新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(1)(教师版)

1、新课预习讲义选修2 - 1：第二章椭圆(一) 221椭圆及其标准方程学习目标1. 了解椭圆的实际背景，经历从具体情境屮抽彖出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2. 掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形 .学习重点：本节的重点是椭圆的标准方程，坐标法的基本思想；学习难点1. 难点是椭圆标准方程的推导与化简、坐标法的应用.2. 本节充分体现了待定系数法、方程思想和数形结合思想的作用因此很容易和三角、方程等内容结合出题.、自学导航知识回顾: 复习：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么？圆的一般方程是什么？ 预习教材：第38页一一第43页的内容。自主梳理：1椭圆的定义是2.椭圆的标准方程是预习检测

2、：1 已知椭圆石1 +-J二1,焦点在y轴上,.若焦距为4,则m等于()10 m n2A. 4B. 5C. 7D. 8解析:由题意：焦距为4,则有n 2(10 - n)二4 2,解得nF 8.答案：DX 22.一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(25A. 5B. 6C. 7解析：由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10-2二8.D. 8答案：D椭圆去+y二1上)3.点的距离和为椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦8,焦距为2. 15,则此椭圆的标准方程为解析：由已知2a二8,2C二2.15 ,2椭圆标准方程为*+ X2二1.24 已知椭第严卷!上一点M的纵坐标为2. a=

3、 4, c二，15, f. b 二 ac = 16- 15= 1,答案：ly6+x?二 1(1)求M的横坐标;22求过“且与X=1共焦点的椭圆的方程解析:8X2把”的纵坐标代入孟+ 36亠436=1,即 x2= 9. x二乂即M的横坐标为3或一3.2 2x y（2）对于椭圆-+ 4二1 ,焦点在x轴上且c二9 4二5,2 2故设所求椭圆的方程为笃理 二1,a a 594把M点坐标代入得才+孑一5二1,解得才二15.9 9 故所求椭圆的方程为+ T二1.1510问题与困惑二、互动探究问题探究：取一条定长的细绳，Fi把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画 出的

4、轨迹是_个.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数新知1：我们把平面内与两个定点F】,F?的距离之和等于常数（大于FxF2 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.反思:若将常数记为2a,为什么2a ?当2& F】F?时，其轨迹为；当2a F1F2时，其轨迹为 .试试：已知Fi （ 4,0） , F2（4,0）,到Fi, F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 小结：应用椭圆的

5、定义注意两点： 分清动点和定点； 看是否满足常数2a FxF2 .新知2 :焦点在x轴上的椭圆的标准方程2 2务占1 a b 0其中b2 a2 c2a b若焦点在y轴上，两个焦点坐标,则椭圆的标准方程是 .典例导析：题型一、用待定系数法求椭圆的标准方程例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点坐标分别是(一 3,0) , (3, 0),椭圆经过点(5, 0);(2) 两个焦点坐标分别是(0, 5) , (0, - 5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.(3) 求焦点在坐标轴上，且经过A3, 2)和耳一 2 3, 1)两点.思路点拨由题目可获取以下主要信息：(1) 两小题均已知

6、焦点坐标；(2) 由(1)知椭圆过点(5, 0):由知椭圆上的一点P到两焦点的距离之和为26;由知椭圆上两点已知.解答本题可先根据焦点位置设出相应方程，再利用 a, b, c的关系求出待定系数得椭圆方程.2 2解题过程(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为V J二1 (ab0).a b因为 2&二5+ 3 2 + 02+5 3 2+ O二 io,2 c二 6,所以 a= 5, c二 3,所以 b = 3 c = 5 3 二 16.2 2所求椭圆的方程为第+扫】1.2516因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(a b 0)因为 2a= 26, 2 c二 10,所以 a= 1

7、3, c 二 5.所以 b 二 & c 二 144.2 2所求椭圆方程为為+144二1.方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x ya + 孑二 1 (a b0).L22解得b 二 5.子+寺二1,依题意有 所以所求椭圆的方程为注+二1.155当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y x孑 + b? 1 (ab0)依题总有a22a2= 5,解得2b 二 15.2 2综合可知所求V = 1.1552 2mx+ ny = 1(m0, n0).1A15,解得 1n =5.因为avb,所以方程无解.椭圆的方程为方法二：设所求椭圆的方程为3nu 4n= 1,由题意得12mA n二 122题后感悟(1

8、)求曲线方程时，若能确定方程的形式，则可先设出所求曲线方程，然后借助已知条件得到含参数的 方程，解方程求出参数的值，代回所设方程可得所求曲线的方程； 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mX+ ny2= 1( m0, n0).因为它包括焦点在x轴上(m n)或 焦点在y轴上(nin)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.(3) 确定一个椭圆的标准方程需要两个独立的定量条件和一个定位条件变式训练：91. (1)已知椭圆的焦点冉(一4,0) , F2(4, 0),且过点A 4, 5,求椭圆的标准方程. 求以椭圆9/ + 5于二45的焦点为焦点，且经过点 M2 , .6)的椭圆的

9、标准方程.解析:(1)由已知2a=| AF| + |AB442+ 9251 6819 41+ 二一+ 二 10 25 十 55 十 59 9 9 d二 5, c二 4, f. b = a c 二 25 16二 9.所求椭圆的标准方程为25J二X也可用待定系数法.(2)由 9x + 5y 二 45,得；丄95c二 9 5二 4.焦点坐标为 Fi(0, 一 2) , F2(0, 2)设所求椭圆的标准方程为比+右二1( ab0)由点M2，6)在椭圆上，知丨MFI + | MF二2a, 2a= : 2，+ 6+ 2 + 2 0 + 6 2 二 4 , 3, a= 2 : 3.又 c 二 2, b2=

10、a2 c2= 8.22所求椭圆的标准方程松8J.题型二、椭圆定义的应用例2 - 1 (2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点,焦点Fi, F2在x轴上，离心率为过R的直线I交C于A, B两点,解析：设椭圆方程为Abh旳周长为16,那么U旳万桎为由于 ABF的周长为丨AE + BF;16,故 a二 4. b2= 8.2 2椭圆C的方程为話+8二1.+ | AR| 二AF +AR| + I BF| + BF; | = 4a=例2 2、如图所示，已知F, E是椭圆盒+ 36二1的两个焦点.(1)求椭圆的焦点坐标；过FM乍直线与椭圆交于A, B两点，试求 ABF的周长./ =

11、 3f水甌儼点坐桥22a,b的值可以由方思路点拨程直接得到，利用式子c二a2- b?可求焦点坐标若椭圆方程不是标准方程需先化为标准方程.(2)右氏是椭圆云+ /二1(或云+ b = 1)的两个焦点，且过E(或FJ的直线与椭圆交于A B两点, 则厶ABF (或厶ABF)的周长为4a.变式训练：x y2. (1)已知经过椭圆朕1的右焦点F?的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，R是椭圆的左焦点.求2516 AFB的周长. x y(2)椭圆12+ 3 = 1,焦点为F和比B5倍点P在椭圆上.如果线段PF的中点 3倍 在 口A. 7倍C. 4倍解析：(1)如图所示，由已知：a- 5, AF1B 的周长 I 二 AF1| + |AB + | BF1二(I AF1 + AF2|) + (| BF2 + BF11)二 4a= 20.(2)不妨设 F】(一3,0) , F2(3, 0),由条件知P3, 23 ,即IPF二芈，由椭圆定义知|PF| + |PF = 2a = 4羽，即|PF|二乎，所以丨PF|二7| PB|.故选A.答案：(2)A2 2例2 3、如图所示，点P是椭圆y + 31二1上的一点，冉和F?是焦点,54且/ F】PR二30 0求厶F】PFi的面积.y轴上，那么| P冋是| PE|的(思