平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

1、平面向量的数量积及向量的应用习题及详解 、选择题 1. （文）（2010东北师大附中）已知|a|= 6, |b|= 3, ab= 12,则向量a在向量b方向上的投影是（） D. 2 C. 2 答案A 一a b 12 解析a在b方向上的投影为 而=一亍=4. （理）（2010调研）设a b= 4,若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等 于（） 71 A.6 冗 2 n C.y Word文档 答案B 解析由条件知，晋=2,晋=1，ab= 4, - |a|= 4, |b|= 2, cos a, b a b _ 4 _ 1 |a| |b4X 2 2 a, b =n 3 2

2、. （文）（2010省统考）设e1,e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3e1+2e2,b=xe1 + 3e2,如果a丄b, 那么实数x等于（） 99 A . 2B. 2C . 2D . 2 答案C 解析由条件知 |e1|=|e2|= 1, e1 e2= 0, a b = 3x + 6= 0, x= 2. （理）（2010 市质检）已知向量 a= （2,1）, b= （ 1, 2），且 m= ta + b, n = a kb（t、k R）,贝U mn 的充要条 件是（） A . t+ k= 1B . t k= 1C. t k= 1D . t k= 0 答案D 解析m= ta+ b = （2

3、t 1, t+ 2）, n = a kb= （2 + k,1 2k）, mX n,. m = （2t 1）（2 + k） + （t + 2）（1 2k） = 5t 5k = 0, t k= 0. 3. （文）（2010 理）在 Rt ABC 中，/ C= 90 AC = 4,则 ABAC 等于（） A . 16B . 8C. 8D . 16 答案D 解析因为/ C= 90 所以 AC CB = 0，所以 AB AC= （AC+ CB） AC= |AC|2 + AC CB= AC2= 16. （理）（2010 天津文）如图，在 ABC 中，AD 丄 AB, BC=. 3E3D, |AD|= 1，

4、则 AC AD =（ b D. 3 答案D (AB+ 3BD)AD = AB AD + 一3BDAD, 解析/ AC = AB+ BC= AB + 3BD , Ac Ad = 又 AB 丄 AD , AB AD = 0, Ac Ad = 3bd AD = . 3|Bd| |Ad| cos/ adb = 3|Bd| cos/ adb = 3 AD= 3. 4. (2010 省市)设非零向量 a、b、c 满足 |a|= |b|= |c|, a + b = 则a, b=() D. 30 A. 150B. 120C. 60 答案B 解析 a + b = c, |a|=|b|=|c|z 0, |a +

5、b|2= |c|2= |a|2,. |b|2 + 2a b= 0, |b|2+ 2|a| |b| cos a, b= 0, 1 cos a, b= 2， a, b 0 , 180, = 120 5. （2010双流县质检）已知点P在直线AB上，点 O不在直线AB上，且存在实数 t 满足 OP= 2tPA+ tOB, 则函=() |PB| 1 答案B B2 解析/ OP = 2t(OA OP)+ tOB , OP = 2t 2t + 1 OA + t 2t+ 1 OB, 2tt p在直线ab 上, 乔+齐=1 .|PA|_1 iprr2. 6.(文)平面上的向量mA、MB满足|MA|2 + |M

6、fe|2= 3，且imA Mb = 0,若向量MC = 3ma + MB,贝V |MC|的最 33 大值是（ C. 2 4 D3 1 A. 2 答案 / MA MB = 0, MA 丄 MB，又/ |MA|2+ |MB|2= 3, 解析 |AB|= 2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系, 则点 A 1,0)，点 B(1,0)，设点 M(x, y)，则 x2 + y2= 1, MA = ( 1 x, y), MB = (1 x, y), t 1 t 2 t 1 t MC = 3MA + 3MB = 3 x, y , |MC|2= 1 x 2 + y2=10 |x, 1 w x 1

7、,.x= 1时，I MCI2取得最大值为 晋, jMC|的最大值是3. （理）（2010日照）点M是边长为2的正方形 为（） ABCD或边界上一动点, N是边BC的中点, 则AN AM的最大值 答案B 解析建立直角坐标系如图，正方形 ABCD边长为2, M坐标为（x, y）, Am = （x, y）由坐标系可知 0w x 2 2w y -1 - -1 -9 -95 AO AB= 2AB| |AB|= 2，同理 AO AC= 2AC| | AC|= 2，故 AO BC = 2 2= p 8. （文）已知向量a、b满足|a|= 2, |b|= 3, a （b a） = 1,则向量a与向量b的夹角为

8、（） n A. 6 n B.4 n C3 n D.p Word文档 答案C a b 解析根据向量夹角公式“ cos -3f -sir n=-|AB| |BC|sin a=花，AB 16 f 3 11 BC=8sna, AB BC = 3cos a_ 3 8sir a= 8cot a, 由条件知 3三 3cot a0, a为锐角, nn 6W aW4. 9. （文）（2010省统考）如果A是抛物线x2= 4y的顶点，过点 D（0,4）的直线I交抛物线x2= 4y于B、C两点, 那么AB AC等于() 3 3 A.B . 0C. 3D.- 4 4 答案B 解析由题意知 A(0,0)，设 B(x1,

9、 y1), C(x2, y2)，直线 I: y= kx+ 4, x2= 4y 由消去 y 得，x2 4kx 16= 0, y= kx+ 4 - X1 + X2 = 4k, X1X2= 16, - y1 y2= (kx1 + 4)(kx2 + 4)= k2x1X2+ 4k(x1 + X2)+ 16= 16k2 + 16k2 + 16= 16, Ab AC= X1X2 + y1y2= 0. (理)(2010市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF = 2FA，若DE是圆A中 绕圆心A运动的一条直径，则 FD FE的值是（） tbf 2 FD FE = (FA+ AD) (

10、FA+ AE) =(FA + AD) = |FA|2 |AD|2= 1-1 = - D .不确定 x2+ y2 2x- 2y+ 1 0 ,若点B(x, y)满足K xw 2，则OA 0B取得最 K y 取最小值时， OA Ob取最 小值，T y= cosx在0,扌上为减函数，由图可知，当点B在E、F位置时，/ AOB最大，OB最小，从而OA OB 取最小值，故选B. 点评可用数量积的坐标表示求解，设B（x, y）,令OA OB= x + y= t,贝V y= x+ t,当直线y= x+1 过Bi、B2两点时，t最小，即 tmin = 3 当OAOB取得最小值时，点 B的个数为2. - 2 1

11、V 丿 . 0 11 2 、填空题 11 . （2010北四市）如图，在平面四边形 ABCD中，若AC= 3, BD = 2,则（AB+ DC） （AC + BD）= 答案5 解析设AC与BD相交于点O,则 (AB + DC) (AC+ BD) =(OB OA) + (OC OD) (AC+ BD) =(OB OD) + (OC OA) (AC+ BD) Q =(DB + AC)(AC + BD)= AC2 BD2= 5. 12. （文）（2010洪泽中学月考）已知O、A、B是平面上不共线三点， 设P为线段AB垂直平分线上任意一点, 若OA= 7 |O)B|=5,则 OP O OB)的值为.

12、答案12 解析PA= PO+ OA, PB= PO+ OB , 由条件知，OA2 = 49, OB2= 25, RA= PB, /. po + OA2= po+ O)B2, 即 PO2 + O)A2+ 2PO OA= PO2+ O)B2+ 2PO O)B, PO (OAOB)= 12, 12. + AC)，贝y a 2时，Pa(pB+ PC)的值为 答案o 解析由已知得op OA= xAb+ Ac), 即 Ap = xAb+ AC), 当 x= 2时，得 Ap = *aB+ AC), 2Ap= Ab+AC,即 ApAb = ACAp , x2y2一 13. (2010市质检)已知Ai, A2分

13、别是椭圆 亦+ 16 = 1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直 线I上的一点，贝U PA1 A1A2=. 答案20 解析由条件知 A1( 5,0), A2(5,0), F( 3,0)，设 P( 3, y。),则 a7a2= (10,0), PA1= ( 2, y。), - PA1 A1A2= 20. 14. (2010 质检)已知向量 an= (cosy, sin”)(n N*), b= 1.则函数 y=a1+ b2+ a2 + b2+ a3+ b2 + + aw + b|2的最大值为 . 答案284 解析t |b|= 1,.设 b= (cos 0, sin 0), / an2

14、= cos2nn+ si门2豊丄 1(n N), nnn n an b = coscos 0+ sin 亍sin 0, y = |ai+ b|2+ |a2 + b|2+ + 旧 + b|2 =(|ai|2 + |a2|2 + + |ai4if) + 141|b|2+ 2(ai b + a2 b+ + an b) =282 + 2cos 0cosn + cos + cosi4.i-+ 2sin 0 sin7+ sin + sini47in nn =282 + 2cos 0cos. + 2sin 9sin. 冗 =282 + 2cos 7 0 w 284. 三、解答题 订3i i5.(省潍坊市质检

15、)已知函数f(x)= ysin2x cos2x , x R. (i)求函数f(x)的最小值和最小正周期; 设 ABC的角A、B、C的对边分别为 a、b、c,且c= . 3, f(C) = 0,若向量 m= (1, si nA)与向量n = (1)因为 f(x)= 1 + cos2x 2 (2, sinB)共线，求a, b的值. 解析 =si n(2x-1, 所以f(x)的最小值是一2，最小正周期是 T= 2n= n. n 由题意得 f(C)= sin(2C 6) 1= 0, 则 sin(2C-6)= 1, nn 11 0Cn, 02C2n, 62C 6石 n 二2C - n= n C=n 向量

16、 m= (1, sinA)与向量 n = (2 , sinB)共线, .1 = sinA 2 = sinB , c2=a2+b22abcosn 由正弦定理得, 由余弦定理得, 即 3= a2+ b2 ab 由解得，a= 1, b = 2. 16. (文)(延边州质检)如图，在四边形 ABCD 中，AD = 8, CD = 6, AB = 13,/ ADC = 90。且 ABAC = 50. (1)求 sin/ BAD 的值； ABD , + 设 ABD的面积为SABD , BCD的面积为SBCD，求的值. 43 解析 在 Rt ADC 中，AD = 8, CD = 6，贝U AC = 10,

17、cos/CAD = 5, sin / CAD = 5, 又 AB AC = 50, AB= 13, / cos/ BAC = AB AC |AB | AC| _5_ 13, / 0 解析(1)由题设知 AB = (3,5),AC =( 1,1)，则 AB +AC= (2,6),AB AC = (4,4). 所以 |AB+ AC|= 2.10, |AB AC|= 4 2 故所求的两条对角线长分别为4j2, 2 10. (2)由题设知 OC = ( 2, 1), AB tOC = (3 + 2t,5 + t). 由(AB tOC) OC= 0 得, 11 (3 + 2t,5+ t) ( 2, 1)

18、 = 0,所以 t =-. (理)(质检)已知 A( 3, 0), B( 3, 0)，动点 P 满足 |PA|+ |PB|= 4. (1)求动点P的轨迹C的方程； 过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点， 求OM ON的取值围. x22 解析(1)动点p的轨迹c的方程为-+ y2= 1; 解法一：当直线l的斜率不存在时，M(1,今),N(1 ,于)，OM 6N = 4； 当直线I的斜率存在时，设过(1,0)的直线I: y= k(x 1)，代入曲线C的方程得 (1 + 4k2)x2 8k2x+ 4(k2 1) = 0. 设 M(X1 , y1)、N(X2, y2), 则X1+ X2=严爲，X1X2=学苑 1 + 4 k21 + 4k2 OM ON = X1X2 + yiy2 = X1X2 + k2(xi 1)(X2 1) =(1 + k2)X1X2 k2(X1 + X2)+ k2 17 k2 4 _ 141 1 + 4k2 = 4 1 + 4k24. 又当k= 0时，OM ON取最小值一4, 4 OM ON7. 4 根据、得OMI ON的取值围为