化工传递工程;第七章 热传导

1、化工传递过程基础 1 化工传递过程基础 2 第七章第七章 热热 传传 导导 热传导热传导( (导热导热) )是介质内无宏观运动时的传热现象，是介质内无宏观运动时的传热现象， 导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言， 只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止 状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生 自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于 此，本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点此，

2、本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点 研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际 情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。 描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如 式式(6-17a)(6-17a)所示，即所示，即 k q t t 2 1 化工传递过程基础 3 式式(6-17a)(6-17a)在不同坐标系的一般形式为在不同坐标系的一般形式为 直角坐标直角坐标 柱坐标柱坐标 球坐标球坐标 k q z t y t x tt 2 2 2 2 2 2 1 k q

3、z tt rr t r rr t 2 2 2 2 2 111 k qt r t rr t r rr t 2 2 22 2 2 sin 1 sin sin 111 (7-1)(7-1) (7-3)(7-3) (7-2)(7-2) 化工传递过程基础 4 求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获 得温度得温度t t与时间与时间 及位置及位置(z(z，y y，z)z)的函数关系，即不的函数关系，即不 同时刻温度在空间的分布同时刻温度在空间的分布( (温度场温度场) )，所得的解为，所得的解为 t=t=f(xf(x，y y，z)z)，它不但要满足式，它不但

4、要满足式(7-1)(7-1)或式或式(7-2)(7-2)、式、式 (7-3)(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。 上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几 种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝 大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算 等方法进行求解。等方法进行求解。本章将主要针对以直角坐标系和柱本章将主要针对以直角坐标系和柱 坐标系表达的某些简单的工程实际导热问题的求解方坐标系表达

5、的某些简单的工程实际导热问题的求解方 法进行研究。法进行研究。 化工传递过程基础 5 第一节第一节 稳态热传导稳态热传导 一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导 对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间 无关，无关， ，且无内热源，且无内热源， 。又设沿。又设沿 x x或或r r方向进行一维导热，则热传导方程方向进行一维导热，则热传导方程(7-1)(7-1)、(7-2)(7-2)、 (7-3)(7-3)可简化为一可简化为一维维的拉普拉斯方程，即的拉普拉斯方程，即 直角坐标直角坐标 柱坐标柱坐标 0t 0 q 0 2 2 dx t

6、d 0 dr dt r dr d )47( )57( k q z t y t x tt 2 2 2 2 2 2 1 化工传递过程基础 6 球坐标球坐标 工程上一维工程上一维( (沿沿x x或或r r方向方向) )稳态热传导的例子很多，稳态热传导的例子很多， 如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器 的管壁以及球形压力容器的器壁等。的管壁以及球形压力容器的器壁等。 2 1 ,)2( , 0) 1 ( ttbx ttx 0 2 dr dt r dr d ( (一一) )单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导 单层平壁单层平壁( (如方形燃烧

7、炉的炉壁如方形燃烧炉的炉壁) )沿一个方向的导沿一个方向的导 热问题是最简单的热传导问题，当导热系数热问题是最简单的热传导问题，当导热系数k k 为常数为常数 时，式时，式(7-4)(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即即为描述该导热过程的微分方程，即 设边界条件为设边界条件为 0 2 2 dx td 化工传递过程基础 7 将式将式(7-7)(7-7)积分两次，可得积分两次，可得 )87( 21 cxct 21,c c x b tt tt 21 1 式中，式中， 为积分常数，代人边界条件为积分常数，代人边界条件(1)(1)，可求，可求 出出 ；代入边界条件；代入边界条件(2),(2),可求

8、出可求出 。 将将 代入式代入式(7-7)(7-7)，即可得到此情况下的温度，即可得到此情况下的温度 分布方程为分布方程为 1 c 2 c 12 tc bttc)( 121 由式由式(7-8)(7-8)可知可知, ,平壁稳态热传导过程的温度分平壁稳态热传导过程的温度分 布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出 求出温度分布之后，便可进一步求出沿求出温度分布之后，便可进一步求出沿x x方向通过方向通过 平壁的导热通量。根据傅立叶定律平壁的导热通量。根据傅立叶定律, ,通过某通过某x x处的导热处的导热 通量通量q/a q/a 可表示为可表示为 2 1 ,)2(

9、 , 0) 1 ( ttbx ttx 化工传递过程基础 8 dx dt k a q 将式将式(7-8)(7-8)对对x x求导后代入上式，得求导后代入上式，得 )( 21 tt b ka q x b tt tt 21 1 化工传递过程基础 9 (二二) )单层单层筒筒壁的稳态热传导壁的稳态热传导 化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解 筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便，筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便， 若筒壁的长度很长，若筒壁的长度很长，l lr r，则沿轴向的导热可略去不，则沿轴向的导热可略去不 计，于是可认为温度仅沿径

10、向变化，在此情况下，描计，于是可认为温度仅沿径向变化，在此情况下，描 述无内热源的一维稳态热传导方程为式述无内热源的一维稳态热传导方程为式(7-5)(7-5)，即，即 设边界条件为设边界条件为 0 dr dt r dr d 22 11 ,)2( ,) 1 ( ttrr ttrr k q z tt rr t r rr t 2 2 2 2 2 111 化工传递过程基础 10 将式将式(7-5)(7-5)积分两次，可得积分两次，可得 式中，式中，c c1 1、c c2 2为积分常数，经向该式代人边界条件为积分常数，经向该式代人边界条件(1)(1) 和和(2)(2)后，可得后，可得 )ln( 12 1

11、2 1 rr tt c 21 lncrct 1 12 12 12 ln )ln( r rr tt tc 将将c c1 1、c c2 2代人式代人式(7-11)(7-11) ，即可得到沿筒壁径向一维稳态即可得到沿筒壁径向一维稳态 导热时的温度分布方程为导热时的温度分布方程为 112 21 1 ln )ln(r r rr tt tt 22 11 ,)2( ,) 1 ( ttrr ttrr (7-12)(7-12) 化工传递过程基础 11 上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温 度分布是度分布是r r的对数函数。的对数函数。 通过半径为通过半径为

12、r r的筒壁处的传热速率或热通量，可由的筒壁处的传热速率或热通量，可由 柱坐标系的傅立叶定律导出即柱坐标系的傅立叶定律导出即 dr dt k a q r dr dt kaq r 式中，式中，q q和和q qarar分别为半径分别为半径r r处的导热速率和热通量；处的导热速率和热通量； arar为该处的导热面积，为该处的导热面积，arar=2=2丌丌rlrl，其中，其中l l为筒壁的长度；为筒壁的长度； 为该处的温度梯度。为该处的温度梯度。 将式将式(7-12)(7-12)对对r r求导并代入式求导并代入式(7-13)(7-13)和式和式(7-13a)(7-13a)可得可得 )ln( 2 12

13、21 rr tt klq )ln( 12 21 rr tt r k a q r dr dt (7-13)7-13) 112 21 1 ln )ln(r r rr tt tt 化工传递过程基础 12 式式(7-14)(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸 式表明，式表明，尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半 径径r r而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即 常量lraqlraqlraqq 332211 2)(2)(2)( 常量或 332211 )()()(raqraqraq 式

14、式(7-14)(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即 12 21 rr tt kaq m 将式将式(7-17)(7-17)与式与式(7-14)(7-14)对比，可知对比，可知 lrl rr rr a mm 2 )ln( 2 12 12 (7-15)(7-15) )ln( 2 12 21 rr tt klq (7-17(7-17) 化工传递过程基础 13 m m a r式中式中 简壁的对数平均半径；简壁的对数平均半径； 筒壁的对数平均面积。筒壁的对数平均面积。 应予指出，当应予指出，当 2 2时，上述各式中的对数平时，上述各式中的对数平

15、均值可用算术平均值代替。均值可用算术平均值代替。 通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则 由式由式(7-14)(7-14)可得可得 1 2 22 1 2 12 ln 2 2 ln 22 a a aa lr lr lrlr am 或 12 rr )ln( 2 12 21 rr tt k l q 化工传递过程基础 14 以上均假定导热系数以上均假定导热系数k k为与温度无关的常数。当为与温度无关的常数。当k k为为 温度温度t t的线性函数时，上述各式中的导热系数的线性函数时，上述各式中的导热系数k k可采可采 用用 、 算术平均温度下的值算术平均温度

16、下的值 来代替。来代替。 1 t m k 2 t 二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导 有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反 应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。若柱体若柱体 很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导 热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，此时，柱此时，柱 坐标下的能量方程式坐标下的能量方程式(7-2)(7-2)可化为可化为 0 1 k q r t r rr k q z tt

17、 rr t r rr t 2 2 2 2 2 111 化工传递过程基础 15 式式(7(7- -19)19)系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态 热传导时的微分方程。若内热源均匀，则热传导时的微分方程。若内热源均匀，则 为常数为常数。 结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为 此，将式此，将式(7-19)(7-19)进行第一次积分，进行第一次积分， 得得 再积分一次，又得再积分一次，又得 式中，式中， 为积分常数，可根据两个边界条件确定，为积分常数，可根据两个边界条件确定， 具体方法参见例具体方法参见例7-

18、17-1和例和例7-27-2。 q )217( 21 2 ln 4 crcr k q t 21,c c r c r k q dr dt 1 2 )207( 0 1 k q r t r rr 化工传递过程基础 16 例例7-1 7-1 有一半径为有一半径为r r，长度为，长度为l l的实心圆柱体，其发热的实心圆柱体，其发热 速率为速率为 ，圆柱体的表面温度为，圆柱体的表面温度为 ，l lr r，温度仅，温度仅 为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导 热系数热系数k k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高

19、温度 处的温度值。处的温度值。 解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为 w t q 21 2 ln 4 crcr k q t dr dt rlklrqrr ttrr w 2,)2( ,) 1 ( 2 依题意，设边界条件为依题意，设边界条件为 化工传递过程基础 17 边界条件边界条件(2)(2)表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速 率必等于表面热损失速率。率必等于表面热损失速率。 由由边界边界条件条件(2)(2)可得可得 将上式代入式将上式代入式(7-20)(7-20)中，并取中，并取r=rr=r，得，得 故故

20、 将将c cl l=0=0及边界条件及边界条件(1)(1)代人式代人式(7-21)(7-21)中，得中，得 故故 0 1 c r c k rq k rq 1 22 r c r k q dr dt 1 2 k rq dr dt rr 2 | 2 2 4 c k rq tw k rq tc w 4 2 2 dr dt rlklrqrr2,)2( 2 21 2 ln 4 crcr k q t 化工传递过程基础 18 最后解出温度分布为最后解出温度分布为 由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处，由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处， 即即 2 0 1 r r tt tt w w )(

21、 4 22 rr k q tt w k rq tttt wr 4 | 2 00max 上式亦可写成无因次形式，即上式亦可写成无因次形式，即(上两式相比) 化工传递过程基础 19 【例例7-27-2】 有一外径为有一外径为4cm4cm、内径为、内径为1.5 cm1.5 cm、载有电、载有电 流密度流密度i i为为5000 a5000 a 的内冷钢制导体。导体单位时的内冷钢制导体。导体单位时 间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面 的温度为的温度为7070。假定外壁面完全绝热。试确定导体内。假定外壁面完全绝热。试确定导体内 部的温度分布并求算导

22、体内部最高温度处的温度值。部的温度分布并求算导体内部最高温度处的温度值。 已知钢的热传导系数已知钢的热传导系数k=380 wk=380 w( (m mk k) ) 电阻率电阻率 2 cm 1 c m 8 102 解：由式解：由式(7-21)(7-21)出发，求出导体内部的温度分布。为出发，求出导体内部的温度分布。为 此首先求出此首先求出 、 、 各值。各值。 q 2 c 72482 105)105000)(102( iq 3 /mw 根据题意，可知本题的两个边界条件为根据题意，可知本题的两个边界条件为 化工传递过程基础 20 21 2 ln 4 crcr k q t 3 .26 1 c ,2)

23、2( 70,75. 0) 1 ( 2 11 cmr tcmr 00 dr dt dr dt k即 将边界条件将边界条件(2)(2)代人式代人式(720)(720)中，得中，得 0 02. 0 02. 0 3802 105 1 7 c dr dt 由此得由此得 再将边界条再将边界条件件(1)(1)代入式代入式(7-21)(7-21)中，得中，得 2 2 2 7 )1075. 0ln(3 .26 100 75. 0 3802 105 70c 解之得解之得6 .200 2 c r c r k q dr dt 1 2 化工传递过程基础 21 将将c c1 1、c c2 2代入式代入式(7-21)(7-

24、21)中，即可求出导体内部的温度中，即可求出导体内部的温度 分布方程为分布方程为 或或 最高温度发生在外壁面处，该处最高温度发生在外壁面处，该处r r2 2=2cm =0.02 m=2cm =0.02 m，故，故 6 .200ln3 .2632895 2 rrt 6 .200ln3 .26 3802 105 2 7 rrt 6 .846 .20002. 0ln3 .26)02. 0(32895 2 max t 化工传递过程基础 22 三、二维稳态热传导三、二维稳态热传导 上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个 空间坐标的函数来表示，但空间坐标的

25、函数来表示，但工程中还常遇到二维或三维工程中还常遇到二维或三维 稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简 单时，才有可能应用分析解法，单时，才有可能应用分析解法，但求解过程相当麻烦，但求解过程相当麻烦， 结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较 复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至 根本不能得到分析解，此时，根本不能得到分析解，此时，解决问题最有效的方法是解决问题最有效的方法是 数值计算法，数值计算法，这种方法有许多优越性，

26、特别是计算机的这种方法有许多优越性，特别是计算机的 迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问 题得到数值解。题得到数值解。下面以无内热源的二维稳态热传导为下面以无内热源的二维稳态热传导为 例，说明数值计算法的应用。例，说明数值计算法的应用。 化工传递过程基础 23 ( (一一) )物体内部的结点温度方程物体内部的结点温度方程 无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二 维的拉普拉斯方程描述，即维的拉普拉斯方程描述，即 根据上式求出的温度分布根据上式求出的温度分布t=t=f(zf(z，y)y)为

27、一连续曲面，为一连续曲面， 数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用 差分方程近似表达，从而求出温度分布。差分方程近似表达，从而求出温度分布。 如图如图7-17-1所示，将物体分割成若干个由所示，将物体分割成若干个由x x、y y组组 成的小方格，分割线的交点称为结点，成的小方格，分割线的交点称为结点，x x及及y y的长的长 度视对计算精度的要求选取，度视对计算精度的要求选取，x x或或y y越小，所得结越小，所得结 果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就 越大。越大。 0 2 2 2

28、2 y t x t k q z t y t x tt 2 2 2 2 2 2 1 化工传递过程基础 24 化工传递过程基础 25 温度梯度可以写为温度梯度可以写为 x tt x t jiji ji , 1 , 2 1 | x tt x t jiji ji , 1, , 2 1 | y tt y t jiji ji ,1, 2 1 , | y tt y t jiji ji 1, 2 1 , | 化工传递过程基础 26 2 , 1, 1 , 2 1 , 2 1 , 2 2 2 | | x ttt x x t x t x t jijiji jiji ji 2 ,1,1, 2 1 , 2 1 , ,

29、2 2 2 | | y ttt y y t y t y t jijiji jiji ji 由此，可将式由此，可将式(7-22)(7-22)近似地写成差分形式，即近似地写成差分形式，即 令令x=x=y y，上式化为，上式化为 0 22 2 ,1,1, 2 , 1, 1 y ttt x ttt jijijijijiji 04 ,1, 1, 1 1 jijiijiji ttttt j 0 2 2 2 2 y t x t (7-23)(7-23) 化工传递过程基础 27 式式(7-23)(7-23)称为物体内部的结点温度分布方程，它表称为物体内部的结点温度分布方程，它表 达任一结点达任一结点(i(i，

30、j)j)的温度的温度t ti,ji,j与邻近四个结点温度之间与邻近四个结点温度之间 的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部 某结点的温某结点的温度度可用邻近四个结点温度的算术平均值表可用邻近四个结点温度的算术平均值表 示。示。显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻的的 四个结点的温度按式四个结点的温度按式(7-23)(7-23)的形式联系起来，便可建的形式联系起来，便可建 立物体内部的结点温度方程组。立物体内部的结点温度方程组。 ( (二二) )物体边界上的结点温度方程物体边界上的结点温度方程 处于

31、物体表面的结点，由于外界的影响，其温度处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度 就不能应用式就不能应用式(7-23)(7-23)来表达，而要根据具体情况来来表达，而要根据具体情况来 建立。建立。 化工传递过程基础 28 简单的边界情况如图简单的边界情况如图7-2(a)7-2(a)(d)(d)所示，图所示，图7-2(a)7-2(a) 为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此 四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时，四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时， 均取垂直纸面的距离为单位长度。均取垂直纸面的距离为单位长度。 1 1绝热

32、边界绝热边界 化工传递过程基础 29 化工传递过程基础 30 如图如图7-2(a)7-2(a)所示，对虚线包围的微元体作热量衡算所示，对虚线包围的微元体作热量衡算, ,得得 0 22 ,1, 1 , 1 x y tt k x y tt ky x tt k jijijijijiji 042 , 11, 1 , jiijiji tttt j )( 22 , 1,1, 1, bji jijijijijiji ttyh y tt x k y tt x k x tt yk 令令x=x=y y，则上式化为，则上式化为 2 2对流边界对流边界 如图如图7-2(b)7-2(b)所示，设周围流体主体温度为所示，

33、设周围流体主体温度为t tb b且维持且维持 不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为h h， 亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量衡算，可亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量衡算，可 得得 化工传递过程基础 31 bjijijii t k xh t k xh ttt j ,1,1, 1 )2()2( 2 1 bjijii t k xh t k xh tt j 2) 1(2 ,1, 1 bjijijijii t k xh t k xh tttt j 2)3(222 ,1, 11, 1 令令x=x=y y，则上式化为，则上式化为 同理可求得图同理可求得

34、图7-2(c)7-2(c)中对流边界上的外角结点中对流边界上的外角结点( (i,ji,j) ) 的结点温度方程为的结点温度方程为 及图及图 7-2(d)7-2(d)中对流边界上的内角结点中对流边界上的内角结点( (i,ji,j) )的结点的结点 温度方程为温度方程为 化工传递过程基础 32 ( (三三) )二维稳态温度场的结点温度方程组二维稳态温度场的结点温度方程组 式式(7-23)(7-23)、(7-24)(7-24)表达了无内热源二维稳态温度场表达了无内热源二维稳态温度场 中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求求 解温度场时，可根据物体内

35、部及边界情况，并考虑精解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精 度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割 线的交点统一编号，线的交点统一编号，i=li=l，2 2，3 3，n n，然后根据每，然后根据每 个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程，个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程， 从而得到整个温度场的结点温度方程组，即从而得到整个温度场的结点温度方程组，即 nnnnnn nn nn btatata btatata btatata 2211 22222121 11212111 化工传递过程基础 33 式中，式中， 和和 (

36、 (i,ji,j=1=1，2 2，n)n)均为常数；均为常数； (i=1 (i=1，2 2，n)n)为未知温度，式为未知温度，式(7-25)(7-25)为线性方为线性方 程组，共有程组，共有n n个方程个方程, ,未知温度亦为未知温度亦为n n个，求解此方程个，求解此方程 组即可得出组即可得出 的数值，于是整个温度场即的数值，于是整个温度场即 可解出。可解出。 i b 2 m i t n ttt, 21 ji a , 【例例7-37-3】如附图所示，某一边长为如附图所示，某一边长为1m1m的正方形物的正方形物 体，体，左侧面恒温为左侧面恒温为100100，顶面恒温为，顶面恒温为500500，其

37、余，其余 两侧面暴露在对流环境中，环境温度为两侧面暴露在对流环境中，环境温度为100100。已知。已知 物体导热系数为物体导热系数为l0(m)l0(m)，物体与环境的对流传热，物体与环境的对流传热 系数为系数为10 w/( )10 w/( )，试建立，试建立1 19 9各结点的温度方各结点的温度方 程组并求出各点的温度值。程组并求出各点的温度值。 求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法,迭代法迭代法 和高斯消去法等。和高斯消去法等。 化工传递过程基础 34 (1)(1)建立结点温度方程组建立结点温度方程组 由于内部和边界上的结点温由于内部和边界上的结点温

38、度方程不同，今以内部结点度方程不同，今以内部结点1 1及边界上的结点及边界上的结点3 3、9 9为代为代 表建立各结点温度方程。表建立各结点温度方程。 对于结点对于结点l l，应用式，应用式(7-24a)(7-24a)，得，得 3 1 k xh 04500100 142 ttt )/(10),/(10,100 3 1 3 cmwhcmwkc，tx： b 已知解 6004 421 ttt 结点结点3 3为一般对流边界上的点，应用式为一般对流边界上的点，应用式(7-24b)(7-24b)得得 b t k xh t k xh tt 362 )2()5002( 2 1 04 ,1, 1, 1 1 ji

39、jiijiji ttttt j bjijijii t k xh t k xh ttt j ,1,1, 1 )2()2( 2 1 化工传递过程基础 35 化工传递过程基础 36 代人数据，得代人数据，得 56767. 42 632 ttt 结点结点9 9为对流边界外角上的点，应用式为对流边界外角上的点，应用式(7-24c)(7-24c)得得 b t k xh t k xh tt 2) 1(2 986 代人数据，得代人数据，得 7 .6667. 2 986 ttt 其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后 得得l l9 9各点的结点温度方程组为各点的

40、结点温度方程组为 bjijii t k xh t k xh tt j 2) 1(2 ,1, 1 化工传递过程基础 37 6004 421 ttt 56767. 42 632 ttt 7 .6667. 2 986 ttt 04 86542 ttttt 5004 5321 tttt 1004 7541 tttt 7 .6667. 42 9653 tttt 16767. 42 874 ttt 7 .6667. 42 9875 tttt 化工传递过程基础 38 (2)(2)各点的温度数值的计算结果各点的温度数值的计算结果 采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得() ()

41、190 4 t 307 3 t 156 7 t 214 6 t 279 1 t 227 5 t 182 8 t 173 9 t 327 2 t 化工传递过程基础 39 第二节第二节 不稳态热传导不稳态热传导 物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳 态导热。态导热。在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题，在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题， 例如燃烧炉的点火升温过程和熄火降温过程、金属的例如燃烧炉的点火升温过程和熄火降温过程、金属的 熔化、淬火等热加工处理均为不稳态导热。熔化、淬火等热加工处理均为不稳态导热。此外有些此外有些 稳态导热问题，在其初

42、始阶段也常存在不稳态导热过稳态导热问题，在其初始阶段也常存在不稳态导热过 程，如燃烧炉的点火阶段即是如此。程，如燃烧炉的点火阶段即是如此。 由于不稳态导热过程中的温度既与时间有关又与位置由于不稳态导热过程中的温度既与时间有关又与位置 有关，故其求解要较稳态导热问题复杂得多。有关，故其求解要较稳态导热问题复杂得多。通常求通常求 解不稳态导热问题时，需应用热传导方程解不稳态导热问题时，需应用热传导方程(7-1)(7-1)、(7-2)(7-2) 或或(7-3)(7-3)，并需满足具体的初始条件及边界条件。通过，并需满足具体的初始条件及边界条件。通过 求解满足这些定解条件的偏微分方程，求得温度分布求解

43、满足这些定解条件的偏微分方程，求得温度分布 随时随时间间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。 化工传递过程基础 40 初始条件是指在导热过程开始的瞬时，物体内部的初始条件是指在导热过程开始的瞬时，物体内部的 温度分布情况。温度分布情况。边界条件视具体情况一般可分为三类：边界条件视具体情况一般可分为三类： 第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布；第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布； 第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通 量；第三类边界条件是物体端面与周围流体介质进行量；第三类边

44、界条件是物体端面与周围流体介质进行 热交换，端而处的导热速率等于端面与流体之间对流热交换，端而处的导热速率等于端面与流体之间对流 传热速率。传热速率。 不稳态导热过程中的传热速率取决于介质内部热阻不稳态导热过程中的传热速率取决于介质内部热阻 和表面热阻，根据它们的相对大小和表面热阻，根据它们的相对大小不稳态导热过不稳态导热过程程可可 以分为三种情况，即忽略内部热阻、忽略表面热阻和以分为三种情况，即忽略内部热阻、忽略表面热阻和 两种热阻都不能忽略。两种热阻都不能忽略。 化工传递过程基础 41 一、忽略内部热阻的不稳态导热与集总热容法一、忽略内部热阻的不稳态导热与集总热容法 内部热阻可忽略的不稳态

45、导热问题是一种最简单的内部热阻可忽略的不稳态导热问题是一种最简单的 不稳态导热问题，不稳态导热问题，若固体的导热系数很大或内热阻很若固体的导热系数很大或内热阻很 小，而环境流体与该固体表面之间的对流传热热阻又小，而环境流体与该固体表面之间的对流传热热阻又 比较大时，便可忽略内热阻比较大时，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体，即认为在任一时刻固体 内部各处的温度均匀一致。这种假设物体内部热阻与内部各处的温度均匀一致。这种假设物体内部热阻与 外部热阻相比，可忽略不计的一种分析方法称为集总外部热阻相比，可忽略不计的一种分析方法称为集总 热容法。热容法。 例如有一个热的金属小球，被浸泡在冷的油类或其

46、例如有一个热的金属小球，被浸泡在冷的油类或其 他流体中他流体中( (参见图参见图7-3)7-3)，显然小球的温度分布除与其显然小球的温度分布除与其 材质的导热系数有关外，还和小球表面与周围流体的材质的导热系数有关外，还和小球表面与周围流体的 对流传热系数有关。假定对流传热系数有关。假定小球导热良好，其导热热阻小球导热良好，其导热热阻 比表面对流热阻小得多比表面对流热阻小得多，则主要的温度梯度将产生于，则主要的温度梯度将产生于 小球表面的流体层内，而小球本身的温度在任一瞬时小球表面的流体层内，而小球本身的温度在任一瞬时 化工传递过程基础 42 化工传递过程基础 43 均可认为是均匀一致的。均可认

47、为是均匀一致的。 设金属球的密度为设金属球的密度为 ，比热容为，比热容为c c，体积为，体积为v v，表面，表面 积为积为a a，初始温度均匀，为，初始温度均匀，为 ，环境流体的主体温度恒，环境流体的主体温度恒 定，为定，为 。流体与金属球表面的对流传热系数为。流体与金属球表面的对流传热系数为h h，且，且 不随时间而变不随时间而变。又设在又设在 时间内，金属球的温度变化时间内，金属球的温度变化 为为dtdt。根据热量衡算，整个金属球的放热速率应等于其。根据热量衡算，整个金属球的放热速率应等于其 表面与流体间的对流传热速率，即表面与流体间的对流传热速率，即 b t )( b ttha d dt

48、 vc 0 t d 0 , 0tt 初始条件为初始条件为 化工传递过程基础 44 式中，式中，t t为任一瞬时金属球表面的温度，由于金属球为任一瞬时金属球表面的温度，由于金属球 的内热阻可以忽略不计，故金属球各点的温度均为的内热阻可以忽略不计，故金属球各点的温度均为t t0 0 式中的式中的“负负”号表示球内的温度随时间而降低。号表示球内的温度随时间而降低。由于由于 物体的温度仅随时间改变而与位置无关，因此不存在物体的温度仅随时间改变而与位置无关，因此不存在 边界条件。边界条件。 令令 ，则式，则式(7-26)(7-26)可化为可化为 d vc had b tt 0 , 0 初始条件为初始条件

49、为 积分式积分式(7-27)(7-27)得得 d vc had 0 0 )( b ttha d dt vc 化工传递过程基础 45 22 2 )/( )( vak avh cv ka ka hv vc ha vc ha 0 ln vc ha b b e tt tt 00 或或 式式(7-28)(7-28)即为忽略物体内热阻情况下，物体温度与时间即为忽略物体内热阻情况下，物体温度与时间 的定量关系式。的定量关系式。 式式(7-28)(7-28)中右侧指数中的量还可以写成如下形式中右侧指数中的量还可以写成如下形式 式式(7-29)(7-29)右侧的两个数群都是无因次的，现在对该二右侧的两个数群都是

50、无因次的，现在对该二 数群的物理意义作进一步分析。数群的物理意义作进一步分析。 (7-28)(7-28) 化工传递过程基础 46 第一个数群第一个数群 称为毕渥数，记为称为毕渥数，记为bibi，即，即 l k avh)/( k hl k avh bi )/( 由于毕渥数中的由于毕渥数中的v va a具有长度因次具有长度因次( (以以 表示表示) )，故毕，故毕 渥数的物理意义为渥数的物理意义为 对流传热热阻 导热热阻长度 导热系数 对流传热系数长度)()( bi 即毕渥数表示了物体内部的导热热阻与表面对流热阻即毕渥数表示了物体内部的导热热阻与表面对流热阻 之比。之比。bibi值大时，表示传热过

51、程中物体内部的导热热值大时，表示传热过程中物体内部的导热热 阻起控制作用，阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度，此时物体内部存在较大的温度梯度，此时 系统的传热不能采用集总热容法处理；反之系统的传热不能采用集总热容法处理；反之bibi值小时，值小时， 则表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热则表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热 (7-30)(7-30) 化工传递过程基础 47 阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬 时各处温度较为均匀。时各处温度较为均匀。研究表明，当研究表明，当bi0.1bi0.1时，系统时，系统 的传热可采用

52、集总热容法处理，的传热可采用集总热容法处理，此时用式此时用式(7-28)(7-28)计算计算 物体温度与时间的关系，其结果与实际比较，误差不物体温度与时间的关系，其结果与实际比较，误差不 超过超过5 5。因此，求解不稳态传热问题时，首先要计。因此，求解不稳态传热问题时，首先要计 算算bibi的值，视其是否小于的值，视其是否小于0.10.1，以便确定该传热问题，以便确定该传热问题 能否采用集总热容法处理。能否采用集总热容法处理。 2 )/(av 第二个数群第二个数群 称为称为“傅立叶数傅立叶数”，记为，记为f f0 0，即，即 22 0 )/(lav f 傅立叶数的物理意义表示时间之比，即无因次

53、时间。傅立叶数的物理意义表示时间之比，即无因次时间。 将式将式(7-30)(7-30)、(7-31)(7-31)代入式代入式(7-28)(7-28)中，得中，得 (7-31)(7-31) 化工传递过程基础 48 【例例7-47-4】 有一半径有一半径r r0 0为为25 mm25 mm的钢球，初始温度均匀，的钢球，初始温度均匀， 为为700 k700 k，突然将此球放入某流体介质中，介质的温，突然将此球放入某流体介质中，介质的温 度恒定，为度恒定，为400 k400 k。假定钢球表面与流体之间的对流。假定钢球表面与流体之间的对流 传热系数为传热系数为h=11.36 wh=11.36 w ，且不

54、随温度而变。，且不随温度而变。 钢球的物性值为：导热系数钢球的物性值为：导热系数k=43.3 wk=43.3 w( (mkmk) )密密 度度 ，比热容，比热容c=0.46 kjc=0.46 kj( (kgkkgk) )。 试计算试计算1 1小时后钢球的温度。小时后钢球的温度。 )( 2 km 3 /7849mkg 0 0 fb b b i e tt tt 解：由于解：由于h h值较小，值较小，k k值较大，估计可以采用集总热值较大，估计可以采用集总热 容法，为此首先计算容法，为此首先计算bibi数。数。 化工传递过程基础 49 化工传递过程基础 50 kt477 m r r r a v 3

55、3 0 2 0 3 0 1033. 8 3 1025 34 )34( 1 . 000219. 0 3 .43 )1033. 8)(36.11()/( 3 k hl k avh bi故故 故可用式故可用式(7-28)(7-28)计算计算l l小时后钢球的温度。小时后钢球的温度。 式中式中 代人式代人式(7-28)(7-28)中，得中，得 即即 14 33 1077. 3 )1046. 0)(1033. 8)(7849( 36.11 s vc ha )3600)(1077. 3( 4 400700 400 e t 化工传递过程基础 51 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 忽

56、略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比 内热阻小的时候，即内热阻小的时候，即bibi0.10.1时，时，由于表面热阻可略，由于表面热阻可略， 故表面温度故表面温度 0 0 的所有时间内均为一个常数，的所有时间内均为一个常数， 其数值基本上等于环境温度。其数值基本上等于环境温度。此类过程中以半无限大此类过程中以半无限大 固体的不稳态导热和大平板的不稳态导热问题最为典固体的不稳态导热和大平板的不稳态导热问题最为典 型，现分述如下。型，现分述如下。 ( (一一) )半无限大固体的不稳态导热半无限大固体的不稳态导热 如图如图7-47-4所示，有一半无限大

57、固体，其左端平面位所示，有一半无限大固体，其左端平面位 于于yozyoz平面上，右端为无限。该物体可以是无限厚的平平面上，右端为无限。该物体可以是无限厚的平 板或无限长的固体等。在导热开始时，物体的初始温板或无限长的固体等。在导热开始时，物体的初始温 度为度为t t0 0，然后突然将左端面的温度变为，然后突然将左端面的温度变为tsts，且维持不，且维持不 变。假设除物体的左右两端面外，其他表面均绝热。变。假设除物体的左右两端面外，其他表面均绝热。 在 s t 化工传递过程基础 52 k q z t y t x tt 2 2 2 2 2 2 1 化工传递过程基础 53 由于右端面在无穷远处，故其

58、温度在整个过程中均由于右端面在无穷远处，故其温度在整个过程中均 维持导热开始时的初始温度维持导热开始时的初始温度t t0 0不变。不变。 实际上遇到的物体不会是无限厚或无限长，但相当实际上遇到的物体不会是无限厚或无限长，但相当 厚厚( (如某些墙壁如某些墙壁) )或相当长的柱体或相当长的柱体( (如长棒如长棒) )可近似地视可近似地视 为无限厚或无限长的固体为无限厚或无限长的固体，此时，可将这类物体的导，此时，可将这类物体的导 热问题视为只沿热问题视为只沿x x方向进行的一维导热问题处理。方向进行的一维导热问题处理。 上述情况下的热传导方程可写为上述情况下的热传导方程可写为 2 2 x tt

59、初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为 )0(,)3( )0(, 0)2( )(, 0) 1 ( 0 0 时当 时当 对于任何 ttx ttx xtt s (7-33)(7-33) 化工传递过程基础 54 上述定解问题可采用拉普拉斯变换法和合成变量法上述定解问题可采用拉普拉斯变换法和合成变量法 两种方法求解，本书仅介绍后两种方法求解，本书仅介绍后一种求一种求解方法。解方法。 合成变量法是求解偏微分方程常用的一种方法，适合成变量法是求解偏微分方程常用的一种方法，适 用于可将两个定解条件合并为一用于可将两个定解条件合并为一个定个定解条件的定解问解条件的定解问 题。此时通过引入包含两个原变量的新变

60、量，而将原题。此时通过引入包含两个原变量的新变量，而将原 来的偏微分方程化来的偏微分方程化为常为常微分方程，从而降低方程求解微分方程，从而降低方程求解 的难度。的难度。 为了将式为了将式(7-33)(7-33)化为常微分方程，首先引入一个与化为常微分方程，首先引入一个与 位置、时间有关的新变量位置、时间有关的新变量 ，令，令 4 x ttt 2 于是可写出于是可写出 (7-35)(7-35) 化工传递过程基础 55 4 1 t x t x t 2 2 2 2 4 1 t xx t x x t x t 02 42 2 2 2 2 tt tt 将式将式(7-35)(7-35)和和(7-36)(7-