()A. ?B. 2?C.2D.14.22若双曲线 ?-?= 1(? 0, ? 0)的一条渐近线经过点(1, 3)，则该双曲线的离心22?率为( )B. 325A. 2C.D.?25.的零点个数为 ()函数 ?(?)

2、= ? -?A. 0B. 1C.2D.36. “ ?”是“ ? ?”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数 ?(?)= lg|1 + ?|+ lg|1 - ?|，则 ?(?)( )A. 是奇函数，且在 (1, +)上是增函数B. 是奇函数，且在 (1, +)上是减函数C. 是偶函数，且在 (1, +)上是增函数D. 是偶函数，且在 (1, +)上是减函数8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为 ( )A. 2B. 22C. 23D. 49. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是?1 ，?空气的温

3、度是 ?0 ，?经过t? ?+(?-?分钟后物体的温度?)?求得，其中 k 是一个随着物可由公式 ?= ?010体与空气的接触状况而定的大于0 的常数现有80?的物体，放在20?的空气中冷却， 4 分钟以后物体的温度是40?，则 k 约等于 ()( 参考数据： ?3 1.099)A. 0.6B. 0.5C. 0.4D.0.310. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2 天、 3 天、 5 天、 6 天去配送一次已知5 月 1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5 月他不用去配送的天数是()A. 12B. 13C. 14D.

4、15二、填空题（本大题共5 小题，共25.0 分）11. 若 (? + ?)(1+ ?)= 1 + 3?(?)，则 ? =_第1页，共 12页2 212. 若直线 ?= 3 与圆 ? + ? - 2?- ?= 0相切，则 ?= _13. 已知抛物线C2F，点M在抛物线C上， |?|= 1，则点M的横： ? = 2?的焦点为坐标是 _， ?(?为坐标原点 ) 的面积为 _ 14. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，若 ?= 3 ?，则 ?的值为 _ab2?- 2?,? ?,15.对任意两实数给出下列三个结论：， ，定义运算“ ?”： ? ?= 2?-2?,? 1) ，使得 ?，1k 的值；若

5、不存在，说明理由，2 这三个条件中任选一个，?(?2)? = ?18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在 10 时， 12 时， 14 时， 16 时公布实时在园人数如表记录了10 月 1 日至 7 日的实时在园人数：1日2日3日4日5日6日7日10 时在园115261800519682828413830101016663第2页，共 12页人数12 时在园人数2651837089429311684534017231681480014 时在园人数3732238045406312071136558247061512516 时在园29687306381618

6、120821161691086627306人数通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量( 同一时段在园人数的饱和量)之比来表示游园舒适度，40% 以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8 万人( ) 甲同学从10月 1日至 7日中随机选 1天的下午14 时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；()从 10 月1日至 7日中任选两天， 记这两天中这4 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求 X 的分布列和数学期望；( ) 根据 10 月 1 日至 7 日每天 12 时的在园人数， 判断从哪天开始连续三天12 时的在园人数的方差最大？( 只需写出结论 )19.已知椭圆C 的两个顶点分别为

7、?(-2,0) ， ?(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为12( ) 求椭圆 C 的方程；( ) 设 O 为原点，点 P 在椭圆 C 上，点 Q 和点 P 关于 x 轴对称，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，求证： P， M 两点的横坐标之积等于 4，并求 |?|的取值范围20. 已知函数 ?(?)=?+ ?1+?( ) 求函数 ?(?)的定义域；( ) 求曲线 ?(?)在点 (0, ?(0)处的切线方程；? ?( ) 求证：当 ?(-2 , 2 )时， ?(?) 2 第3页，共 12页21. 已知集合 P 的元素个数为 3?(?)且元素均为正整数， 若能够将集合 P 分成元素个数相同且两

8、两没有公共元素的三个集合A，B，C，即 ?= ?，?= ?，?= ? ，?= ? ，其中 ?= ? ,?, ,? ，?=?,?, , ?，?= ?,?, ,? ，1 2?12?12?且满足 ? ?2， ?， ?= 1， 2， ， n，则称集合 P 为“完美1 ? ? ?+ ?= ?集合”( ) 若集合 ?= 1, 2，3 ，?= 1,2，3，4，5，6 ，判断集合 P 和集合 Q 是否为“完美集合”？并说明理由； ( ) 已知集合 ?= 1,x， 3，4，5， 6 为“完美集合”，求正整数 x 的值；( ) 设集合 ?= ?|1 ? 3?,? ，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是 ?

9、= 4?或 ?= 4?+ 1(?).第4页，共 12页答案和解析1.【答案】 D【解析】 解： ?= ?|? 1 ， ?= ?，?= 0,1 故选： D可以求出集合A，然后进行补集的运算即可本题考查了描述法、区间的定义，补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】 B【解析】 解：由正弦定理得：?=? ，?23=? ，?23=?sin?4sin ，3解得： ?= 3 2 ，故选： B直接利用正弦定理即可求解本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是基础题3.【答案】 D【解析】 解：函数 ?= ?=12?2?2?，故它的周期?= 2? = 1，故选： D利用二倍角的正

10、弦公式化简函数的解析式， 再利用正弦函数的周期性， 求出它的最小正周期本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题4.【答案】 C22【解析】 解：双曲线?的一条渐近线： ?-?= 0，2 -2 = 1(? 0, ? 0)?渐近线经过点，可得22222，(1, 3)，即?=3? ，可得 ? -? =3?= 3?22所以： ? = 4? ， ?= 2?，所以双曲线的离心率为：?=?= 2?故选： C求出双曲线的渐近线方程，推出a， b 的关系，然后求解离心率即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题5.【答案】 B【解析】 解：由 ?(?)=?2?2?-?= 0，

11、得?=?，设 ?= ?，2 ，分别作出两个函数的图象，当? 0时， ?(?)= ? - 2?， ? (?)= ? - 2第5页，共 12页? (?)= 0，函数 ? 取(?)得最小值， ? (?=2)- 2?2 0，所以 ?(?)在? 0 时，是增函数，两个函数 ?=?20时，没有公共点?， ?= ?，则 ?2的零点个数为 1个可知函数 ?(?)= ? - ?故选： B?2?2?2由 ?(?)= ? -? =0，得 ? = ?，设 ?= ?，?= ?，分别作出两个函数的图象，利用图象的交点个数，确定函数零点的个数本题主要考查函数与方程之间的关系， 利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，

12、要求熟练掌握6.【答案】 A【解析】 解：由 ?一定得到 ? ?，反之，由 ? ?，不能得到 ?，如?= ?，?= 5?，满足 ? ?，但 ?= ?66“ ?”是“ ? ?”的充分而不必要条件故选： A由 ?一定得到 ? ?，说明“ ?”是“ ? ?”的充分条件；举例说明“ ?”是“ ? ?”的不必要条件本题考查充分必要条件的判定，考查角与三角函数值的关系，是基础题7.【答案】 C【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题结合奇偶函数的定义先判断 ?(-?)与 ?(?)的关系，然后结合 ? 1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断【解答】解： ?(?)的定义域为 ?|?

13、1，关于原点对称，?(-?) = lg|1 - ?|+ lg|1 + ?|= ?(?)，故 ?(?)为偶函数，当 ? 1时， ?(?)= lg(1 + ?)+ lg(?-1) = lg(?2 - 1) ，可知函数单调递增，故选： C【答案】 C8.【解析】 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个三棱锥体和一个四棱锥体的组合体如图所示：根据三视图中的长度： ?= ?= 22 ， ?=2 2， ?= 4 ， ?= 2 3，所以最长的侧棱长为 23 故选： C首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的侧棱长本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换的应用，几何体的侧棱长的求法和比较，第

14、6页，共 12页主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9.【答案】 D【解析】 解：由题意可得：-4?，40 = 20 + (80 - 20)?-4?1= 3?，两边取对数可得： -4? =ln1= -?3= -1.099 ，3?=1.0990.3 4故选： D列方程，根据对数运算性质计算即可本题考查了对数性质，对数运算，属于基础题10.【答案】 B【解析】 解，由题得，甲超市需配送日期为1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25， 28，31；乙超市为： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29；丙超市为： 1， 7， 13， 19， 25

15、， 31；丁超市为： 1， 8， 15， 22， 29，故无需配送日期为：2， 3， 6， 11， 12， 14， 18， 20， 23，24， 26， 27， 30，共 13 天，故选： B根据题意逐一得到四家需要配送的日期，进而可得其无需配送的天数本题考查学生合情推理的能力，属于基础题11.【答案】 2【解析】 解： (? + ?)(1+ ?)= (? -1) + (? + 1)?= 1 + 3?，?-1 = 1，即 ? = 2?+ 1= 3故答案为： 2利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题12.【答案】 3

16、222?- ?= 0 ，得 (?- 1)22【解析】 解：由 ? + ? -+?= ?+ 1，则?+ 1 0，即 ? -1 220 相切，直线 ?= 3 与圆 ? + ? - 2?- ?=圆心 (1,0) 到直线 ?= 3 的距离 ?= 2= ?= ?+ 1，即 ?= 3故答案为： 3化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线?= 3的距离等于半径求解 a 值本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题1 113.【答案】 2 4第7页，共 12页【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F的坐标(1,0) ，准线方程为 ?= -1?(?,?)22 ，设，由抛物线的性质可得|?|= ?

17、+12= 1，可得 ?= 1，2所以 M 的横坐标为： 1，2将 M 的横坐标代入抛物线的方程可得：|?|= 1，所以 ?=1?|?|?|?|=111=1 ?2224故答案分别为：1， 124由抛物线的方程可得焦点F 的坐标及准线方程， 设 M的坐标，由抛物线的性质可得|?|的表达式，再由题意可得M 的横坐标，代入抛物线的方程可得 M 的纵坐标的绝对值，进而求出 ?的面积本题考查抛物线的性质及面积公式，属于基础题314.【答案】 4【解析】 解：如图：正方形 ABCD 的边长为，若? ?2，?= 3 ?则 ? ? ? ?= (?+)1?3 ?= (? ?+) (-?)44=3-16=3-16=

18、3-16=3-16? 23 ? -4? ? 23 ? ? ?(?+ ?) +(?+ ?)?42?23?(? + 2?+?) +?+42232( 2)+ 0 + (2) + 0 + (2)43 ?2?43= 4故答案为： 3 4通过向量的三角形法则一步步代入数量积求解即可本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力15.【答案】 【解析】 解： ? ?= 2?-2?,? ?,2?-2?,? ?.= 2|?- ?|，?(?,?) 0 ，故 错误； 根据绝对值不等式定理可知2|?- ?|+ 2|?- ?| 2|(?- ?)+ (?- ?)|= 2|?- ?|；第8页，共 12页即

19、 ? ?+ ? ? ? ?正确； 函数 ?(?)= ?=2|?-?|=22|sin(? -?4)| ；最大值为 2 2；故 错误； 根据绝对值不等式的性质可转化为(?-2)22?，解得：解集是 1, +)，故正确；故答案为： 新定义实际为 ?-?的绝对值的2 倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可本题主要考查新定义的应用和绝对值函数的性质，以及不等式的求解，属于中档题目16.11，平面 ?平面 ?11【答案】 ( ) 证明： 平面 ?平面? = ?，? 平面 ABC，且 ?，?平面 ?11，在三棱柱 ?-?1 ?1 ?1中，有 ?/?1?1 ，? ? 平面?，得 ?1?111111?11是正方形

20、， ?1 1 ?1?，而 ?1?1 ?= ?1 ，?平面 ?；111( )由 ( ) 知，?平面 ?11，又?，1BA所在以 B 为坐标原点， 分别以 BC，?，1直线为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系则 ?(0,0，0) ，?(2,0，0)，?1(0,2，0) ，?(2,21，0) ，?(0,1， 1) ， ?， ?=(-2,1,1)1=(-2,2,0)1 =(2,2,0)设平面 ?的一个法向量为?= (?,?,?)1由 ?= -2? + ?+ ?= 0 ，取 ?= 1 ，得 ?= (1,1,1) ?1= -2? + 2?= 0设直线 ?与平面 ?所成角为 ?11则 ?= |cos |=

21、?|2+2|6|? ?|=?1=3223|?|?|?1即直线 ?与平面 ?所成角的正弦值为6113【解析】( ) 由平面 ?平面 ? ，?，利用平面与平面垂直的性质可得?1?1平面 ? ，再由有 ?/?，得到 ?平面 ?，得 ?，由 ? 是1?1?11? ?1?11111111正方形，得 ?1?1 ?，再由直线与平面垂直的判定可得?1平面 ?1 ?1；( )由 ( ) 知，?平面 ?11，又?B为坐标原点， 分别以BC?1，故以，1，BAx y z?所在直线为， ，轴建立空间直角坐标系求出平面?1的一个法向量与1的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线?与平面 ?所成角的正弦值11本题考查直线与

22、平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题2?=17.【答案】 解：若选 ?+1 -0，且21；?- 2? = 0说明数列 ?是首项为1，公比为2的等比数列；? = 1，? =2 ?-1 ；?1-2?+1?+1；= 2-11?+2 =1-2若 ?，?， ?成等比数列，则 (2 ?-1)2=1 (2?+1-1)=2?+1-1 ；1?+2左边为偶数，右边为数，即不存在正整数?(? 1)，使得?，?， ? 成等比数列；1?+2若选?= ?+ ?(? 2) ，即? -?= ? = ? (? 2)?-1?；?-1且 ?1= 1 适合上式；所以：说明 ?的等差数列；

23、?是首项为 1，公差为 1第9页，共 12页? = ?， ? = ?(1+?)；?2若 ?，?，?2(?+2)(?+2+1)2成等比数列， 则 ?= 1 ? ?-5?- 6= 0?= 6(?= -11? ?+22舍 ) ；即存在正整数 ?= 6 ，使得 ?， ?， ?成等比数列；1?+2若选 ?2，?= ? = ?-?22=2?- 1(? 2)；= ? - (?- 1)?-1且 ?= 1 适合上式；1若 ?，?， ?成等比数列，则 (2?-1)2= 1 (?+ 2)223= 0? ?=1?+2? 3? - 8?-13(?= - 3) ；即存在正整数?= 3 ，使得 ?， ?， ?成等比数列1?

24、+2【解析】 分别选 ，根据各自对应的结论来求解 k，能解出来说明存在，解不出来说明不存在本题考查等比数列与等差数列的性质，考查数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题4018【. 答案】解：( ) 由题意可得， 若舒适度为： “舒适”， 则在园人数不大于8 100 = 3.2万，所以 10月 1日至 7日下午14 时舒适度为“舒适”的天数为3，因此甲同学从10月1 日至 7 日中随机选1天的下午 14时去该园区游览，遇上“舒适”的概率为 73；( )记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则 X 的可能取值为0， 1， 2，从 10月 1日至 7日中这 4个时间

25、的游览舒适度为“舒适”的有3 天，2211421则 ?(?= 0) =?=? ?=， ?(?= 2)?=，427， ?(?= 1) = 4 237= 327?777X 的分布列为：X012P2417772416所以 X 的期望?= 0 7+ 17+ 27= 7；()从 10月 2日开始连续三天的在园人数的方差最大【解析】 ( )求得“舒适”情况下，在园人数不大于3.2万，以及10月 1日至 7日下午14 时舒适度为“舒适”的天数，由古典概率公式，计算可得所求值；( )记这两天中这4 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则 X 的可能取值为0， 1， 2，求得概率，可得概率分布列，以及期望

26、的值；( )考虑与 3.2万的差，可得从10 月 2 日开始连续三天的在园人数的方差最大本题考查定义“舒适”的理解和运用， 主要考查古典概率和离散型随机变量的期望和方差的求法，考查化简运算能力，属于基础题22?= 1(? ? 0) ，19.【答案】 解： ( )椭圆的方程设为 2 +2?第10 页，共 12页由题意可得 ?= 2， ?=?1，可得 ?=1，22，=?2?= ?- ? = 322则椭圆的方程为 ?= 1；4 +3( )证明：可设 ?(?,?)，由题意可得 -2? 2，且 ?0，2222?且 4 +3 = 1，即有?= 3(1 -4 )，又 ?(?,-?) ，?(-2,0) ， ?(2,0)，可得直线 AP 的方程为 ?=?(?+ 2) ，直线 BQ 的方程为 ?=?(?- 2)，2-?+242?联立直线 AP 和 BQ 的方程，可得 ?(? , ? )，可得 P， M 两点的横坐标之积等于4；16216+12-3?2284?=3 ，由 |?|= 2 +22=2-?由 -2 ? 2，且 ?0，可得 0 ?2 2，则 |?|的范围是 (2, +)22【解析】 ( ) 椭圆的方程设为?2 +2 = 1(? ? 0) ，由椭圆的离心率公式和顶点坐标，?结合 a， b， c 的关系，解方程可得b， c，进而得到所求方程；( )可设 ?(?,?