王老汉的烦恼——概率与频率的应用

1、老汉的烦恼概率与频率的应用铃”伴随着清脆铃声的响起，我踏上了讲台。同学们，今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题，好吗？”同学们都显出了极浓的兴趣。我于是在黑板上展示了问题： 王老汉养了一池塘鱼， 现在要与销 售商签订合同， 但王老汉的烦恼来了， 他不知道鱼塘中大约有多少条 鱼，也不知道鱼塘中鱼的总重量为多少，怎么办呢？学生被问题吸引住了， 开始积极动脑筋， 各抒己见。 有的说：“可 以先算出一定体积的鱼的数量。 ”有的说：“可以利用浮头现象。 ”有 的说：“可以再建一个池塘”等等。这些方法经过学生认真琢磨，发 现并不可行，这个问题在学生脑海中形成悬念。然后我告诉他们，这 也是一类概率的问题。学

2、生显得很兴奋，建议用“列表法”或“树状 图法”来解决。之后发现无从下手，问题再次陷入“瓶颈”状态，这 时有学生提出了模拟试验， 大家七嘴八舌地发表自己的看法。 有的说：用转盘。”有的说：“用骰子。”有的说：“用纸牌。”有的说：“摸球” 等等，十分活跃。我趁机肯定了大家的想法，接下来用多媒体展示：在一个不透明的口袋里装有只有顔色不同的黑白两种顔色的球， 共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球 并记下顔色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组(2)、假如你去摸一次，你摸到白球的概率是,摸到黑球统计数据：摸球的 次数 n1001502005008001000摸到

3、白 球的次 数m5896116295484601摸到白 球的频 率 m/n0.580.640.580.590.6050.601(1) 、请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近的概率是(3)、试估算口袋中黑、白两种顔色的球各有多少个？同学们略加思考， 就把这个问题解决掉了。 因为我们上节课已经 分析过，通过试验来估计不确定事件发生概率的大小， 通常是在试验 次数越多， 事件发生的频率值逐渐稳定时， 才可以将这个频率的稳定 值作为该事件发生的概率。同时我向同学们提问： “为什么題中提到每摸一个球放回后，要 把球搅匀？”同学们立马回答： “使试验具有随机性。 ”我立即肯定了 同学们的说法。接

4、下来，我提醒：“如果球的总数很大时，一个一个摸球能做到吗？”马上有学生说： “太麻烦，太累人了。 ”我趁机问：“那该怎么 办？”有的学生说：“我一次可以多摸几个。 ”“请举例说明一下。”“我 可以设黑球有 x 个，假设一次摸 10 个球，其中 2 个白球，则2/10=10/(10+x)，从而求出 x 。”大家纷纷表示赞同。 于是我又问：“那 么如果我又摸一次，其中有 4 个白球，则有 4/10=10/(10+x)，从而 x可求出，那么你认为结果应该按哪个计算呢？” 这时学生都陷入深思 中，一会后，很多学生举手，其中一个学生说： “可以求 2/10 与 4/10的平均数，等于 10/(10+x)

5、。”“很好，如果做 100 次或 500 次试验呢？”求 100 次或 500 次的平均数。”学生都明白了，这样学生就得出要 想使试验结果更加精确， 可以求多次试验的平均数， 于是得出方法二： 多次试验的平均数 =10/(10+x)。然后针对这两种方法， 让学生分组讨论它们的优缺点， 最后汇总， 得到第一种方法，要使结果更加精确，那么试验次数必须足够多，但 实践中不可能无限地做试验，因此现实意义不大。第二种方法：当总 数较少时，精确度较差，但对于总数力大时，这个方法还是可行的，看到同学们理解得这么好，我又提出了： “若盒子中没有白球， 该怎样估计黑球数呢？” 由于这个问题存在难度， 所以分组讨

6、论再拿 出解决方案， 经过探讨，有的小组说：“可以拿出几个黑球涂上白色。 ” 也有的说：“可以向盒子中放入同质地同大小的白球，听到这些学生 都纷纷赞同。见学生已经掌握了用部分来估计总体的思想， 我便引导学生来解 决“王老汉的难题”由于前面准备工作充分， 达到水到渠成之效， 几乎全班同学都举 手跃跃欲试，有的说：“我往池塘放入一定数量池塘中原来没有的鱼。 ” 有的说：“我想先捞出 100 条，做上记号，放回一段时间后，再捞出200条，发现 10 条有记号的鱼， 然后通过 10/200=100/x，就可以求出鱼的数目。并称出这 200 条鱼的重量，求出平均每一条鱼的重量，就 可以估计池塘中鱼的重量。 ”看看同学们回答得多完整，特别是“ 段时间”后充分表明了学生体会到了做试验的随机性。我接着问：“那么，大家想一下用这种方法还能解决现实生活中”有的哪些问题呢？”有的说：“能知道我县有多少辆上海通用轿车。的说：“能知道树林中有多少只鸟。 ”有的说：“能知道一次摸奖活动 中的中奖概率。”等等。接下来我设计了以下思考题：问题一：你能设计一个方案估算出树林中某种动物的多少吗？问题二：往一个装有很多黑棋的袋子中放入 20 个红棋，每次倒 出 10 个，记下所倒红棋数目，再把它们放回去，共倒了 200 次，倒出红棋 3