天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解

1、丢工工.工.工.二.工工.工.二.工乂.工.二.工工第4章随机变量的数字特征一、填空题1、设x为北方人的身鬲，y为南方人的身商，则“北方人比南方人高”相当于E(X)E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X)D(Y)3、已知随机变董X服从二项分布，且E(X) = 24,D(X) = 144,则二项分布的参数n=6 j?=0.4.4、已知X服从(p(x)e/+2-i,5!J.E(X) = LD(X)=1/2.5、设X的分布律为X-1012p11118428則E(2X + 1)=坐6、设X#相互独立.则协方差cov(X,y)=

2、0.这时，X之间的相关系数pXY = 0.7、若Px、，是随机变童(XV)的相关系数，则10“ 1=1的充要条件是PY = aX+b=l.8、Qxy是随机变量(X)的相关系数，当Pxy= 0时，X与丫不相关,当lp“ 1=1吋, x与丫几乎线性相关.9、若 D(X) = &D(Y)=4,且 X,丫相互独立，则 D(2X-y)=36.10、若a上为常数，则 D(aX+b)=a2D(X).lk 若 X相互独立,E(X) = 0, E(K) = 2, E(XY) =0.最新资料推丢_二12. 若随机变量X服从0,2刃上的均匀分布，则E(X) = jl13. 若 D(X) = 25, D(Y) = 3

3、6, pXY = 0.4, M cov(X.y)= 12, )(X + r)= 85,D(X-Y)=31.14、已知E(X)=3, D(X) = 5,则 E(X+2)2=翌.p x x 015、若随机变量X的概率密度为(p(x=一 ,则E(2X)=2,0x0E(严)=塑二、计算题1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检査，每次取1个，直到查到次品为止。设X 表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？解：X的分布律为：X12345Pk1/51/51/51/51/5E(X)= 1(1+2+3+4+5)=3 答：略2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射 击几次？

4、解：设X为射击次数，则X的分布律为：X123Pkp(1-p)2E(X) = + 2(1 - “) + 3(1 - p)2 = p2 一3 + 3答：略最新资料推丢=3_沦3、设X的密度函数为jx = 0xI其它,求 E(X)、D(X)解:E(X) = J：h(x)dx = j2x2dA=- E(X2) =匸/(x)dx = J： 2xdx = |1 21故D(X) = E(X2)-(E(X)2=-(-)2= 2 31 o4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x) = -eM (-oox+oo),求.E(X)、D(X)2解:E(X)=x-edx = OJ_x 2E(X 2) = J： x2 |e

5、_|x|dA- = x2e_xd.r = x2dcx=-x2 ev + 2 f Aed-v = 2 f xdexo JoJo+8=一2 = 20故 D(X) = E(X2)-(E(X)2 =20, x -15. 设连续型随机变量X的分布函数F(X) = + /?arcsinx, -1 x 1求 a. b、E(X)、D(X).解: X为连续型随机变量，/. F(x)为连续函数. F(_1) = F(_1),= 么_畀=0/. F(1+) = F(1), =“ + * = 可解得； a = *,b = *.X的槪率密度33 -最新资料推fW = F(x)=E(X) = f xf x)dx = f

6、cLv =0Ji L Vi - X2JCD(X) = -7t八I$sin伽右356、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2. 0.3,假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X)解:设A表示第i个部件需调整,z=l,231,4发生不发生，则X7 + + ：i = 123E(XJ = P(A) D(XJ = P(4)l - Pg)故 E(X) = E(X】)+ E(X2) + E(X3) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6D(X) = D(X1) + Z)(X2) + D(X3)=0.1 x 0.9 + 0.2 x0.8 + 0

7、.3 x 0.7 = 0.467、对圆的直径作近似测童，设其值X均匀分布在区间“少内，求圆面积的数学期望.解:因为X U(gb),所以X的密度z./、一!, a x b/(x)= b /0, 其它设Y= a圆面积”，则y = -x2,所以4E(X) = E( X ) = ( _dr = (a2 + ab + Z?2).44 心一。 128、设随机变量 Xe(2)、Ye(4),求 E(X + Y)、E(2X-3Y2).解：显然 E(X) = -,(/) = -, D(Y =丄2416所以1 13(x + r)= E(x)+ E(r)=2 44E(2X - 3厂)=2E(X) - 3n(y)+ (

8、E(y)2 I 廿 11、5=1 _ 3(1) = _16 16 89、设(Xf)的分布律为求 E(X)9E(Y).X123-10.20.100000.31000.1解：E(X) = (l)(02 + 0l + 0) + 0 + lx(0l + 0l + 0l) = 0E(Y) = lx(02 + 0l + 0l) + 2x(0l + 0 + 0.1) + 3x(0 + 03 + 0l)=210.已知随机变量X的槪率密度为/(x)=0 x 2其它求X = e(xj时槪率密度解:E(X) = x(l -11 - /险=jLv2dv + (2x -x2) = 1E(X) = xdx + (2x2

9、- x3 )r =D(X) = E(X2)-(E(X)2=1最新资料推丢_二所以X* = a/6(X 1)Fx,(y) = px y=py6(Xy -7T1_l)HXV + ip = Fx( + l)川沪詁耳(詁I)A(y |y|V6其它39 -11、设随机变量(XV)的密度函数为f(x,y) = 求 E(XY).0 y x20 x 1,0 y x0其它解:E(XY) = jjxyf(x. y)dAdy = j|Ixydxdy G : xOyG=2卜叫灿=4认冷12、设随机变董X和丫相互独立，且E(X) = E(Y) = O,D(X) = D(Y) = 1,求 E(x + r)2.解：4(X

10、+ r)2 = (X2) + E(r2) + 2E(XY)=D(X) + (E(X)2 + D(y)+ (E(r)2 + 2E(X)E(Y) = 213、设二维随机变董(X,Y)的均值E(X)、E(Y)存在，证 明：E(xr)= E(X)E(Y) + (X - E(X)(y - (/) o证：因为e(x - E(X)XY 一 (/)=E(XY) - E(X)E(y)所以 E(XY) = E(X)E(Y) + e(X - E(X)Y - E(K)14、证明：如果随机变量X与Y相互独立，且D(X), D(Y)存在，最新资料推则 D(xr)= D(x)D(y)+e(x)d(x)+e(k)2 d(y)

11、证：D(XY) = (Xr)2-E(Xr)2= E(X2Y2)-E(X)E(Y)f= E(X2)E(Y2)-IE(X)2IE(Y)2=D(X) + E(X) D(y)+ E(Y) - E(X)2E(Y)2=D(X)D(Y) + lE(X)fD(Y) + E(Y)2 D(X)15、设区域G为x2+y2 1,二维随机变董(X,Y)服从G上的均匀分布，判斷X、Y 的相关性、独立性.解:显然，二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为0, (x, y) g G1I I所以fx=匚/a y)dy = d” X 10, 其它 I-X2, |a-| )=2/i-r，|y|i0,其它因此E(X) = j a/(x)cLv = j(xa/1 -x2 dv =同样可得E(Y) = 0又E(XY) = JJ xyf(x, y)ctvdy =丄 jj .v)dvd yxOyG所以cov(X,y)= E(XY) 一 E(X)E(Y) = 0最新资料推故X、Y不相关，但由于fxMfy(y) f(x9y)所以X与Y不相互独立.16、设随机变量x和r的联合分布律为证：因为33(X)=(-l)x- + O + lx- = O883 3E(y)=(-l)x- + O + lx- = O88(Xr)= (-l)x(-l)x- + O + (-l)xlx- + O + lx(-l)x- + O + lxlx- = O8 8