绝对值与相反数（提高）知识讲解

1、学霸在路上：精品资料，持续更新，学生教师上课必备。绝对值与相反数（提高）责编：杜少波【学习目标】1借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用【要点梳理】要点一、相反数1定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数特别地，0的相反数是0要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉（

2、3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可2性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）（2）互为相反数的两数和为0要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5（2）在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数如（3）就是3的相反数，因此，（3）3要点三、绝对值 1定义：在数轴上，一个

3、数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0要点四

4、、有理数的大小比较 1数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小3 作差法：设a、b为任意数，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，ab；反之成立4 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立若a、b为任意

5、负数，则与上述结论相反5 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小【典型例题】类型一、相反数的概念1（2014常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n2|= 【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n2|=|02|=2【总结升华】若互为相反数，则或举一反三：【变式】（2014秋监利县期末）若|x2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= 【答案】-1.|x2|与（y+3）2互为相反数，|x2|+（y+3）2=0，x2=0，y+3=0，解得x=2，y=3，x+y=2+（3）=1故答案为：1类型二、多重符号的化简 2化简下列各数； ； ；【答案】6； ；6

6、；-6；6【解析】表示-6的相反数，所以；表示+6的相反数，所以； 前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=-6；中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负类型三、绝对值的概念3如果|x|6，|y|4，且xy试求x、y的值【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论【答案与解析】因为|x|6，所以x6或x-6； 因为|y|4，所以y4或y-4； 由于xy

7、，故x只能是-6，因此x-6，y4【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数此外，此题x-6，y4，就是x-6，y4或x-6，y-4举一反三：【变式】如果数轴上的点a到原点的距离是6，则点a表示的数为 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范围是 【答案】6或-6；1或3；或类型四、比较大小 4 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还

8、是两个负数”，然后比较【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5 因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5|(2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)0(3)化简得：这是两个负数比较大小，因为，且所以 (4)化简得：-|-3.14|-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-|，|-3.14|3.14，而3.14，所以-|-3.14|【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断类型五、含有字母的绝对值的化简 5（2016春都匀市校级月考）若1x4，则|

9、x+1|x4|= 【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a,可得|x+1|=x+1，|x4|=x+4，然后再合并同类项即可【答案】2x3【解析】解：原式=x+1（x+4），=x+1+x4，=2x3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x4的正负性举一反三：【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得 ， 原式类型六、绝对值非负性的应用 6 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_，b=_【答案与解析】由，可得 【总结升华】由于任何一个数的绝

10、对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0几个非负数的和为0，则每一个数均为0举一反三：【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值【答案】 由题意得 所以，类型七、绝对值的实际应用7一只可爱的小虫从点o出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.【答案与解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+1