专题四曲线运动万有引力考点例析

1、 15 专题四：曲线运动、万有引力考点例析 陈宏 湖北枝江市一中（443200） 本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2） 匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用， 要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几 年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。 卫星问题与现代科技结合密切， 对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等 知识综合成难度较大的试题，学习

2、过程中应加强综合能力的培养。 一、夯实基础知识 1、深刻理解曲线运动的条件和特点 （1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时， 物体做曲线运动。 （2 ）曲线运动的特点：O 1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是 通过这一点的曲线的切线方向。曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是 不断变化的。O3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成与分解 物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的 合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。 运动的

3、合成与分解基本关系：O 1分运动的独立性；O2运动的等效性（合运动和分运动 是等效替代关系，不能并存）运动的等时性；O 4运动的矢量性（加速度、速度、位移 都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 ） 3. 深刻理解平抛物体的运动的规律 （1 ）物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受 恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2 ）平抛运动的处理方法 通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一 个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是 竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。 （3） 平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点， 水平初速度

4、 乂方向为沿x轴正方 向，竖直向下的方向为 y轴正方向，建立如图 1所示的坐标 系，在该坐标系下，对任一时刻 t. 位移 分位移XM,犷合位移5 =加）2弋gt2）2，怡亠盏. ；：为合位移与x轴夹角 速度 分速度 Vx =Vo, V y=gt, 合速度 V = Vo2 (gt)2 , tan - -gt . 二为合速度V与x轴夹角 (4).平抛运动的性质 做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 4. 深刻理解圆周运动的规律 (1) 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运 动就叫做匀速周圆运动。 (2) .描述匀速圆周运动的物理量 线速度V

5、，物体在一段时间内通过的弧长S与这段时间t的比值，叫做物体的线速 度，即卩V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变 化的，所以匀速圆周运动是变速运动。 角速度，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度B与这段时间t的 比值叫做匀速圆周运动的角速度。即 = B /t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度 是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。 周期T和频率f 2下r (3) .描述匀速圆周运动的各物理量间的关系：V2：叮fr = r T (4) 、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改 变线速度方向，不会改变线速度的大小。

6、对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外 2 2 24 応2 2 力提供。 Fn =manm r = m r =4. mf r. rT 5. 深刻理解万有引力定律 (1)万有引力定律：O1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小, 跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。O 2公式:卩弋豊2, r 11 2 2 G=6.67 x 10- N.m/kg . 适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作 用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。 体的重力近似为地球对物体的引力, 即mg=G Mm 2 。所以重力加速度 (R + h) g= G

7、 M 2 (R h) (2)万有引力定律的应用： O 1讨论重力加速度g随离地面咼度h的变化情况：物 T和轨道半径 可见，g随h的增大而减小。O 2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期 r或天体表面的重力加速度g和天体的半径 R，就可以求出天体的质量M。求解卫星的 有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动 量等状态量。由 G导訓得V= GM rr 由GMm 2 r mr(2 n /T)2 得 T=2 n Mm 2 r GM -12 1 Mm Ek= mv = G 22r （3）三种宇宙速度：O 1第一宇宙速度 Vi=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度

8、；O 2第二 宇宙速度 V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度 Vi=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 二、解析典型问题 问题1:会用曲线运动的条件分析求解相关问题。 例1、质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1 时，物体可能做（） A .匀加速直线运动； B .匀减速直线运动； C.匀变速曲线运动； D .变加速曲线运动。 分析与解：当撤去 F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向 与F1方向相反。 若物体原来静止，物体一定做与 F1相反方向的匀加速直线运动。 若物体原来做匀速

9、运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速 直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。 若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体 做匀变速曲线运动，故 C正确，D错误。 正确答案为：A、B、Co 例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线， 虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹 上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作 出正确判断的是（） A .带电粒子所带电荷的符号； B. 带电粒子在a、b两点的受力方向； C. 带电粒子在a、b两点的速度何处较大； 图1 D.带电粒子在a、b两点的电势能何处较

10、大。 分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在 a、b间受力情况是不可 能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在 a、b两点所受到的 电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从 a向b点运动，故在不间断 的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。 问题2:会根据运动的合成与分解求解船过河问题。 例3、一条宽度为L的河流，水流速度为 Vs,已知船在静水中的速度为 Vc,那么： （1）怎样渡河时间最短？ （2 ）若VcVs,怎样渡河位移最小？ （3）若VcVs,怎样注河船漂下的距离最短？ 0 =90时，si n0 =1,所以，当

11、船 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角0，这时船速在 头与河岸垂直时，渡河时间最短, tmin Vc V2 垂直于河岸方向的速度分量VVcSin 0，渡河所需时间为： Vcsin. 可以看出: L、Vc 一定时，t随sin 0增大而减小；当 如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L,必须使船 的合速度V的方向与河岸垂直。 这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度0。根 据三角函数关系有：Vccos0 Vs=0. 所以0 =arccosVs/Vc，因为0 cos 0 Vs时，船才有可能垂直于河岸 横渡。 （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速

12、度，则不论船的航向如何，总是被水 冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头 Vc与河岸成0角，合 速度V与河岸成a角。可以看出：a角越大，船漂下的距离 X越短，那么，在什么条件下 a角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以 Vc为半径画圆，当 V与圆相切时，a角最大，根据 cos 0 =V c/Vs,船头与河岸的夹角应为：0 =arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为：xmin =（Vs -VcCOSd）L . Vc sin 日 此时渡河的最短位移为：s二一LVsL . cosVc 问题3:会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。 对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，

13、所以当绳不可伸长时，绳联物体 的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的 速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方 向的速度相等即可求出。 例4、如图3所示，汽车甲以速度 vi拉汽车乙前进，乙 的速度为V2,甲、乙都在水平面上运动，求vi : V2 分析与解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为vi和 V2C0Sa，两者应该相等，所以有 V1 : V2=C0Sa : 1 图3 例5、如图5所示，杆0A长为R，可绕过 竖直平面内转动，其端点 A系着一跨过定滑轮 长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略， O点的水平轴

14、在 B、C的不可伸 B在 0的正上方，0B之间的距离为 H。某一时刻，当绳的 BA段与 0B之间的夹角为a时，杆的角速度为3，求此时物块 M的速率 V 分析与解：杆的端点 A点绕0点作圆周运动，其速度 Va的方向 与杆0A垂直，在所考察时其速度大小为： Va= 3 R 对于速度Va作如图6所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于 BA方向进行分解，沿绳 BA方向的分量就是物块 M的速率Vm，因 为物块只有沿绳方向的速度，所以 Vm=VaC0S 3 由正弦定理知， sin( ) 2_ sina H- R 由以上各式得 Vm= 3 Hsin a . m. 问题4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体

15、的速度问题。 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度， 分析弹力的方向, 然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方 向的速度相等即可求出。 例6、一个半径为 R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V。 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向 运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖 直方向的夹角为0，求竖直杆运动的速度。 分析与解：设竖直杆运动的速度为 Vi,方向竖直向上，由于 弹力方向沿0P方向，所以Vo、Vi在0P方向的投影相等，即有 VoSin v -Vicos，解得 Vi=Vo.tg 9. 问题5:会

16、根据运动的合成与分解求解平抛物体的运动问题。 例7、如图8在倾角为9的斜面顶端 A处以速度V。水平抛出一小球，落在斜面上的 某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开 始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ 分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设 从小球从A运动到B处所需的时间为t,则： 水平位移为x=V ot 竖直位移为 由数学关系得到 1 . 2 2gt = (Vt)tant = 2Vo tan （2）从抛出开始计时，经过 t1时间小球离斜面的距离达到最大 ，当小球的速度与斜面 g 平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=

17、gt1=Votan9，所以右=。 g 例8、如图9所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为9 =30的斜面连 接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。 求小球从A点运动到地面所需的时间（平 面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则 正确做法为：落地点与 A点的水平距离 2汇 0.2 10 = 1(m) h12 h =V0t + 1 gsin日t2,由此可求得落地的时间t。 sin B2 O k A 问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若 h _、 不冋意，则说明理由并求出你认为正确的结果。 f 图9 分析与解：不冋意。小球应

18、在A点离开平面做平抛 运动，而不是沿斜面下滑。 斜面底宽I 二 hctg J - 0.2 . 3 = 0.35(m) 因为s l,所以小球离开 A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。 2 92 .10 = 0.2(s) 问题6:会根据匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。 凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线 因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1=35cm，小齿轮的 o 图12 图13 速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴 上的点除外）。 例9、如图10所示装

19、置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b点到圆心的距离为r， 求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速 度之比。 分析与解：因 Va= Vc,而 vb : Vc : vd =1 : 2 : 4,所以 va : Vb : vc : vd =2 : 1 : 2 : 4 ； 3 a : 3 b=2 : 1 ,而 3 b= 3 c= 3 d , 所以 3 a : 3 b : 3 c : 3 d =2 : 1 : 1 ： 1 ；再利用 a = V3，可 得 aa : ab : ac : ad=4 : 1 : 2 : 4 例10、如图11所示，一种向自行车车灯供电的小发电 机的上端有一半

20、径 ro=1.Ocm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时, 半径R2=4.0cm ,大齿轮的半径 R3=10.0cm。求大齿 轮的转速n1和摩擦小轮的转速 n2之比。（假定摩 擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） 分析与解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之 间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度 大小相等，由v=2 n nr可知转速n和半径r成反比； 小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。 由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1 : n2=2 : 175 问题7:会求解在水平面内的圆周运动问题。 例11、如图12所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一 起

21、转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（） A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C、物体所受弹力和摩擦力都减小了 D、物体所受弹力增大，摩擦力不变 分析与解：物体随圆筒一起转动时， 受到三个力的作用：重力G、 筒壁对它的弹力 Fn、和筒壁对它的摩擦力 F1 （如图13所示）。其中 G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力Fn提供它做匀速圆周运动的 向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一 起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等于其重力。 而根据向心力公式，fn = mr ，当角速度，较大时Fn也较大。故本题应选

22、D。 例12、如图14所示，在光滑水平桌面 ABCD中央固定有一边长为 0. 4m光滑小方柱 abed。长为L=1m的细线，一端拴在 a上，另一端拴住一个质量为 m=0. 5kg的小球。小 球的初始位置在 ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以 Vo=2m/s的垂直于细线方 向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abed的存在，使线逐步缠在 abed上。若 细线能承受的最大张力为7N（即绳所受的拉力大于或等于7N 时绳立即断开），那么从开始运动到细线断裂应经过多长时 间？小球从桌面的哪一边飞离桌面？ 分析与解：当绳长为Lo时，绳将断裂。据向心力公式得： 2 To=mVo /Lo 所以

23、L0=0.29m 绕a点转1/4周的时间 W0.785S; 绕b点转1/4周的时间t2=0.471S; 绳接触c点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m,小于 B C D A L=0.29m,所以绳立即断裂。图14 所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S,小球从桌面的 AD边飞离桌面 物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度 V = gR，常称为临界速度，其 问题 B、1/9;C、1/4;D、1/16。 分析与解：因为 g= G 竺,g, = G -_2,所以g/g=1/16,即D选项正确。 R(R+3R) 问题10：会用万有引力定律求天体的质量。 通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r

24、或天体表面的重力加速度g和天体的半 径R，就可以求出天体的质量M。 例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49 1011m,公转的周期T= 3.16 107s,求太阳的质量M。 分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： Mm2 G y =mr(2 n /T) r 23230 M=4 n r /GT =1.9610 kg. 例17、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小 球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则 抛出点与落地点之间的距离为3 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R, 万有引力常数

25、为G。求该星球的质量 M。 分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 2 2 2 x +h =L 由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 (2x) 2+h2=( ,3L)2 设该星球上的重力加速度为 g，由平抛运动的规律得: 1 2 h= gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律得: mg= G Mm R2 联立以上各式解得 M= 2 2 3LR 3Gt2 问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。 通过观测卫星的周期 T和行星表面的重力加速度g及行星的半径 R可以求出卫星的 高度。 例18、已知地球半径约为 R=6.4 106m,又知月球绕地球

26、的运动可近似看作匀速圆周 运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字 )。 分析与解：因为 mg= Gm R2 2 =mr(2 n /T) 所以, r= gR2T2 4 2 8 =4 10 m. 问题12:会用万有引力定律计算天体的平均密度。 通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度p。 例19、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T， 则可估算此恒星的密度为多少 ？ 分析与解：设此恒星的半径为R，质量为 M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 Mm4 2 G 2 =mR 2 , R2T2 ,23 4兀R 所以，M=2 GT2 而恒星的

27、体积 V= n R3, 所以恒星的密度 p = = 3 2。 3V GT2 例20、一均匀球体以角速度 3绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作 用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？ 分析与解：设球体质量为 M,半径为R，设想有一质量为 m的质点绕此球体表面附 近做匀速圆周运动，则 所以, 3 o2=4 n Gp 3 Mm 2 G y =m 3 0 R, R 24 由于3 W 3 o得3 W n Gp ,则 3 2 2 3，即此球的最小密度为 3 4G 4G 问题13:会用万有引力定律推导恒量关系式。 例21、行星的平均密度是 r，靠近行星表面的卫星运转周期是T,试证明：、T2是

28、一个常量，即对任何行星都相同。 证明：因为行星的质量 M= 4二 2R3 GT2 （R是行星的半径） ，行星的体积 V= 4二R3,所以行星的平均密度 亍=M =王 3V GT 即?t2= ，是一个常量，对任何行星都相同。 G 例22、设卫星做圆周运动的轨道半径为 r,运动周期为T,试证明: 个常数, r3 即对于同一天体的所有卫星来说，2均相等。 T2 证明: 3 由 G Mm2 得 r GM 由 G y- - mr(2 n /T)得一亍= rT ,即对于同一天体的所有卫星来说, T2 相等。 问题14 :会求解卫星运动与光学问题的综合题 例23、（ 2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星

29、正下方的地球表面上有一观察者, 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落 12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速 度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射。 分析与解：设所求的时间为 t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地 心的距离有 mM r 2 二、2 = mr() 春分时，太阳光直射地球赤道，如图 圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，0表示地心. 由图17可看出当卫星S绕地心0转到图示位置以后（设 地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看 不见它据此再考虑到对称性，有 r s

30、in - R 17所示，图中 M R2 由以上各式可解得 问题15:会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速 度问题。 例24、如图18所示，点光源 S到平面镜M的距离为d。 光屏AB与平面镜的初始位置平行。当平面镜M绕垂直于纸面 过中心0的转轴以3的角速度逆时针匀速转过 30时，垂直射 向平面镜的光线SO在光屏上的光斑P的即时速度大小 为。 分析与解：当平面镜转过 30时，反射光线转过 60角，反射光线转动的角速度为平 面镜转动角速度的 2倍，即为23。将P点速度沿OP方向和垂直于 OP的方向进行分解, 可得： Vcos60=2 3 .op=4 3所以 V=8 3 d. 例25、如图19所

31、示，S为频闪光源，每秒钟闪光30次，AB弧对O点的张角为60, 平面镜以0点为轴顺时针匀速转动，角速度3 =rad/s,问在AB弧上光点个数最多不超过 3 多少？ 分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知， 当平面镜以3转动时，反射光线转动的角速度为23。因此, 光线扫过AB弧的时间为t=0.5S,则在AB弧上光点个数最多 不会超过15个。 三、警示易错试题 典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点 和远地点的轨道曲率半径不同。 a,远地点离行星 例26、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是 中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为则卫星在远地点时的速率 Vb多少?

32、 ，在 上述两式相比得 错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有 远地点时有 分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不 同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R。所以, Mm 在近地点时有G 2 a ,在远地点时有 Mm 上述两式相比得 V Vb 19 1,然后经点火，使其沿椭 故 Vb 二：Va。 典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小 例27、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3，轨道1、 2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图20所示。

33、则在卫星分别 在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道 1上的速率。 B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道 1上的角速度。 C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道 2 上经过Q点时的加速度。 D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道 3 上经过P点时的加速度。 2 错解：因为G “孚=m2 = m，所以 rr ，即B选项正确, A选项错误。 在Q点轨道的曲率半径 V2 几a2 ri V2 ，即C选项正确。 因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而 分析纠错：B选项正确，但 C选项错误。根据牛顿第二定律可

34、得a=F =G2-，即 m r 卫星的加速度a只与卫星到地心的距离 r有关，所以C选项错误，D选项正确。 典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。 例28、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现： A、速度变小；B、动能增大； C角速度变小；D、半径变大。 错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为 了继续环绕地球，由于卫星速度 故3变小，可见应该选 A、C 可知, V减小则半径 R必增大，又因 分析纠错：当卫星受到阻力作用后， 其总机械能要减小， 卫星必定只能降至低轨道上 飞行，故R减小。 V要增大，动能、角速度也要增大

35、。可见只有 项正确。 典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动 例29、如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列 说法正确的是： A. b、c的线速度大小相等，且大于 a的线速度； B. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度； C. c加速可追上同一轨道上的 b, b减速可等候同一轨道上的 c; D. a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 错解：c加速可追上b，错选Co 分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小 均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由VGM /r知，如VcM,故A选项错; 由加速度a=GM/r2

36、可知ab=acaa,故B选项错。 当c加速时，c受到的万有引力 FmV/r,故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何 c也追不上 b, b也等不到c,故C选项错。对这一选项，不能用 V二.GM /r来分析b、c轨道半径 的变化情况。 对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的 轨道半径未变，视为稳定运行，由V二.GM / r知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。 典型错误之五：混淆连续物和卫星群 例30、根据观察，在土星外层有一个环， 为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。 可测出环中各层的线速度 V与该层到土星中心的距离 R之间的关系。下列判断正确的是： A、若

37、V与R成正比，则环为连续物； B、若V与R成正比，则环为小卫星群； C若V与R成反比，则环为连续物； D若V与R成反比，则环为小卫星群。 错解：选BDb 分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V 与r成正比。而对卫星来讲，其线速度 V二一 GM /r，即V与r的平方根成反比。由上面 分析可知，连续物线速度 V与r成正比；小卫星群 V2与R成反比。故选 A Do 典型错误之六：乱套公式 V = . gR解题。 例31、如图22所示，一摆长为L的摆，摆球质量为 m带电量为一q，如果在悬点 A 放一正电荷q，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度

38、最小 图22 值应为多少? 错解：摆球运动到最高点时，最小速度为V二.gL，由于摆在运 动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得： 11 mV02 = 2mgLmV2 22 根据向心力公式可得: T mg K 2 q_ L2 V2 忙, 由于T -0,所以有: 解得：V0 =5gL。 分析纠错：摆球运动到最高点时， 2 受到重力 mg库仑力F、绳的拉力T作用, L2 gL K 2 q mL 由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得: 12 1 mV0 = 2mgLmV2 2 2 解得：V0 =5gLKq2/mL。 典型错误之七：物理过程分析不全掉解。

39、例32、如图23所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L,质量 为m的子弹以水平速度 V。射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不 图23 发生松驰，求子弹初速度V。应满足的条件。 m + M | 错解 1：V0 _m M . 5gL m m M 错解 2：V02gL m 分析纠错：子弹击中木球时，由动量守恒定律得： mVo=(m+M)V 1 下面分两种情况： (1) 若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足: (m M)g 乞(m M )V22 / L 由机械能守定律得： 1 2 1 2 -(m M )V22(m M )V1 - 2(m M )gL 2 2 由以上

40、各式解得：v0 m + M j5gL . m (2) 若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时满足： 1 2 (m M )V1 (m M )gL 2 解得：v。乞m M 2gL . m 所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V。应满足的条件是： m + M Im + M / V。_m M、5gL 或V。J M、2gL mm 但是，审题时不少学生对上述的两个物理过程分析不全，不是把物理过程(1)丢掉, 就是把物理过程(2)丢掉。 四、如临咼考测试 1地球半径为 R,地面上重力加速度为 g,在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星, 其线速度的大小可能是： fgR； 2、_ gR 2

41、5 2 .人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R,线速度为V,周期为T。若要 使卫星的周期变为 2T,可以采取的办法是： A、R不变，使线速度变为 V/2 ; B、V不变，使轨道半径变为 2R; C、使轨道半径变为3 4R ; D、使卫星的高度增加 R。 3 .地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a, 要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的 A.g/a 倍。 B. , (g a)/ a 倍。 C. (g-a)/a 倍。 D. . g/a 倍 4.同步卫星离地距离r,运行速率为Vi,加速度为ai,地球赤道上的物体随地球自转 的向心加速度为 a2,

42、第一宇宙速度为 V2,地球半径为 R,则 Aai/a 2=r/R;B.ai/a 2=R/r2;C.Vi/V2=R2/r2; D.Vi/V2=. R/r. 5.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为 m的重物, 如图24所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大 角速度不能超过 M m mR g ,B. M m -mR gC. M -m mR D. Mg mR 图24 图25 支架始终 6如图25所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R,绕 它的轴在光滑的桌面上以角速度3快速旋转，同时以速度 v向左运动， 若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会 与桌子边

43、缘发生碰撞，v至少应等于 D. 7如图26所示，放置在水平地面上的支架质量为M,支架顶端用细 线拴着的摆球质量为 m,现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中, 不动。以下说法正确的应是 A .在释放瞬间，支架对地面压力为（ m+M ） g B .在释放瞬间，支架对地面压力为Mg C. 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（ m+M ） g D. 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M）g。 8. 有一个在水平面内以角速度 3匀速转动的圆台，半径为 R。如图27,圆台边缘处坐一个人，想用枪击中台心的目标, 如果枪弹水平射出，出口速度为V，不计阻力的影响：则： -1 A .枪身与 0P夹角成0 = sin （3 R/v）瞄向圆心 0点的右侧 1 B. 枪身与 0